数学物理方法幂级数展开幻灯片.ppt

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1、数学物理方法 幂级数展开第1页，共92页，编辑于2022年，星期六第2页，共92页，编辑于2022年，星期六3学习要求与内容提要目的与要求：目的与要求：掌握掌握复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛复数项级数、幂级数、泰勒级数、与洛 朗级数的概念、性质及基本计算方法、朗级数的概念、性质及基本计算方法、孤孤 立奇点的概念及判定、零点与极点的关系立奇点的概念及判定、零点与极点的关系。重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数第3页，共92页，编辑于2022年，星期六4 无穷级数无穷级数：一无穷多个数构成的数列一无穷多个数构成的数

2、列w1，w2，w3，wn，写写成成w1+w2+w3+wn+就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。就称为无穷级数。这仅是一种形式上的相加。这种加法是不是具有这种加法是不是具有和数和数呢？这个呢？这个和数和数的确切意义是什么？的确切意义是什么？为什么要研究级数为什么要研究级数？(1)(1)级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；级数可作为函数的表达式，是研究函数的工具；(2)(2)常微分方程的级数解。常微分方程的级数解。研究级数需关心的研究级数需关心的问题：问题：(1)(1)级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；级数的敛散性，收敛的定义、条件、判据；(2)(2)收敛级数或一致收敛级数所具有的性

3、质等。收敛级数或一致收敛级数所具有的性质等。第4页，共92页，编辑于2022年，星期六53.1 复数项级数(一一)复数项级数复数项级数复数项级数复数项级数1 1 定义定义定义定义 设设wn(n=1,2,)为一复数列为一复数列,表达式表达式 的称为的称为复数项级数复数项级数，其中其中 是复数是复数。2 2 部分和部分和级数前面级数前面n项的和项的和 若部分和数列若部分和数列 sn(n=1,2,=1,2,),)有复数极限有复数极限s即若即若(3.1)本节内容与实数项级数类似，只作扼要介绍。本节内容与实数项级数类似，只作扼要介绍。第5页，共92页，编辑于2022年，星期六6说明说明:与实数项级数相同

4、与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基判别复数项级数敛散性的基本方法是本方法是:则称复数项级数则称复数项级数(3.1)(3.1)收敛于收敛于s,s,且称且称s s为为(3.1)(3.1)的和的和,写成写成 若复数列若复数列sn(n=1,2,)没没有极限有极限,则称级数则称级数(3.1)(3.1)为发为发散散.第6页，共92页，编辑于2022年，星期六7的敛散性的敛散性.0 =nnz分析级数分析级数例例1 1第7页，共92页，编辑于2022年，星期六83.3.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为(1)定理定理 )(11收敛的收敛的充要条件充要条件级数级数 =+=nnnnniv

5、uw .11都收敛都收敛和和 =nnnnvu第8页，共92页，编辑于2022年，星期六9说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理).11 =nnnnvu都收敛都收敛和和级数级数于是于是第9页，共92页，编辑于2022年，星期六10(3)(3)绝对收敛定义绝对收敛定义绝对收敛定义绝对收敛定义若若收敛，则称收敛，则称绝对收敛绝对收敛 注注注注1 1：一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排次序,而不改变其绝而不改变其

6、绝而不改变其绝而不改变其绝对收敛性对收敛性对收敛性对收敛性,亦不改变其和亦不改变其和亦不改变其和亦不改变其和.(2)柯西判据柯西判据：对于任一小的正数对于任一小的正数 ，必存在一必存在一 N 使使得得 nN 时有时有式中式中 p 为任意正整数为任意正整数.注注注注2 2 2 2：级数级数级数级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数绝对收敛的充分必要条件是实数项级数与与与与都绝对收敛。都绝对收敛。都绝对收敛。都绝对收敛。第10页，共92页，编辑于2022年，星期六11解解所以原级数所以原级数发散发散.例例1所以原级数所以原级数收敛

7、收敛.注注3 3 3 3：两个绝对收敛级数的两个绝对收敛级数的和和和和，积积积积，仍绝对收敛仍绝对收敛仍绝对收敛仍绝对收敛。第11页，共92页，编辑于2022年，星期六12（二）复变函数项（简称函数项）级数：（二）复变函数项（简称函数项）级数：（二）复变函数项（简称函数项）级数：（二）复变函数项（简称函数项）级数：设复变函数列设复变函数列wk(z)定义在区域定义在区域B上，则由上，则由wk(z)构成的级数构成的级数称称函数项级数函数项级数 当选定当选定z的一个确定值时，函数项级数变成一个复数的一个确定值时，函数项级数变成一个复数项级数。项级数。由于函数项级数定义在区域由于函数项级数定义在区域

8、B(或曲线或曲线l)上上，所以所以它它的收敛的概念是相对于定义域的收敛的概念是相对于定义域B(或曲线或曲线l)而言的。而言的。第12页，共92页，编辑于2022年，星期六13 1.1.复变函数项级数一致收敛的充分必要条件复变函数项级数一致收敛的充分必要条件定义定义：任给：任给 0，存在一个与，存在一个与z无关的自然数无关的自然数N()，当，当n N()时，对时，对B(或或l)上所有上所有z，均有：均有：(p为任意自然数为任意自然数)，则称在，则称在B(或或l)一致收敛。一致收敛。一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质 性质性质性质性质1 1 1 1：若若wk(

9、z)在在B内连续，函数级数内连续，函数级数 在在B内一致收内一致收敛，则和函数敛，则和函数w w(z z)也是也是也是也是B B内的连续函数内的连续函数内的连续函数内的连续函数。这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收这个性质说明：如果级数的每一项都是连续函数，则一致收敛敛级数级数可以逐项求极限。可以逐项求极限。第13页，共92页，编辑于2022年，星期六14 性质性质2 2：若级数若级数 在区域在区域B B内的分段光滑曲线内的分段光滑曲线l上一致收上一致收敛，且敛，且wk(z)为为l上的连续函数，则上的连续函数，则级数可沿级数可沿级数可沿级数可沿l l逐项积分逐项积分逐项积分逐项

10、积分：第14页，共92页，编辑于2022年，星期六15绝对一致收敛绝对一致收敛绝对一致收敛绝对一致收敛这是一种这是一种特殊形式的常用函数项级数特殊形式的常用函数项级数。3.2 幂级数幂级数幂级数幂级数：通项为幂函数的级数：通项为幂函数的级数:（一）（一）定义定义第15页，共92页，编辑于2022年，星期六16（二）幂级数的敛散性（二）幂级数的敛散性（二）幂级数的敛散性（二）幂级数的敛散性 1.1.阿贝尔定理阿贝尔定理 如果级数如果级数 在在z0点点收敛，那么在以收敛，那么在以a点为圆心点为圆心，为半径的圆内为半径的圆内绝对收敛，而绝对收敛，而 上一致收敛上一致收敛。如果级数如果级数 在在z1点

11、点发散，则在发散，则在 内处处内处处发散发散。由于发散的幂级数没有多大用处，故重点研究幂级数的敛由于发散的幂级数没有多大用处，故重点研究幂级数的敛散性。散性。2.2.求收敛圆半径求收敛圆半径R的公式的公式 绝对收敛是指绝对收敛是指 收敛，后者为正项收敛，后者为正项级数，因此可用正项级数的比值判别法和根式判别法确级数，因此可用正项级数的比值判别法和根式判别法确第16页，共92页，编辑于2022年，星期六17(1)(1)比值判别法比值判别法引入收敛半径引入收敛半径 定收敛半径定收敛半径 R。绝对收敛绝对收敛 发散发散 绝对收敛绝对收敛 发散发散 则若则若:级数级数的的柯西判据柯西判据柯西判据柯西判

12、据,所以所以绝对收敛绝对收敛 .第17页，共92页，编辑于2022年，星期六18所以所以收敛半径为收敛半径为收敛半径为收敛半径为注意注意:幂级数在幂级数在收敛圆上的敛散性需具体分析！收敛圆上的敛散性需具体分析！（2 2）当）当CRz0R第18页，共92页，编辑于2022年，星期六19(2)(2)根式判别法根式判别法发散发散所以所以绝对收敛绝对收敛对应级数绝对收敛对应级数绝对收敛 则若则若:第19页，共92页，编辑于2022年，星期六20如果如果如果如果:(极限不存在极限不存在),),4.4.复变幂级数在收敛圆内的性质复变幂级数在收敛圆内的性质那么那么那么那么设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半

13、径为 =-00)(kkkzza是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数。(1)=-=0)()(kkkz0zazw它的和函数它的和函数Rz0z-第20页，共92页，编辑于2022年，星期六21(2)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,)(zw即即 =-=0.,d)(d)(kckkcRz0zczz0zazzw 且且可表为连续函数的回路积分。可表为连续函数的回路积分。第21页，共92页，编辑于2022年，星期六22 证明证明:记记 CR1上点为上点为，CR1内任一点为内任一点为 z，则圆上的幂级数可则圆上的幂级数可写为写为利用柯西公式利用柯西公式用有界函数用有界函数相乘后，在相乘后，在CR

14、1上一致收敛上一致收敛第22页，共92页，编辑于2022年，星期六23且幂级数在收敛圆内可任意且幂级数在收敛圆内可任意逐项求导逐项求导证明证明:幂级数幂级数 乘以乘以(3)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,)(zw.)()(11 =-=kkkz0zkazw即即Rz0z-第23页，共92页，编辑于2022年，星期六24故收敛半径故收敛半径例例1求幂级数求幂级数 的收敛半径的收敛半径解解第24页，共92页，编辑于2022年，星期六25解解例例2求求 的收敛半径的收敛半径.第25页，共92页，编辑于2022年，星期六26例例3 计算计算解解:和函数和函

15、数第26页，共92页，编辑于2022年，星期六275.幂级数的运算与性质在收敛半径在收敛半径R=min(r1,r2)内内:如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满足那末当那末当时时,(2)(2)幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算第27页，共92页，编辑于2022年，星期六28思考思考题答案思考题答案不一定。不一定。幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?由于在收敛圆周上由于在收敛圆周上确定确定,可以依复数项级可以依复数项级数敛散性讨论。数敛散性讨论。思考题答案思考题答案第28页，共92页，编辑于2022年，星期六293.23.(1)（4）(5

16、）4.(1)(3)第29页，共92页，编辑于2022年，星期六303.3 3.3 泰勒级数展开泰勒级数展开上节证明了：幂级数在其收敛圆内解析上节证明了：幂级数在其收敛圆内解析本节证明其本节证明其逆定理逆定理：解析函数可以展开成幂级数，且这种：解析函数可以展开成幂级数，且这种 展开式是唯一的。展开式是唯一的。解析函数与幂级数的密切关系解析函数与幂级数的密切关系其中展开系数其中展开系数 ak 称为泰勒级数称为泰勒级数 如图：设如图：设 f(z)在区域内解析，在区域内解析，z0为内任一点，为为内任一点，为z0到区边界到区边界的最短距离，则当的最短距离，则当|zz0|R 时，时，f(z)可展开为泰勒级

17、数可展开为泰勒级数(一一一一)解析函数的泰勒展开定理解析函数的泰勒展开定理解析函数的泰勒展开定理解析函数的泰勒展开定理CR1为半径为的圆。为半径为的圆。BCR1z第30页，共92页，编辑于2022年，星期六31证明证明：1.设设f(z)在内解析在内解析,在图示的在图示的CR1圆上应用柯西公式圆上应用柯西公式其中其中z为圆为圆CR1内某一点内某一点,|zz0|=r，CR1为包含为包含z的圆的圆，|z0|=R,(0 r R)，为为CR1上的点上的点。如图如图:.内任意点内任意点.CR1.r第31页，共92页，编辑于2022年，星期六322.将被积函数变成级数将被积函数变成级数利用利用 将将 展开成

18、以展开成以z0为中心的级数为中心的级数 被积函数写成：被积函数写成：3.将上式沿将上式沿CR1积分积分级数级数 在在CR1上一致收敛上一致收敛 和和 f()在在CR1上有界上有界第32页，共92页，编辑于2022年，星期六33级数级数 在在 B内内一致收敛一致收敛 逐项积分逐项积分于是于是其中其中4.展开式是唯一的展开式是唯一的第33页，共92页，编辑于2022年，星期六34 若若 f(z)能展开成另一种形式能展开成另一种形式：(1)那么当 z=z0：(2)对z求导：展开式唯一展开式唯一第34页，共92页，编辑于2022年，星期六35 来求来求 ak。由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求

19、解一个由展开式的唯一性，可以用任何方便的办法来求解一个解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式解析函数的泰勒展开式，不必一定要用积分表达式说明：说明：(1)解析函数与泰勒级数之间存在密切关系解析函数与泰勒级数之间存在密切关系：a.幂级数在其收敛圆内解析；幂级数在其收敛圆内解析；b.解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。(2)如果如果f(z)在在B内有一阶导数存在，则内有一阶导数存在，则f(z)可在可在B内每一点的内每一点的邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，邻域内展开成泰勒级数。而对于实变函数来说，f(x)的一的一阶导数存在，它

20、的二阶或高阶导数可能不存在，因此阶导数存在，它的二阶或高阶导数可能不存在，因此 f(x)就不可能展开成泰勒级数。就不可能展开成泰勒级数。第35页，共92页，编辑于2022年，星期六36;,00级数称为级数称为麦克劳林级数麦克劳林级数时时当当=z因为解析，可以保证无限阶导数的因为解析，可以保证无限阶导数的连续性连续性;注意：注意：所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多。要比实变函数广阔的多。说明说明:第36页，共92页，编辑于2022年，星期六37(三三)将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.1.直接法直接法

21、:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数.)(0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf例例1，故有故有第37页，共92页，编辑于2022年，星期六38,在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze。=R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径2.2.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式 ,结合解析函数结合解析函数的性质的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质 (逐项求导逐项求导,积分等积分等)和和其它数学技巧其它数学技巧 (代换等代换等),),求函数的泰勒展开式。求函数的泰勒展开式。间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶

22、导数与收敛半径 ,因而比直接展因而比直接展开更为简洁开更为简洁 ,使用范围也更为广泛。使用范围也更为广泛。第38页，共92页，编辑于2022年，星期六39例例2 2.0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求=zz第39页，共92页，编辑于2022年，星期六40附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式第40页，共92页，编辑于2022年，星期六41第41页，共92页，编辑于2022年，星期六42例例3 3解解上式两边逐项求导上式两边逐项求导,11)1(12-=+zzz上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1区域内解析区域内解析即在即在 z故可在其解析区域内展开成

23、故可在其解析区域内展开成的幂级数的幂级数z第42页，共92页，编辑于2022年，星期六43例例4 4*分析分析如图如图,-1OR=1xy.1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz=,1,1 )1ln(是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从-+z第43页，共92页，编辑于2022年，星期六44即即 将展开式两端沿将展开式两端沿 l 逐项积分逐项积分,得得解解,0 1 的曲线的曲线到到内从内从为收敛圆为收敛圆设设zzl 第44页，共92页，编辑于2022年，星期六453.4 3.4 3.4 3.4 解析延拓解析延

24、拓解析延拓解析延拓：将解析函数定义域加以扩大将解析函数定义域加以扩大 例例;幂级数：幂级数：在以在以z=0为圆心的单位圆为圆心的单位圆B内代表一个解析函数，令内代表一个解析函数，令为为级数的收敛域级数的收敛域B即解析函数定义域半径即解析函数定义域半径R=1。在单位圆在单位圆B内，取一点内，取一点z0=i/2 为圆心进行将为圆心进行将f1(z)泰勒展开泰勒展开这级数的收敛域这级数的收敛域b的半径为的半径为 （一）解析延拓（一）解析延拓（一）解析延拓（一）解析延拓第45页，共92页，编辑于2022年，星期六46 上例说明，收敛域上例说明，收敛域b 跨出原来的收敛域跨出原来的收敛域B 之外，而之外，

25、而级数级数(1)在收敛域在收敛域B内内.b 代表解析函数代表解析函数 f2(z)，于是，于是称称 f2(z )为为 f1(z)在在 b内的解析延拓。内的解析延拓。定义定义：若若f1(z)和和f2(z)分别在分别在B,b内解析，且在内解析，且在B与与b重叠的区域中有重叠的区域中有f1(z)=f2(z)，则称则称f2(z)为为f1(z)在在b中的中的解析延拓解析延拓，f1(z)为为f2(z)在在B中的解中的解析延拓析延拓。可以证明，无论采用何种方法，函数可以证明，无论采用何种方法，函数 f(z)的解析延拓的解析延拓是是唯一唯一的。这样，可以采用某些最方便的方法来进行解的。这样，可以采用某些最方便的

26、方法来进行解析延拓。析延拓。B Bb b第46页，共92页，编辑于2022年，星期六47首先在首先在B1 内任取一点内任取一点 z0，将，将 f 1(z)在在 z0 的邻域展开成泰的邻域展开成泰勒级数勒级数 设级数的收敛区域为设级数的收敛区域为B2 2。如果。如果B2 2超出了超出了B1 1的范围。由于在的范围。由于在B1和和B2的重叠区域的重叠区域 f1(z)=f2(z)，所以，所以 f2(z)就是就是 f1(z)在在 B2中的解析延拓。中的解析延拓。这样不断作下去，得到一系列的解析这样不断作下去，得到一系列的解析 Bn,fn(z)(n=2,3.)(n=2,3.)。一个解析元素一个解析元素

27、Bn,fn(z)的全部解析延拓的集合，称为的全部解析延拓的集合，称为 f1(z)所产生的完全解析函数所产生的完全解析函数 F(z)，F(z)的定义域是邻解析元的定义域是邻解析元素给出的定义域的总和。素给出的定义域的总和。(二二)泰勒级数展开泰勒级数展开解析延拓的方法解析延拓的方法第47页，共92页，编辑于2022年，星期六483.3(1)（3）(6）(8)第48页，共92页，编辑于2022年，星期六493.5 3.5 洛朗级数展开洛朗级数展开(一)问题的引入问题的引入第49页，共92页，编辑于2022年，星期六50例例1.1.都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域及及内都是解析的内都是解析的.

28、而而1,1112+=-zzzzzkLL:10 内内在圆环域在圆环域 z所以所以,121LL+=-kzzzz即即内可以展开成幂级数内可以展开成幂级数.第50页，共92页，编辑于2022年，星期六51 LL+-+-+-+-=kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-+-=-kzzzz 由此推想由此推想由此推想由此推想，若，若f(z)在在R 2 z-z0R1 内解析内解析,f(z)可可以展开成含有负幂次项的级数以展开成含有负幂次项的级数,即即内，内，在圆环域在圆环域110-z第51页，共92页，编辑于2022年，星期六52 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0

29、为中心的圆环域内解析的函为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数数和计算留数数和计算留数的基础。的基础。第52页，共92页，编辑于2022年，星期六53(二二)洛朗级数洛朗级数定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.,)()(0kkkzzazf-=-=内处处解析内处处解析，在在环形域环形域设设 )(102RzzRzf-内可展开成洛朗级数内可展开成洛朗级数在在那末那末Bzf)(为洛朗系数为洛朗系数.第53页，共92页，编辑于

30、2022年，星期六54证证对于第一个积分对于第一个积分(CR1):Bzz0.z.第54页，共92页，编辑于2022年，星期六55对于第二个积分对于第二个积分:所以所以 因为因为.z.第55页，共92页，编辑于2022年，星期六56则则第56页，共92页，编辑于2022年，星期六57则则 对于对于C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单kkkkkkzzazza-=-=-+-=)()(0100.)(0kkkzza-=-=闭曲线闭曲线.可用一个式子表示为可用一个式子表示为:kkaa-与与第57页，共92页，编辑于2022年，星期六58说明说明:函数函数在圆环域内的在圆环域

31、内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数.1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的级数是唯一的.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法般方法.kkkzzazf)()(0-=-=第58页，共92页，编辑于2022年，星期六59(三三三三)函数的洛朗展开式函数的洛朗展开式常用方法常用方法 :1.:1.直接法直接法 2.2.间接法间接法 1.直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数),2,1,0(d)()(211

32、0L =-=+kzfiaCkkz zz zz z然后写出然后写出.)()(0kkkzzazf-=-=根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .2.间接展开法间接展开法第59页，共92页，编辑于2022年，星期六60例例2 2解解由定理知由定理知:,)(kkkzazf -=而而z zz zz zd)()(2110+-=Ckkzfiaz zz zz zd213+=Ckei目标求目标求目标求目标求a ak k 令令f1=e,则则f1=e在在闭合回路闭合回路C内和内和C上均解析，上均解析

33、，故由解析函数的导数公式故由解析函数的导数公式 z zz zz zd2(k+1)!3+=Ck1eif(k+1)+=)!1(k+1)kfka1(0)即有即有 如何计算如何计算ak?.第60页，共92页，编辑于2022年，星期六61间接法解：间接法解：直接展开直接展开ezz zz zz zd213+=Ckkeia022)(dd)!2(1=+=zzkkezk)!2(1+=k -=+=2)!2()(kkkzzf故故第61页，共92页，编辑于2022年，星期六62例例3 3 内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解:)2)(1(1)(在圆

34、环域在圆环域函数函数-=zzzf ,10 )1内内在在 z间接展开法间接展开法第62页，共92页，编辑于2022年，星期六63oxy1=)(zf所以所以LL+=-nzzzz2111则则,1 z由于由于12 z从而从而是泰是泰勒级数勒级数第63页，共92页，编辑于2022年，星期六6412oxy由由且仍有且仍有 ,21 )2内内在在 z第64页，共92页，编辑于2022年，星期六652oxy由由此时此时,2 )3内内在在 z)(zf于是于是第65页，共92页，编辑于2022年，星期六66仍有仍有,121 zz此时此时)(zf故故注意注意:奇点但却不是函数奇点但却不是函数的奇点的奇点.本例中圆环域

35、的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的第66页，共92页，编辑于2022年，星期六67说明说明:1.函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有的负幂项的负幂项,而且而且 又是这些又是这些项的奇点项的奇点,但是但是 可能是函数可能是函数的奇点的奇点,也可能也可能的奇点的奇点.不是不是2.给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式 (包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).).第67页，共92页，编辑于2022年，星期六68

36、解：解：间接法间接法 即通过即通过展开展开sinz为级数求解：为级数求解：例例4.0 sin 0洛朗级数洛朗级数的去心邻域内展开成的去心邻域内展开成在在将函数将函数=zzz第68页，共92页，编辑于2022年，星期六693.6 3.6 3.6 3.6 孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类定义定义：若函数若函数f(z)在点在点z0处不解析处不解析（或没有定义），但在点（或没有定义），但在点z0的某个的某个空心邻域空心邻域空心邻域空心邻域 内解析内解析，则称点，则称点z0为为f(z)的的孤立奇点孤立奇点。(一一)孤立奇点的概念孤立奇点的概念孤立奇点的概念孤立奇点的概念例例1z=

37、0是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.是函数是函数的孤立奇点的孤立奇点.注意注意:孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.第69页，共92页，编辑于2022年，星期六70例例2 2 指出函数指出函数在点在点的奇点特性的奇点特性.解解即在即在的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在的奇点存在,函数的奇点是函数的奇点是1/z=0和和sin(1/z)=0对应的点，即对应的点，即总有总有不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以，因为因为01lim=p p kk第70页，共92页，编辑于2022年，星期六71 定义定义 设设z0是解析函数是解析函数

38、f(z)的孤立奇点的孤立奇点，f(z)在在点点z0的某去心邻域的某去心邻域 内的罗朗展式为内的罗朗展式为 (1)(1)若展式中若展式中不含有不含有不含有不含有z z-z z0 0的负幂项的负幂项的负幂项的负幂项，则称，则称z0为为f(z)的的可去奇可去奇点点；(2)(2)若展式中若展式中只含有只含有z z-z z0的有限的有限的有限的有限(mm)项负幂项项负幂项项负幂项项负幂项，则称则称z0是是f(z)的的极点极点，称称m为极点为极点z0的阶，按照的阶，按照m=1或或m1，称称z0是是f(z)的单极点或的单极点或m阶的极点；阶的极点；(3)(3)若展式中若展式中含有含有z z-z z0 0的无

39、穷多个负幂项的无穷多个负幂项的无穷多个负幂项的无穷多个负幂项，则称，则称z0为为f(z)的的本性奇点本性奇点。(二二二二)孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类孤立奇点的分类第71页，共92页，编辑于2022年，星期六72其和函数其和函数为在为在解析的函数解析的函数.说明说明:(1)(2)无论无论在在是否有定义是否有定义,补充定义补充定义则函数则函数在在解析解析.1可去奇点可去奇点如果洛朗级数中不如果洛朗级数中不含含 的负幂项的负幂项,那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的的可去奇点可去奇点.1)定义定义,)(0的孤立奇点的孤立奇点若是若是zfz.)()()(0010LL+-+-+=kkz

40、zazzaazf,)(00azf=000,)()(zzazzzFzf第72页，共92页，编辑于2022年，星期六73 2)可去奇点的判定可去奇点的判定(1)定义判断定义判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负在在如果如果幂项则幂项则为为的可去奇点的可去奇点.(2)极限判断极限判断若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则为为的可去奇点的可去奇点.如果补充定义如果补充定义:时时,那末那末在在解析解析.例例3 中不含负幂项中不含负幂项,是是的可去奇点的可去奇点 .第73页，共92页，编辑于2022年，星期六74例例4 说明说明为为的可去奇点的可去奇点.解解 由定义判断由定义判断所以所以为为的可去奇点

41、的可去奇点.无负幂项无负幂项极限判断极限判断的可去奇点的可去奇点.为为第74页，共92页，编辑于2022年，星期六752.极点极点 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成1)定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项,1012020)()()()(-+-+-=zzazzazzazfmmLL+-+)(010zzaa)0,1(-mam第75页，共92页，编辑于2022年，星期六76说明说明:1.2.特点特点:(1)(2)的极点的极点 ,则则为函数为函数如果如果例例5 有理分式函数有理分式函数

42、是二级极点是二级极点,是一级极点是一级极点.L+-+-+=+-+-20201)()()(zzazzaazgmmm内是解析函数内是解析函数在在d d-0zz第76页，共92页，编辑于2022年，星期六772)极点的判定方法极点的判定方法的负幂项为有的负幂项为有的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 (1)定义判别定义判别(2)定义的等价形式判别定义的等价形式判别(3)(3)极限判断极限判断.第77页，共92页，编辑于2022年，星期六78本性奇点3.如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个那末

43、孤立奇点那末孤立奇点称为称为的的本性奇点本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不不存在且不为为同时同时不存在不存在.为本性奇点，为本性奇点，所以所以0=z第78页，共92页，编辑于2022年，星期六79(三三三三)函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态1.定义定义如果函数如果函数在无穷远点在无穷远点的去心的去心邻域邻域内解析内解析,则称点则称点 为为的的孤孤立奇点立奇点.Rxyo第79页，共92页，编辑于2022年，星期六80作变换作变换并且规定此变换将

44、并且规定此变换将:映射为映射为扩充扩充 z 平面平面扩充扩充 t 平面平面映射为映射为映射为映射为映射为映射为第80页，共92页，编辑于2022年，星期六812 结论结论:在去心邻域在去心邻域内对函数内对函数的研究的研究在去心邻域在去心邻域内对函数内对函数的研究的研究因为因为 在去心邻域在去心邻域内是解析的内是解析的,所以所以是是的孤立奇点的孤立奇点.3 规定规定:m级奇点或本性奇点级奇点或本性奇点.的可去奇点的可去奇点、m级奇点或级奇点或本性奇点本性奇点,如果如果 t=0 是是是是的可去奇点、的可去奇点、那末就称点那末就称点第81页，共92页，编辑于2022年，星期六821)1)不含正幂项不

45、含正幂项;2)2)含有有限多的正幂项且含有有限多的正幂项且为最高正幂为最高正幂;3)3)含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项;那末那末是是的的1)1)可去奇点可去奇点 ;2)m 级极点级极点;3)3)本性奇点本性奇点 .判别法判别法1(1(利用洛朗级数的特点利用洛朗级数的特点)4.判别方法判别方法:在在内的洛朗级数中内的洛朗级数中:如果如果第82页，共92页，编辑于2022年，星期六83例例6 6 (1)函数函数在圆环域在圆环域内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为:不含正幂项不含正幂项所以所以是是的可去奇点的可去奇点 .(2)(2)函数函数含有正幂项且含有正幂项且 z 为最高正为最高正幂项幂项,所

46、以所以是是的的一一级极点级极点.第83页，共92页，编辑于2022年，星期六84(3)函数函数的展开式的展开式:含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项所以所以是是的本性奇点的本性奇点.第84页，共92页，编辑于2022年，星期六85判别法判别法2:(利用极限特点利用极限特点)如果极限如果极限1)1)存在且为有限值存在且为有限值 ;2)2)无穷大无穷大;3)3)不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大 ;那末那末是是的的1)1)可去奇点可去奇点 ;2)2)m级极点级极点;3)3)本性奇点本性奇点 .第85页，共92页，编辑于2022年，星期六86例例7 函数函数在扩充复平面内在扩充复平面内有些什么类型

47、的奇点有些什么类型的奇点?如果是极点如果是极点,指出它的级指出它的级.解解 函数函数除点除点外外,所以这些点都是所以这些点都是的一级零点的一级零点,内解析内解析 .在在.,2,1,0cos)(sin处均不为零处均不为零在在因因L =p p=p pzzz（1）分析）分析的零点情况：的零点情况：（2）分析分子的）分析分子的零点情况；零点情况；为一级零点，为一级零点，与与则则11-为三级零点，为三级零点，则则2先分析有限区域，再分析无限区域先分析有限区域，再分析无限区域先分析有限区域，再分析无限区域先分析有限区域，再分析无限区域第86页，共92页，编辑于2022年，星期六87然而然而那末那末是是的可

48、去奇点的可去奇点.因为因为的三级极点的三级极点.（3）分析）分析的极点情况：的极点情况：故在故在 这些点中除这些点中除1,-1,2外外,都是都是对于对于z=2，第87页，共92页，编辑于2022年，星期六88不是不是的孤立奇点的孤立奇点.所以所以的孤立奇点，的孤立奇点，不是不是故故 =z zz z10f第88页，共92页，编辑于2022年，星期六89 洛朗级数是一个双边幂级数洛朗级数是一个双边幂级数,其解析部分是其解析部分是一个普通幂级数一个普通幂级数;答答:是一般与特殊的关系是一般与特殊的关系.洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数的收敛区域是圆环域洛朗级数与泰勒级数有何关系洛朗级数与泰勒级数有何关系?思考题思考题1.级数了级数了洛朗级数就退化为泰勒洛朗级数就退化为泰勒思考思考第89页，共92页，编辑于2022年，星期六90思考题思考题2答答:第90页，共92页，编辑于2022年，星期六913.5(1)（3）(5）(7)(9)3.6(1)（2）(3）第91页，共92页，编辑于2022年，星期六92第92页，共92页，编辑于2022年，星期六