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1、数学文化解析几何的产生第1页，共21页，编辑于2022年，星期六解析几何解析几何u解析几何产生的历史u解析几何的基本思想u解析几何的发展u解析几何的产生对数学发展的影响u解析几何的应用u解析几何的基本内容u几何学的起源第2页，共21页，编辑于2022年，星期六几何学的起源 几何学的起源也十分久远，它产生于早期人类的社会实践，从人类对实物形状的认识开始。而促进几何学产生的直接原因与土地测量与天文活动有关。今天的“几何”（Geometry）一词，源于希腊语，本意是指测量术。早期文明中的几何学内容基本都是与几何形体的度量计算以及测量有关。第3页，共21页，编辑于2022年，星期六解析几何产生的历史
2、十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对力学、航海等方面都对几何学几何学提出了新的需要。比如，提出了新的需要。比如，德德国国天文学家开普勒发现天文学家开普勒发现行星行星是绕着太阳沿着是绕着太阳沿着椭圆椭圆轨道运轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点焦点上；意大利科学上；意大利科学家家伽利略伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到现都涉及到圆锥曲圆锥曲 线线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然
3、已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。第4页，共21页，编辑于2022年，星期六 笛卡尔笛卡尔1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作表了他的著作方法论方法论，这本书的后面，这本书的后面有三篇附录，一篇叫有三篇附录，一篇叫折光学折光学，一篇叫，一篇叫流星学流星学，一篇叫，一篇叫几何学几何学。笛卡尔的中心思想是建立起一种笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍普遍”的的数学，把算术、代数、几何统一起来。数学，把算术、代数、几何统一起来。第5页，共21页，编辑于2022年，星期六费尔玛虽是一位业余数学家，在牛顿、莱布
4、尼兹大体虽是一位业余数学家，在牛顿、莱布尼兹大体完成微积分之前，他是为创立微积分作出贡献完成微积分之前，他是为创立微积分作出贡献最多的人最多的人 对数论、解析几何、概率论三个方面都有对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。重要贡献。第6页，共21页，编辑于2022年，星期六解析几何的基本思想解析几何的基本思想 笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面平面平面平面上的点和上的点和上的点和上的点和实数对实数对实数对实数对(x,y)(x,y)的对应关系。的对应关系。的对应关系。的
5、对应关系。x,yx,y的不同数值可以确定平面的不同数值可以确定平面的不同数值可以确定平面的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。质。这就是解析几何的基本思想。质。这就是解析几何的基本思想。质。这就是解析几何的基本思想。具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，具体地说，平面解析几
6、何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。第7页，共
7、21页，编辑于2022年，星期六解析几何的基本内容n n坐标系n n解析法n n变量数学的时期 学习用品中的圆锥曲线第8页，共21页，编辑于2022年，星期六解析几何的发展解析几何的发展n n欧几里得几何n n非欧几何n n坐标几何n n群的概念n n几何局部化n n几何整体化第9页，共21页，编辑于2022年，星期六欧几里得几何欧几里得几何 欧几里得在公元前300年左右写了几何原本。它的主要结论有两个:(1)毕达哥拉斯定理 这条定理就是我们常说的勾股定理:设有一直角三角形，则长边的平方等于其它两边的平方和。(2)三角形三内角之和等于180 如果以弧度为单位，也可以说三角形三内角之和等于。第1
8、0页，共21页，编辑于2022年，星期六非欧几何非欧几何从三角形三内角之和等于从三角形三内角之和等于180180这个结论，而有接下来的重要发展这个结论，而有接下来的重要发展:(1)(1)球面几何球面几何 我们所讨论的三角形，并不一定都要在平面上，也可以我们所讨论的三角形，并不一定都要在平面上，也可以是一个球面三角形，在这种情形下，三角形三内角之和必然大于是一个球面三角形，在这种情形下，三角形三内角之和必然大于180180，并且有一个非常重要的公式并且有一个非常重要的公式:A+B+C-=S/R2A+B+C-=S/R2 (2)(2)双曲型的非欧几何双曲型的非欧几何 在这种情形下，三角形三内角之和是
9、小于在这种情形下，三角形三内角之和是小于180180的，即有的，即有如下的重要公式如下的重要公式:A+B+C-=-S/R2 A+B+C-=-S/R2 在空间或者在空间或者“平面平面”的曲率，可以是正的，像球面几何；也可以是的曲率，可以是正的，像球面几何；也可以是负的，像双曲几何。而其相对应的三角形三内角和，也分别有大于或小负的，像双曲几何。而其相对应的三角形三内角和，也分别有大于或小于于180180的情形，不再满足欧几里得的平行公理，因此它们也被称作的情形，不再满足欧几里得的平行公理，因此它们也被称作“非欧几何非欧几何”。第11页，共21页，编辑于2022年，星期六坐标几何欧几里得几何之后，第
10、二个重要的发展是坐标几何。欧几里得几何之后，第二个重要的发展是坐标几何。欧几里得几何之后，第二个重要的发展是坐标几何。欧几里得几何之后，第二个重要的发展是坐标几何。有了解析几何，即可用解析的方法进行几何学的讨有了解析几何，即可用解析的方法进行几何学的讨有了解析几何，即可用解析的方法进行几何学的讨有了解析几何，即可用解析的方法进行几何学的讨论。论。论。论。这样的发展不但使几何问题的处理容易些，而这样的发展不但使几何问题的处理容易些，而这样的发展不但使几何问题的处理容易些，而这样的发展不但使几何问题的处理容易些，而且更有其重大的意义且更有其重大的意义且更有其重大的意义且更有其重大的意义:(1)(1
11、)(1)(1)解析化之后，可扩大所研究的图形的范围。解析化之后，可扩大所研究的图形的范围。解析化之后，可扩大所研究的图形的范围。解析化之后，可扩大所研究的图形的范围。(2)(2)(2)(2)研究的图形不再局限在二维的平面上，而可研究的图形不再局限在二维的平面上，而可研究的图形不再局限在二维的平面上，而可研究的图形不再局限在二维的平面上，而可推广至高维空间。推广至高维空间。推广至高维空间。推广至高维空间。第12页，共21页，编辑于2022年，星期六群的概念第三个发展是群的概念，这是数学上一个基本的第三个发展是群的概念，这是数学上一个基本的结构。数学总是要运算，加、减、乘、除。结构。数学总是要运算
12、，加、减、乘、除。要把一个物体从甲地移到乙地，再移到丙地，亦要把一个物体从甲地移到乙地，再移到丙地，亦可直接把物体从甲地移到丙地，即两个运动的结可直接把物体从甲地移到丙地，即两个运动的结果，可经由一次运动来达成；具有这个特殊性质果，可经由一次运动来达成；具有这个特殊性质的，便称为一个群，几何学研究的对象，应是经的，便称为一个群，几何学研究的对象，应是经运动群变换后不变的几何性质。运动群变换后不变的几何性质。研究几何性质在投影群变换之下不变的是投影几何。研究几何性质在投影群变换之下不变的是投影几何。第13页，共21页，编辑于2022年，星期六在几何学的发展之中，有许许多多不同的几何学，像欧几里得
13、几何学、投影几何学及其他种种几何学，自然就要有一个人把它综合集结起来，他就是德国的数学家克莱因。克莱因把几何学建立在群的观念上:一个空间有一个变换群，允许把空间的图形从这个位置移到另一个位置；因此有了一个群之后，便有一种几何，研究经过这个变换群变换之后保持不变的所有图形的几何性质。第14页，共21页，编辑于2022年，星期六几何局部化黎曼所创立的几何把几何局部化，可以说是几何学的第四个发展，这是笛卡尔坐标几何的自然推广。1854年，黎曼在为取得大学教授资格的公开演讲上，发表了关于黎曼几何的第一篇论文。真正使黎曼几何受到重视的是爱因斯坦的广义相对论。第15页，共21页，编辑于2022年，星期六几
14、何整体化几何整体化 黎曼几何把几何局部化，但我们不能永远只在一个黎曼几何把几何局部化，但我们不能永远只在一个小区域里面，所以局部化之后又要整体化，又要小区域里面，所以局部化之后又要整体化，又要把它扩充到全空间。几何整体化可说是几何学的把它扩充到全空间。几何整体化可说是几何学的第五个发展。而在这个整体化的扩充中，最要紧第五个发展。而在这个整体化的扩充中，最要紧的就是拓扑学，即俞大维先生说的的就是拓扑学，即俞大维先生说的“橡皮几何学橡皮几何学”。大家觉得微分几何应该是很有用的，因为在物理学发大家觉得微分几何应该是很有用的，因为在物理学发展之中，电磁学对人类日常生活是最有影响的；而在展之中，电磁学对
15、人类日常生活是最有影响的；而在遗传工程及其他方面，遗传工程及其他方面，DNA DNA 的结构也是生物科学对的结构也是生物科学对人类生活最有影响的一门学问。而微分几何就是人类生活最有影响的一门学问。而微分几何就是研究这两门学问的数学基础。研究这两门学问的数学基础。第16页，共21页，编辑于2022年，星期六 谈到微分几何，人们经常会想到陈省身先生，会提到杨振宁先生赠陈省身先生的一首诗:天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体。广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。第17页，共21页，编辑于2022年，星期六几何原本几何原本 几何原本几何原本（The ElementsThe Ele
16、ments）由希腊数学家欧）由希腊数学家欧几里得（几里得（EuclidEuclid，公元前，公元前330330年公元前年公元前275275年）所年）所著。著。几何原本几何原本采用了前所未有的独特编写方式，采用了前所未有的独特编写方式，先提出公理、公设、定义，然后由简到繁证明一系列先提出公理、公设、定义，然后由简到繁证明一系列定理。定理。对这本书英国的数学家罗素在对这本书英国的数学家罗素在西方哲学史西方哲学史中是中是这样评价的：欧几里得的这样评价的：欧几里得的（几何）原本（几何）原本毫无疑义是毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑
17、之一。纪念碑之一。它叙述并证明了几千年来人类有关点、线、圆和一它叙述并证明了几千年来人类有关点、线、圆和一些简单的立体几何知识，全书共些简单的立体几何知识，全书共1313卷。卷。第18页，共21页，编辑于2022年，星期六 几何原本几何原本是数学史上的一个伟大的里程是数学史上的一个伟大的里程碑，问世以来，受到广泛的重视与传播，除碑，问世以来，受到广泛的重视与传播，除圣经圣经之外，没有任何一本著作，其使用、研之外，没有任何一本著作，其使用、研究与印行之广泛能与究与印行之广泛能与几何原本几何原本相比。因此，相比。因此，有人称有人称几何原本几何原本为数学的为数学的圣经圣经。它的伟大意义在于，它第一次
18、全面系统它的伟大意义在于，它第一次全面系统地总结了古希腊的数学知识，而且是用公理地总结了古希腊的数学知识，而且是用公理法建立起来的数学演绎体系的最早的典范。法建立起来的数学演绎体系的最早的典范。它不仅影响到数学，还有哲学等在内的许多它不仅影响到数学，还有哲学等在内的许多论著也采取此法。论著也采取此法。第19页，共21页，编辑于2022年，星期六解析几何的应用解析几何的应用 解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。第20页，共21页，编辑于2022年，星期六解析几何的产生对数学发展的影响解析几何的产生对数学发展的影响 解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。第21页，共21页，编辑于2022年，星期六