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1、计算传热学第讲第1页，此课件共77页哦主要内容主要内容n n第一讲：绪论第一讲：绪论第一讲：绪论第一讲：绪论n n第二讲：传热问题的数学描述第二讲：传热问题的数学描述第二讲：传热问题的数学描述第二讲：传热问题的数学描述n n第三讲：数学模型与求解区域的离散化第三讲：数学模型与求解区域的离散化第三讲：数学模型与求解区域的离散化第三讲：数学模型与求解区域的离散化n n第四讲：扩散方程的数值解第四讲：扩散方程的数值解第四讲：扩散方程的数值解第四讲：扩散方程的数值解n n第五讲：离散方程的求解、加速及注意事项第五讲：离散方程的求解、加速及注意事项第五讲：离散方程的求解、加速及注意事项第五讲：离散方程的
2、求解、加速及注意事项n n第六讲：对流扩散方程的离散化第六讲：对流扩散方程的离散化第六讲：对流扩散方程的离散化第六讲：对流扩散方程的离散化n n第七讲：非边界层对流换热的数值计算第七讲：非边界层对流换热的数值计算第七讲：非边界层对流换热的数值计算第七讲：非边界层对流换热的数值计算n n第八讲：网格生成技术简介第八讲：网格生成技术简介第八讲：网格生成技术简介第八讲：网格生成技术简介n n第九讲：紊流模型第九讲：紊流模型第九讲：紊流模型第九讲：紊流模型第2页，此课件共77页哦主要参考书主要参考书n n陶文铨编著陶文铨编著陶文铨编著陶文铨编著.数值传热学数值传热学数值传热学数值传热学.西安交通大学出
3、版社西安交通大学出版社西安交通大学出版社西安交通大学出版社n nPatankar SV.Patankar SV.Numerical Heat Transfer and Numerical Heat Transfer and Fluid FlowFluid Flow.N.Y.,McGraw-Hill,1980.N.Y.,McGraw-Hill,1980n nShih TM.Shih TM.Numerical Heat TransferNumerical Heat Transfer,Washington,Hemisphere Publishing Co.,Washington,Hemisphere
4、 Publishing Co.,19841984n n陶文铨著陶文铨著陶文铨著陶文铨著.计算传热学的近代进展计算传热学的近代进展计算传热学的近代进展计算传热学的近代进展.科学出版社，科学出版社，科学出版社，科学出版社，20002000年年年年n nAnderson JD JR.Anderson JD JR.Computational Fluid Computational Fluid DynamicsDynamics.McGraw-Hill,1995.McGraw-Hill,1995 第3页，此课件共77页哦学习与授课点滴学习与授课点滴n学：n自学n动手n作业n考核：n平时作业：独立完成n期末
5、考试n授课：n画龙点睛n经验所得第4页，此课件共77页哦作业作业n平时布置的作业：按要求完成n大作业：4个题，要求结课时一并提交第5页，此课件共77页哦第6页，此课件共77页哦第7页，此课件共77页哦第8页，此课件共77页哦第9页，此课件共77页哦第一讲第一讲 LECTURE ONE绪论绪论INTRODUCTIONINTRODUCTION第10页，此课件共77页哦阅读要求及作业阅读要求及作业n陶文铨：数值传热学，第一章n作业：陶文铨，P25 题17第11页，此课件共77页哦什么是计算传热学n借助计算机用数值方法求解传热问题n传热学的基本任务：给出数学模型n数学模型的求解：数学家n问题：n实际问
6、题及其复杂性n特殊问题：数学家也无能为力n出路：n借助实验或近似方法求解n数值方法是一种典型的近似方法n数学家发展起来的数值方法：不能奏效n计算传热学：独具特色的数值方法n推动了计算方法的发展第12页，此课件共77页哦计算传热学：内涵n计算传热学是一种近似方法n其基础是数值方法n离散化的近似算法n解：非连续的（分析解是连续的）n求解区域代表点上待求变量的近似值n数值方法的核心：n一系列的点代表连续的求解区域n离散的待求变量的数值逼近或近似待求变量（连续函数）n计算传热学的内涵：n离散连续第13页，此课件共77页哦计算传热学：总体步骤n给出物理模型（Physical model/descript
7、ion)n借助基本原理/定律给出数学模型数学模型数学模型数学模型（Mathematical model)n质量守恒（Mass Conservation）n能量守恒（Energy Conservation）n动量守恒（Momentum Conservation）n傅立叶定律（Fouriers heat conduction law)n菲克定律（Ficks mass diffusion law）n牛顿内摩擦定律（Newtons friction law）n。出发点和基础！第14页，此课件共77页哦n求解区域的离散化(discretization)n数学模型的离散化n恰当的方法n建立结点（代表点）处
8、待求变量近似值（未知！）之间的代数关系：n离散化方程计算传热学：总体步骤n对数学模型进行简化和化简n简化：物理上的n化简：数学上的Very Important！核心内容，成败关键第15页，此课件共77页哦计算传热学：总体步骤n求解离散化方程n制约因素n可靠性检验n与分析解对比（简单问题）n实验结果n前人结果（Benchmark problems）n结果表达与分析n成品阶段n图线n拟合n分析讨论第16页，此课件共77页哦历史与现状n基本思想源远流长nNewton&Leibnizn20世纪30年代n出现了有限差分法；图解法n影响计算传热学发展的主要因素n实际需求，计算机的发展n20世纪30年代的有
9、限差分法n3060年代的大空白n物理现象深入透彻的理解n70年代对流换热计算技术的快速发展n物理机理（physical mechanism）明确n数学上确定n数值方法的发展：相辅相成，互为促进第17页，此课件共77页哦现状与分类n现状n成熟的艺术，满足工程与科学研究的需要n向系统化、通用化和商业化发展n多种商业软件n网上资源nBlack boxnprogram skillneasy reading第18页，此课件共77页哦分类n有限差分法（Finite difference method）n用差商与代替导数n经典、成熟n数学理论基础明确n主导方法n有限容积法(Finite volume met
10、hod)n控制容积法（Control volume method）n基本上属于有限差分法的范畴第19页，此课件共77页哦分类n有限单元法（Finite element method)n将求解区域分成若干个小的单元（element）n设定待求变量在单元上的分布函数n适应性强，适用于复杂的求解区域n一度有取代有限差分法的趋势n程序技巧要求告n数学基础不如有限差分法明确第20页，此课件共77页哦分类n边界单元法（Boundary element method)n对数学模型在边界上离散化n基于数学模型的基础解n不需要全区域求解n数学技巧要求高n通用性差n数学基础不是非常明确第21页，此课件共77页哦分
11、类n样条边界单元法（Sample spectrum)n改进的边界单元法n用样条插值解决边界元的基础解问题n应用范围大大拓宽n灵活性更强n缺点：同边界单元法第22页，此课件共77页哦分类n有限分析法（Finite analytical method)n将求解区域分成若干个子区域n给出在各个子区域上的分析解n利用边界条件耦合各个子区域上的分析解从而得到离散化方程n最大限度地引入了分析解的成分n一般可以提高求解效率和精度n数学技巧非常高n与问题的性质有关n很难形成通用程序第23页，此课件共77页哦分类n数值积分变换法（Numerical integration transform method)n将
12、积分变换法引入各类问题的求解n将问题进行分解：n可以得到分析解的辅助问题n多个（无限多个）常微分方程n无需整体求解n数学要求高n前期准备工作量非常大n很难形成通用的求解程序第24页，此课件共77页哦数值方法 分析解法与实验研究n分析解法n成本最低n结果最理想n影响因素表达清楚n缺点：局限与非常简单的问题n数值方法n成本较低：数值实验n适用范围宽n缺点：可靠性差，表达困难n实验研究n可靠n成本高将三种方法有机将三种方法有机将三种方法有机将三种方法有机结合，互为补充，结合，互为补充，结合，互为补充，结合，互为补充，必然会取得相得必然会取得相得必然会取得相得必然会取得相得益彰的效果益彰的效果益彰的效
13、果益彰的效果第25页，此课件共77页哦第2讲传热问题的数学描述传热问题的数学描述Mathematical Description of Heat Transfer Mathematical Description of Heat Transfer ProblemsProblems第26页，此课件共77页哦引言引言n n数值计算的出发点：数学模型数值计算的出发点：数学模型数值计算的出发点：数学模型数值计算的出发点：数学模型n n数学模型（数学模型（数学模型（数学模型（Mathematical model)Mathematical model)Mathematical model)Mathemat
14、ical model)n n控制方程（控制方程（控制方程（控制方程（Governing equations)Governing equations)Governing equations)Governing equations)n n基于基本原理与定律基于基本原理与定律基于基本原理与定律基于基本原理与定律n n偏微分方程组偏微分方程组偏微分方程组偏微分方程组n n定解条件（定解条件（定解条件（定解条件（Boundary conditionsBoundary conditionsBoundary conditionsBoundary conditions）n n坐标系不同，控制方程的形式不尽相同
15、坐标系不同，控制方程的形式不尽相同坐标系不同，控制方程的形式不尽相同坐标系不同，控制方程的形式不尽相同n n适当选取坐标系可以简化分析适当选取坐标系可以简化分析适当选取坐标系可以简化分析适当选取坐标系可以简化分析n n必要的简化与化简必要的简化与化简必要的简化与化简必要的简化与化简第27页，此课件共77页哦2.1 控制方程控制方程n n传热的三种模式（传热的三种模式（传热的三种模式（传热的三种模式（Modes of heat transferModes of heat transfer)n n热传导（热传导（热传导（热传导（Thermal conduction)Thermal conducti
16、on)n热对流（Thermal advection)n n对流换热（对流换热（对流换热（对流换热（Convection heat transfer)Convection heat transfer)n n热辐射（热辐射（Thermal radiation)Thermal radiation)n n辐射换热（辐射换热（辐射换热（辐射换热（Radiation heat transferRadiation heat transfer)n关系：n共存，相互影响n n辐射的特殊性辐射的特殊性辐射的特殊性辐射的特殊性n可以忽略n以边界条件的形式给出第28页，此课件共77页哦2.1.1热传导nDefinit
17、ionnFouriers Lawn 导热系数ngradT 温度梯度第29页，此课件共77页哦2.1.1热传导nEnergy Conservation Equationn符号意义，单位n timen thermal conductivityn specific heatnqV heat source第30页，此课件共77页哦2.1.1热传导nOperators第31页，此课件共77页哦Coordinate Systemsxzyox-y-zxzyorr-zrxzyor-第32页，此课件共77页哦2.1.1热传导nOperators利用这些公式，可以得到不同坐标系下的导热微分方程利用这些公式，可以得
18、到不同坐标系下的导热微分方程利用这些公式，可以得到不同坐标系下的导热微分方程利用这些公式，可以得到不同坐标系下的导热微分方程第33页，此课件共77页哦2.1.2 对流换热nDefinition&Complexityn nNewtons Cooling Lawn nContinuity EquationnMass Conservationn符号意义nFor incompressible flow:第34页，此课件共77页哦2.1.2 对流换热n nMomentum EquationsnRefers to Text Bookn来源、个数、基本原理n体积（第二）粘度系数 second viscosi
19、ty coef.nNot well-definednContradictory conclusionsnLess important for most of the practical casesnRelated to the divergence of velocity 第35页，此课件共77页哦n符号的意义n关于黏性耗散函数的说明：n由来及地位2.1.2 对流换热n nEnergy EquationnEnergy Conservation or 1st Law of ThermodynamicsnThe Equation:Work by Work by pressurepressureCo
20、nduction Conduction effectseffectsVolumetric sourceDissipation Dissipation effectseffects第36页，此课件共77页哦2.1.2 对流换热n nThe Heat Transfer CoefficientnThe Definition:Newtons Cooling LawnThe Equationn推导方法：原理及依据nBoundary-layer Theory xTwTfu第37页，此课件共77页哦2.1.3 通用方程n由来及意义nThe Equationn 通用变量，generalized depende
21、nt variablen 广义密度，universal densitynU 速度向量（场），velocity vector(field)n 广义扩散系数，universal diffusivitynS 广义源项，（universal)source termUnsteady termConvection termDiffusion termSource term第38页，此课件共77页哦2.1.3 通用方程n对流-扩散方程（Convection-diffusion)n适当选择、U、S n T，c，U=0，导热微分方程n 1，S 0连续性方程nWhy do we need a generic eq
22、uation?n n各类问题的共同特征各类问题的共同特征各类问题的共同特征各类问题的共同特征n n深化理论研究（深化理论研究（深化理论研究（深化理论研究（numericalnumerical）n n编制通用程序（编制通用程序（编制通用程序（编制通用程序（universal program for all problems)universal program for all problems)第39页，此课件共77页哦2.1.4 控制方程的数学特征n n守恒特性（守恒特性（守恒特性（守恒特性（Conservation&non-conservation)Conservation&non-conse
23、rvation)n n守恒型方程守恒型方程守恒型方程守恒型方程 Conservation formConservation formn对流项是以散度的形式给出的n n非守恒型方程非守恒型方程非守恒型方程非守恒型方程n对流项不是不是不是不是以散度的形式给出的nFor incompressible flows,n具有守恒特性n但是，对于同一方程，采用下述变换后，就成为非守恒型方程第40页，此课件共77页哦2.1.4 控制方程的数学特征n因为，对于不可压缩流体，按连续性方程div(U)0第41页，此课件共77页哦2.1.4 控制方程的数学特征n代回原方程，得到n显然，它不具有守恒特性，是非守恒型非守
24、恒型非守恒型非守恒型的n数学上，两种形式的方程必然给出相同的解n数值计算时，守恒型方程n n便于有限单元的分析便于有限单元的分析便于有限单元的分析便于有限单元的分析n n简化了积分过程简化了积分过程简化了积分过程简化了积分过程n得到了广泛的应用n n非守恒型方程不便于积分，但是非守恒型方程不便于积分，但是非守恒型方程不便于积分，但是非守恒型方程不便于积分，但是n离散化时灵活运用连续性方程n相同的结果第42页，此课件共77页哦2.1.4 控制方程的数学特征n控制方程的分类n椭圆型方程椭圆型方程（elliptic equations）n稳态导热问题n稳态非边界层对流换热问题稳态非边界层对流换热问题
25、n n数学及数值特征数学及数值特征数学及数值特征数学及数值特征：n边值问题，boundary value problemsn封闭边界，稳态n整体求解n联立求解，各点间相互影响Pxy第43页，此课件共77页哦2.1.4 控制方程的数学特征n控制方程的分类n n抛物型方程（抛物型方程（抛物型方程（抛物型方程（parabolic equationsparabolic equations）n非稳态导热问题n边界层流动问题（流动方向）n n数学及数值特征数学及数值特征数学及数值特征数学及数值特征：n初值问题，initial value problemsn开口边界，非稳态n步进法（marching for
26、ward）求解Pxy影影影影响响响响区区区区非非非非影影影影响响响响区区区区初值第44页，此课件共77页哦2.1.4 控制方程的数学特征n控制方程的分类n n双曲型方程（双曲型方程（双曲型方程（双曲型方程（hyperbolic equationshyperbolic equations）n波动方程n非Fourier导热问题n无粘流体的稳定超音速流动问题n无粘流体的非稳定流动n n数学及数值特征数学及数值特征数学及数值特征数学及数值特征：n部分边界，局部影响区域n特征线方法（characteristics）xy对对对对P P有影有影有影有影响的边界响的边界响的边界响的边界P点点点点P P的的的的
27、依赖区依赖区依赖区依赖区点点点点P P的的的的影响区影响区影响区影响区第45页，此课件共77页哦2.1.4 控制方程的数学特征n单通道坐标与双通道坐标n n单通道（单向）坐标单通道（单向）坐标单通道（单向）坐标单通道（单向）坐标 one-way coordinateone-way coordinaten扰动仅能沿一个方向传递n该坐标任一点处的物理量仅受来自一侧条件的影响n例子：时间坐标；边界层流动中的主流坐标n数学上：抛物方程，初值问题n数值方法上：可以采用逐步推进法逐步推进法逐步推进法逐步推进法求解n n双通道（双向）坐标双通道（双向）坐标双通道（双向）坐标双通道（双向）坐标 two-way
28、 coordinatetwo-way coordinaten扰动和影响都是双向的n例子：导热问题中的空间坐标，等n数学上：椭圆型的，边值问题n数值方法上：必须联立联立联立联立求解第46页，此课件共77页哦2.1.4 控制方程的数学特征n n边界层问题或抛物型问题边界层问题或抛物型问题边界层问题或抛物型问题边界层问题或抛物型问题n有一个空间坐标是单向坐标n n回流问题或椭圆型问题回流问题或椭圆型问题回流问题或椭圆型问题回流问题或椭圆型问题n所有空间坐标都是双向坐标n单向坐标与一阶偏导数有关n双向坐标与二阶偏导数有关哪个坐标是单向的？哪个坐标是单向的？哪个坐标是单向的？哪个坐标是单向的？哪个坐标是
29、双向的？哪个坐标是双向的？哪个坐标是双向的？哪个坐标是双向的？x x is a two-way is a two-way coordinate!coordinate!第47页，此课件共77页哦2.2 定解条件n n数学模型数学模型数学模型数学模型 Mathematical model/descriptionMathematical model/descriptionn恰当的控制方程 Governing equationsn定解条件 physical boundary conditionsn n定解条件定解条件定解条件定解条件n物理条件 physical conditionsn几何条件 geom
30、etry conditionsn初始条件 initial conditionsn边界条件 boundary conditions第48页，此课件共77页哦2.2.1 初始条件n对系统的影响：n n不同时间阶段内的表现不尽相同不同时间阶段内的表现不尽相同不同时间阶段内的表现不尽相同不同时间阶段内的表现不尽相同：n初始阶段：较为明显n随着时间的推移：影响逐渐减弱n时间无限长时：完全消失，进入新的状态n边界条件与时间无关：稳态n边界条件与时间有关：非稳态n初始状态特征：非稳态过程开始时n设定：给定系统待求变量在初始时刻的分布第49页，此课件共77页哦2.2.1 初始条件n n稳态问题与非稳态问题稳态
31、问题与非稳态问题稳态问题与非稳态问题稳态问题与非稳态问题n与时间无关边界条件作用下非稳态问题的特例n稳态问题的状态将唯一地由边界条件确定n稳态问题的状态与初始条件无关n二者统一起来n在计算传热学中的意义n统一于一个程序n通过求解非稳态问题求解稳态问题n容易收敛，抑制发散n保证得到物理上真实的解n常用的方法第50页，此课件共77页哦2.2.2 边界条件n提法：n最重要、最复杂的定解条件n规定了系统的状态特征n反映了系统与环境之间的联系与相互作用n分类：n n第一类边界：第一类边界：第一类边界：第一类边界：Dirichlet conditionDirichlet conditionnThe 1st
32、 kind of boundary conditionsn给定边界上待求变量的分布n n第二类边界：第二类边界：第二类边界：第二类边界：Newmann conditionNewmann conditionnThe 2nd kind of boundary conditionsn给定边界上待求变量的梯度值第51页，此课件共77页哦2.2.2 边界条件n分类（续）n n第三类边界第三类边界第三类边界第三类边界：nThe 3rd kind of boundary conditionsn待求变量与梯度值之间的函数关系n n混和边界：混和边界：混和边界：混和边界：n说明：稳态问题稳态问题稳态问题稳态问题
33、必须在边界上给出待求变量的值边界上给出待求变量的值边界上给出待求变量的值边界上给出待求变量的值才能得到唯一解唯一解唯一解唯一解。请以导热为例写请以导热为例写请以导热为例写请以导热为例写出各种边界条件出各种边界条件出各种边界条件出各种边界条件的数学表达式！的数学表达式！的数学表达式！的数学表达式！第52页，此课件共77页哦2.2.2 边界条件n流固耦合边界（liquid-solid coupling boundary)n粘性流体应满足非滑移条件nNo-slip conditionn流体在固体边界上的速度应该等于固体表面的速度n流体在固体边界上的温度应该等于固体表面的温度。n入口、出口边界nInf
34、low and out flow boundariesn入口边界：给定n出口边界：待求恒压罐恒压罐恒压罐恒压罐高压气体高压气体高压气体高压气体Laval喷管入口参数：给定入口参数：给定出口参数？出口参数？出口参数？出口参数？第53页，此课件共77页哦2.2.2 边界条件n出口边界的确定：非常重要第54页，此课件共77页哦2.2.2 边界条件n特殊边界n绝热边界（adiabatic boundaries)n绝热与对称n对数值计算的影响T1T1T2T2对称轴对称轴对称轴对称轴T1T2T1T1对称轴对称轴对称轴对称轴第55页，此课件共77页哦2.2.2 边界条件n n特殊边界特殊边界特殊边界特殊边界
35、n n耦合边界（耦合边界（耦合边界（耦合边界（coupled or compounded boundaries)coupled or compounded boundaries)n不连续性n复合材料接触面n相变界面（phase change interfaces)n n作为边界时要注意：作为边界时要注意：作为边界时要注意：作为边界时要注意：n待求变量的唯一性n“流量”的唯一性n依据基本原理推导n n整体求解整体求解整体求解整体求解n物性插值：不能违反物理原则第56页，此课件共77页哦2.2.2 边界条件n特殊边界n n无限边界无限边界无限边界无限边界：n特指无穷远处待求变量应满足的条件n提法：
36、发生在有限区域内的现象，在有限的时间内，绝不会波及到发生在有限区域内的现象，在有限的时间内，绝不会波及到发生在有限区域内的现象，在有限的时间内，绝不会波及到发生在有限区域内的现象，在有限的时间内，绝不会波及到无穷远处无穷远处无穷远处无穷远处n例子：半无限大介质的非稳态导热n无穷远处的温度应维持其初始温度n无穷远处的温度梯度应该等于其初始温度梯度n稳态问题：无穷远处待求变量的取值应有界无穷远处待求变量的取值应有界无穷远处待求变量的取值应有界无穷远处待求变量的取值应有界n固体壁面的存在不会影响无穷远处的速度场第57页，此课件共77页哦2.2.2 边界条件n何谓无穷远，如何判定？n纯数学概念！n物理
37、上的界定：没有受到影响的区域在无穷远处n例子：探针法测材料的导热系数n基于线热源在无限大介质中的非稳态导热被被被被测测测测介介介介质质质质热探针热探针热探针热探针T T1 1T T2 2TtT T1 1T T2 2满足无限大边界要求满足无限大边界要求满足无限大边界要求满足无限大边界要求tend第58页，此课件共77页哦2.3 数学模型的简化与化简n简化与化简的必要性n n简化简化简化简化n机理上的n抓住主要矛盾，合理假设n例子：n非稳态稳态n多维一维n变物性常物性n量级分析：忽略小量级的项n边界层方程n粘性耗散函数第59页，此课件共77页哦2.3 数学模型的简化与化简n n化简化简化简化简n数
38、学上的：对方程进行数学处理n n无量纲化：无量纲化：无量纲化：无量纲化：最重要的化简方法之一n n变量代换变量代换变量代换变量代换n效果明显n数学技巧性强，注意积累n边界层相似变换：偏微分方程组常微分方程nBoltzmann 变换：x/(ct)1/2 常微分方程（非稳态导热）nKirchhoff 变换：U(T)dT常物性问题n n数学变换数学变换数学变换数学变换nLaplace变换nFourier变换n通用积分变换第60页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n n为甚么进行无量纲化为甚么进行无量纲化n n基本步骤基本步骤基本步骤基本步骤n定义新的无量纲因变量和自变量nr、r 参考待求变
39、量，如参考温度等nxr、xr 参考自变量，如参考时间、参考尺寸等第61页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n基本步骤n n代入数学模型代入数学模型代入数学模型代入数学模型n n整理，使整个数学模型成为无量纲的形式整理，使整个数学模型成为无量纲的形式整理，使整个数学模型成为无量纲的形式整理，使整个数学模型成为无量纲的形式n n适当选取适当选取适当选取适当选取 r r、r r、x xr r和和和和 x xr r 等量，使方程最简等量，使方程最简等量，使方程最简等量，使方程最简n n例题：矩形区域内的二维非稳态导热问题例题：矩形区域内的二维非稳态导热问题例题：矩形区域内的二维非稳态导热问题
40、例题：矩形区域内的二维非稳态导热问题第62页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化yxoT Tw w绝热绝热绝热绝热恒热流恒热流恒热流恒热流q qw wT Tf f 第63页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n n第一步：定义无量纲变量第一步：定义无量纲变量第一步：定义无量纲变量第一步：定义无量纲变量第64页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n第二步：计算有关偏导数（将有量纲量用无量纲量和参考量表示出来）第65页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n第三步：将上述各项代入数学模型n代入（1）n方程两边同除以Tr/2，得到，n按照方程系数最简原则方程系数最简原则
41、方程系数最简原则方程系数最简原则，令，第66页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n或n于是第67页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n n这样，方程（这样，方程（这样，方程（这样，方程（1 1）就变为）就变为）就变为）就变为，n n其中，其中，其中，其中，S S是无量纲源项是无量纲源项是无量纲源项是无量纲源项，第68页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n n代入方程（代入方程（代入方程（代入方程（2 2）n n代入方程（代入方程（代入方程（代入方程（3 3）n n代入方程（代入方程（代入方程（代入方程（4 4）第69页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n
42、 n代入方程（代入方程（代入方程（代入方程（5 5）n n代入方程（代入方程（代入方程（代入方程（6 6）n n下面把我们得到的无量纲方程罗列如下下面把我们得到的无量纲方程罗列如下下面把我们得到的无量纲方程罗列如下下面把我们得到的无量纲方程罗列如下：第70页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化第71页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n n第四步：参考量的确定第四步：参考量的确定第四步：参考量的确定第四步：参考量的确定n原则：最简n n参考温度参考温度参考温度参考温度T Tr r：nTr=Tf 或 Tr=Twn习惯上，取Tr=Tf n n参考温差参考温差参考温差参考温差 T
43、Tr r：至少有四种取法：第72页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n按方案（a）第73页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n无量纲参数：第74页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n n与方案（与方案（与方案（与方案（a a）对应的无量纲参数：）对应的无量纲参数：）对应的无量纲参数：）对应的无量纲参数：参变量个数参变量个数参变量个数参变量个数由由由由9 9个变为个变为个变为个变为4 4个！个！个！个！第75页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n方案（b）：第76页，此课件共77页哦2.4 数学模型的无量纲化n n与方案（与方案（与方案（与方案（b b）对应的无量纲参数：）对应的无量纲参数：）对应的无量纲参数：）对应的无量纲参数：参变量个数参变量个数参变量个数参变量个数由由由由9 9个变为个变为个变为个变为4 4个！个！个！个！第77页，此课件共77页哦