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1、-第 1 页考研数学知识点总考研数学知识点总结结-第 2 页考研数学考点与题型归类分析总结1 高数部分1.1高数第一章函数、极限、连续求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则00型和型直接用洛必达法则0、0、1型先转化为00型或型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sinlim0 xxx、exxx10)1(lim、exxx)1(1lim；4.夹逼定理。1.2高数第二章导数与微分、第三章不定积分、第四章定积分第三章不定积分提醒：不定积分CxFdxxf)()(中的积分常数 C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个 C 会失一分。所以可以这样加深印象：定积分dxx
2、f)(的结果可以写为 F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是CxFdxxf)()(中的那个 C,漏掉了 C 也就漏掉了这 1 分。第四章定积分及广义积分解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于aadxxf)(型定积分，若 f(x)是奇函数则有aadxxf)(=0；若 f(x)为偶函数则有aadxxf)(=2adxxf0)(；对于20)(dxxf型积分，f(x)一般含三角函数，此时用xt2的代换是常用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换 x
3、=-u 和利用性质0aa奇函数、aaa02偶函数偶函数。在处理完积分上下限的问题后就-第 3 页使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。1.3高数第五章中值定理的证明技巧用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式 AE、(AB)C、(CDE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出 A、B、D，求证 F。为了证明 F 成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对
4、于证明 F 成立必备逻辑公式中的 AE 就可能有 AH、A(IK)、(AB)M 等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如(AB)M，因为其中涉及了题目所给的 3 个条件中的 2 个，但这恰恰走不通；2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(AB)C，如果不知道或弄错则一定无法得出结论。反方向入手证明时也会遇到同样的问题。通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。so，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复地
5、想自己的这条思路是不是哪里出了问题；另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(CDE)F 再倒推想到(AB)C、AE 就可以证明了。如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：条件欲证结论可用定理-第 4 页A关于闭区间
6、上的连续函数，常常是只有连续性已知存在一个满足某个式子介值定理（结论部分为：存在一个使得kf)(）零值定理（结论部分为：存在一个使得0)(f）B条件包括函数在闭区间上连续、在开区间上可导存在一个满足0)()(nf费马定理（结论部分为：0)(0 xf）罗尔定理（结论部分为：存在一个使得0)(f）C存在一个满足kfn)()(拉格朗日中值定理（结论部分为：存在一个使得abafbff)()()(）柯西中值定理（结论部分为：存在一个使得)()()()()()(agbgafbfgf）另还常用构造辅助函数法，转化为费马或罗尔定理。面对这一部分的题目时，如果把欲证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比
7、从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处so 要“牢记定理的结论部分”。综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能”。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。1.4高数第六章常微分方程历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题出现
8、的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。解题套路：“辨明类型套用对应方法求解”先讨论一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目-第 5 页做出准确判断。各种类型的方法最后的目的都是统一的，就是把以各种形式出现的方程都化为 f(x)dx=f(y)dy的形式，再积分得到答案。对于可分离变量型方程0)()()()(2211dyygxfdxygxf变形为dxxfxf)()(21=-dyygyg)()(12，再积分求解齐次方程)(x
9、yfy 做变量替换xyu，则y化为dxduxu原方程就化为关于xu和的可分离变量方程，变形积分即可解对于一阶线性方程)()(xqyxpyyCepxdx（epxdxqxdx+C）全微分方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy因为其有条件xNyM，而且解题时直接套用通解公式xxdxyxM0),(0yyCdyyxN0),(.所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于)()(xfyn型方程，就是先把)1(ny当作未知函数Z，则Zyn)(原方程就化为dxxfdz)(的一阶方程形式，积分即得；再对)2(ny、)3(ny依次做上述处理即可
10、求解；),(yxfy 叫不显含 y 的二阶方程，解法是通过变量替换py、py(p 为 x 的函数)将原方程化为一阶方程；),(yyfy 叫不显含 x 的二阶方程，变量替换也是令py（但此中的 p为 y 的函数），则pppydydpdxdydydp，也可化为一阶形式。所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换uxy”，“求解贝努利方程)()(xqyxpyny就用变量替换nyz1”一样，在这里也要记住“求解不显含 y 的二阶方程就用变量替换py、py”、“求解不显含 x 的二阶方程就用变量替换py、ppy”。大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方程
11、解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆：若)(1xy、)(2xy是齐次方程若齐次方程组 Ax=0 的基础解系有(n-r)个线性无-第 6 页0)()(yxqyxpy的两个线性无关的特解，则该齐次方程的通解为)()()(2211xycxycx关的解向量，则齐次方程组的通解为rnrnykykykx 2211非齐次方程)()()(xfyxqyxpy的通解为)()()(12211xyxycxycy，其中)(1xy是非齐次方程的一个特解，)()(2211xycxyc是对应齐次方程0)()(yxqyxpy的通解非齐次方程组 Ax=b 的一个通解等于 Ax=b 的一个特解与其导
12、出组齐次方程 Ax=0 的通解之和若非齐次方程有两个特解)(1xy)(2xy，则对应齐次方程的一个解为)()()(21xyxyxy若1r、2r是方程组 Ax=b 的两个特解，则(1r-2r)是其对应齐次方程组 Ax=0 的解可以说本章难就难在记忆量大上。1.5高数第七章一元微积分的应用本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分dttfxa)(单独分离到方程的一端形成“dttfxa)(”的形式，在两
13、边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求解。对于导数应用，有以下一些小知识点：1.利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求导判断，判定极、最值时则须注意以下两点：A.极值的定义是：对于0 x的邻域内异于0 x的任一点都有)(xf)(0 xf或)(xf)(0 xf,注意是或 而不是或；B.极值点包括图 1、图 2 两种可能，所以只有在)(xf在0 x处可导且在0 x处取极值时才有0)(xf。讨论方程根的情况。这一部分常用定理有零点定理（结论部分为0)(f）、罗尔定理（结论部分为0)(f）；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论
14、方程根-第 7 页个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。2.理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：A.若函数)(xf在 区间 I 上的0)(xf，则)(xf在 I 上是凸的；若)(xf在 I 上的0)(xf，则)(xf在 I 上是凹的；B.若)(xf在点0 x处有0)(xf且0)(0 xf，则当0)(0 xf时)(0 xf为极大值，当0)(0 xf时)(0 xf为极小值。其中，A 是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，)(xf 是)(xf的变化率，)(xf 是)(xf 的变化率。0)(xf可以说明函数是增函数；0)(xf可以说明函数)(xf的变化率在区间 I 上是递减的，包
15、括以下两种可能：同样，0)(xf也只有两种对应图像：所以，当0)(xf时，对应或的函数图像，是凸的；当0)(xf时，对应或的函数图像，是凹的。相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的充要条件多了“0)(xf且0)(0 xf”，这从图像上也很容易理解：满足0)(xf的图像必是凸的，即或，当0)(xf且0)(0 xf时不就一定是的情况吗。对于定积分的应用部分，首先需要对微元法熟练掌握。关于定积分的应用，以下补充列出了定积分各种应用的公式表格：求平面图形面积dxxfsba)(-第 8 页求旋转体体积（可用微元法也可用公式）绕x轴旋转体的体积dxxfVxba)(2，绕y轴旋转体得体积d
16、xxxfVyba)(2绕x轴旋转体的体积dxxfxfVxba)()(2122，绕y轴旋转体得体积dxxfxfxVyba)()(212已知平行截面面积求立体体积dxxsVba)(求平面曲线的弧长dxylba2)(11.6高数第八章无穷级数本章在考研真题中最频繁出现的题型包括“判断级数敛散性”、“级数求和函数”和“函数的幂级数展开”。其中判敛是大、小题都常考的，在大题中一般作为第一问出现，求和与展开则都是大题。对于级数判敛部分，主要用的方法是比较法、级数敛散性的定义和四则运算性质。其中比较判敛法有一般形式和极限形式，使用比较判敛法一般形式有以下典型例子：1.已知级数na2收敛，判断级数2|nan的
17、敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式)(221221|nnnaan，再应用比较法的一般形式即可判明。其实这种“知一判一”式的题目是有局限性的若已知级数收敛，则所要求判敛的级数只能也是收敛的，因为只有“小于收敛级数的级数必收敛”这一条规则可用，若待判敛级数大于已知收敛级数，则结果无法判定。所以考研真题中一般只会出成选择题“已知某级数收敛，则下列级数中收敛的是（）”。2 上一种题型是“知一判一”，下面的例子则是给出级数某些性质要求判断敛散性，方法是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系，再应用比较法一般形式判断。举例如下：已知单调递减数列na满足,lim0aanx0a，判断级数nan)(1
18、1的敛散性。关键步骤是：由11111aan得到-第 9 页nanan)()(1111，再利用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的题目一般也不会超出“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。幂级数求和函数与函数的幂级数展开问题是重点内容，也是每年都有的必考题。在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简单、思路巧妙、出法灵活”的知识点要倍加注意，对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“求和、展开”这样必出大题的知识点，更是要紧抓不放。因为这种知识点对“复习时间投入量”的要求接近于一个定值，认认真真搞明白以后，只要接着做适量的题目巩固就行了，有点“一次投入，终生受益”的意思，花时间来掌握很
19、划算。另外，“求和与展开”的简单之处还在于：达到熟练做题程度以后会发现其大有规律可循。这种规律是建立在对 6 个关键的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。对此 6 个展开式的掌握必须像掌握重要定理一样，对条件、等式的左端和右端都要牢牢记住，不但要一见到三者中的任意一个就能立刻写出其他两部分，而且要能够区别相似公式，将出错概率降到最小。公式如下：1.02111nnnuuuuu（-1，1）2.03211)1()1(1nnnnnuuuuuu（-1，1）3.01133122111)1()1()1ln(nnunnunnnuuuu),(4.0!12!211nnunnunuuue),(5.0)!12(12)!
20、12(12!3112)1()1(sinnnunnnnnuuuu),(6.0)!2(2)!2(14!412!212)1()1(1cosnnunnnnnuuuu),(这六个公式可以分为两个部分，前 3 个相互关联，后 3 个相互关联。1 式是第一部分式子的基础。nuuu21不就是一个无穷等比数列吗，在1|u时的-第 10 页求和公式us11正是函数展开式的左端。所以这个式子最好记，以此为出发点看式子 2：1 式左端是u11，2 式左端是u11；1 式右端是0nnu，2 式右端也仅仅是变成了交错级数0)1(nnnu,故可以通过这种比较来记忆式子 2；对于 3 式来说，公式左端的)1ln(u与 2 式
21、左端的u11存在着关系“uu11)1ln(”，故由u11的展开式可以推导出)1ln(u的展开式为011)1(nnunn。这三个式子中的)1,1(u，相互之间存在着上述的清晰联系。后 3 个式子的u),(，相互之间的联系主要在于公式右端展开式形式上的相似性。这一部分的基本式是公式 4：0!nnuune与之相比，usin的展开式是0)!12(12)1(nnunn，ucos的展开式是0)!2(2)1(nnunn。一个可看成是将ue展开式中的奇数项变成交错级数得到的，一个可看成是将ue展开式中的偶数项变成交错级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危险，但此处恰好都是比较顺的搭配：u
22、sin、ucos习惯上说“正余弦”，先正后余；而usin的展开式对应的是奇数项，ucos的展开式对应的是偶数项，习惯上也是说“奇偶性”，先奇后偶。在已知幂级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分(前 3 式)的展开式都不带阶乘，其中只有u11的展开式不是交错级数；第二部分（后 3 式）的展开式都带阶乘，其中只有ue的展开式不是交错级数。由题目给出的幂级数的形式就可以看个八九不离十了，比如给出的幂级数带阶乘而不是交错级数，则应该用公式 4，因为幂级数的变形变不掉阶乘和n)1(；若题目给出的幂级数不带阶乘而且是交错级数，则必从 2、3 两式中选择公式，其它情况也类似。对
23、于函数的幂级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手，相对来说更为简单。在判断出所用公式以后一般要使用下列变形方法使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替换（用于函数的幂级数展开）、四则运算（用于展开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）。对于数项级数求和的题目，主要方法是构造幂级数法，即利用变换010limnnnxnnxaa求得幂级数-第 11 页0nnnxa的和函数)(xs以后代入极限式即可。其中的关键步骤是选择适当的nx，一般情况下如果n、)12(n这样的项在分子中，则应该先用逐项积分再用逐项求导，此时的nx应为1)(x的形式，如1)(nx、1)12(nx，以方便先积分；若题
24、目有)12(1n、)13(1n这样的项，则nx应为)(x的形式，如)12(nx、)13(nx，便于先求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。1.7高数第十章多元函数微分学复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。二元函数相似一元函数极限二元函数的极限要求点),(yx以任何方向、任何路径趋向),(00yxP时均有Ayxf),(（0 xx、0yy）。如果沿不同路径的),(lim00yxfyyxx不相等，则可断定),(lim00yxfyyxx不存在。不同一元函数的极限与路径无关
25、，由等价式AxfxfAxfxx)()()(lim000即可判断。连续性二元函数),(yxfz 在点),(00yxP处连续性判断条件为：),(lim00yxfyyxx存在且等于),(00yxf相似一元函数)(xfy 在点0 x处连续性判断条件为)(lim0 xfxx且等于)(0 xf（偏）导数二元函数),(yxfz 的偏导数定义：xyxfyxxfxzxx),(),(limlim000000分段函数在分界点处求偏导数要用偏导数的定义相似一元函数)(xfy 的导数定义：xxfxxfxyxx)()(limlim0000分段函数在分界点处求导数需要用导数定义全微分简化定义为：对于函数),(yxfz，若其
26、在点),(00yxP处的增量z可表示为)(oyBxAz，其中)(o为的高阶无穷小，则函数),(yxf在),(00yxP处可微，全微分为yBxA，一般有dydxdzyzxz相似简化定义为：若函数)(xfy 在点x处的增量y可表示为dxAy，其中d是x的高阶无穷小，则函数在该点可微，即xAdy，一般有dxxfdy)(可微、可导、连续连续可导可微不同连续可导可微全导数设),(wvufz，)(tgu，)(thv，)(tkw且都可导，不同一元函数没有“全导数”这个概念，但是左边多元函数的全导数其实可以从“一元复合函数”的角度-第 12 页则z对t的全导数dtdwwfdtdvvfdtduufdtdz理解。
27、一元复合函数是指)(ufy、)(xgu 时有dxdududydxdy。与左边的多元函数全导数公式比较就可以将二式统一起来。复合函数微分法链式求导相似一元复合函数求导公式如上格所示，与多元复合函数求导公式相似，只需分清式子中dxdz与xz的不同即可隐函数微分法求由方程0),(zyxF确定的隐含数),(yxZZ 的偏导数，可用公式：),(),(zyxFzyxFxzzx，),(),(zyxFzyxFyzzy对于由方程组0),(0),(zyxGzyxF确定的隐含数)(xyy、)(xzz 可套用方程组00dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyxzyx不仅“形似”，且在相当大程度上相通一元复合函
28、数、参数方程微分法对一元隐函数求导常采用两种方法：1.公式),(),(yxFyxFdxdyyx2.将 y 视为 x 的函数，在方程两边同时对 x 求导一元参数方程微分法：若有)()(tyytxx则)()(txtydxdy极值极值定义：函数),(yxfz 在点),(00yxP的邻域内有定义，且对于其中异于 P 点的任一点),(yxQ，恒有),(),(00yxfyxf或),(),(00yxfyxf，则称),(00yxf为),(yxf的极小/大值，方程组0),(0),(yxfyxfyx的解称为函数的驻点。相似极值定义：函数)(xfy 在点0 x的邻域内有定义且对于其中异于该点的任一点恒有)()(0
29、xfxf或)()(0 xfxf，则称)(0 xf为)(xfy 的极小/大值，方程0)(xf的解称为函数的驻点。取极值的充分条件函数),(yxfz 在点),(00yxP的邻域内有连续二阶偏导，且满足0),(00yxfx、0),(00yxfy、0),(),(),(0000200 yxfyxfyxfyxxy，若0),(00 yxfx或0),(00 yxfy则),(00yxP为极小值点；若0),(00 yxfx或0),(00 yxfy则),(00yxP为极大值点。大纲对于多元函数条件极值的要求为“会用拉格朗日乘数法求条件极值”，是一种比较简单而且程式化的方法。一元函数则无对应的内容。相似函数)(xfy
30、 在点0 x的邻域内可导，且满足0)(xf、0)(xf，则：若0)(xf，则)(0 xf为极小值；若0)(xf，则)(0 xf为极小值1.8高数第十章重积分大纲对于本章的要求只有两句：1.理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧-第 13 页2线性代数部分2.1线代这门课的特点线性代数与高数和概率相比，特点之一是知识点比较细碎。如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多；但线代更重要的特点在于知识点间的联系性很强。这种联系不仅仅是指在后面几章
31、中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。所以我们在复习线代的策略中，有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯通”。“融会”可以理解为设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”可以理解为掌握前后知识点之间的顺承关系。这样做的目的就在于当看到题目的条件和结论、推测出其中涉及到的知识点时立刻就能想到与之有关联的其他知识点队列，从而大大提高解题效率、增加得分胜算。出题专家在编制题目时常常利用这些联系将两部分的内容结合起来出题，比如在历年真题中出现频率很高的性质“齐次方程组是否有零解对应于 A 的列向量组是否线性相关；非齐次方程
32、组 Ax=b 是否有解对应于向量 b 是否可由 A 的列向量线性表示”。再如一个貌似考察向量组线性无关的题目，做起来以后才发现实际考的是矩阵秩或行列式的内容，题眼就在于性质“方阵 A 可逆|A|=0A 的列向量组线性无关r(A)=n”，依靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知识点间的联系。2.2线代第一章行列式、第二章矩阵第一章行列式、第二章矩阵是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。第一章行列式的核心内容是求行列式具体行列式的计算低阶n 阶应用行列式按行列展开定理化为上下三角行列式求解行列式的定义、|A1 2n、行列式的性质抽象行列式的计算考点不在求行列式，而在于TA、A、1A等的相关性质
33、-第 14 页第二章矩阵中的知识点很细碎，但好在每个小知识点包括的内容都不多，没有什么深度。由历年考研真题可见，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、TA、A、1A的性质、矩阵可逆的判定条件、矩阵秩的性质、某些结构特殊的矩阵和矩阵初等变换技巧等。所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致，一些做题时用到的性质和方法结合具体的题目就题论题才有最佳的效果：行列式性质特征值性质（为矩阵A的特征值）运算性质秩的性质转置矩阵TA|TA|AAATT)(TTkAkA)(TTTABAB)(TTTABBA)()()(ArArT)()(AArArTT)()(ArAArT逆矩阵1A|1|
34、1AA有特征值1伴随矩阵A1|nAA有特征值|ATA、A、1A三者之间有一个即好记又好用的性质TTAA)()(11)()(11AATTAA)()(1)(.01)(.1)(.)(nArnArnArnAr数乘矩阵kA、矩阵之积AB及矩阵之和BAAkkAn|BAABkA有特征值k，bEaA有特征值ba)()()(BrArBAr)(),(min)(BrArABr0AB则有：nBrAr)()(若A可逆则有)()(BrABr；同样，若B可逆则有)()(ArABr2.3线代第三章向量、第四章线性方程组线代第三章向量、第四章线性方程组是整个线性代数部分的核心内容，相比之下，前两章行-第 15 页列式和矩阵可视
35、作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对第三、四章核心内容的扩展。向量与线性方程组两章的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两章最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组 nnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111的系数矩阵是 m 行 n 列的，其有两种形式，一种是矩阵形式bAx；其中A是
36、系数矩阵 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211,nxxxx21,nbbbb21；另一种是向量形式baxaxaxnn 2211，其中 niiiiaaaa21ni 2,1。向量就这样被引入了。先讨论其次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组02211 nnaxaxax可以直接看出是一定有解的，因为当021 nxxx式等式一定成立，印证了第三章向量部分的一条性质“0 向量可由任何向量线性表示”，即当nnakakak 2211中的0时一定存在一组数nkkk 21,使等式成立，至少在ik全为 0 时可以满足。齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：1.有唯一零解；2.有非零
37、解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式02211 nnaxaxax中的ix只能全为 0 才能使等式成立，而第三章向量部分中判断向量组naaa 21,是否线性相关无关也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为：设naaa 21,为一组向量，如果存在一组不为零的数nkkk 21,使得等式02211 nnakakak成立，则称向量组naaa 21,线性相关；如果等式当且仅当021 nkkk时成立，则称向量组naaa 21,线性无关。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组0Ax是否有非零解对应于系数矩阵 A 的列向量组是否线性相关。-第 16 页假如线性相关无关的概念就是为了更好地讨论
38、线性方程组问题而提出的，那同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组naaa 21,组成的矩阵A有nAr)(说明向量组的极大线性无关组中有 n 个向量，即naaa 21,线性无关，也即等式02211 nnakakak只有 0 解。所以，经过“秩线性相关无关线性方程组解的判定”的逻辑链条，由nAr)(就可以判定齐次方程组02211 nnaxaxax只有 0 解。当nAr)(时，按照齐次线性方程组解的判定法则，此时有非零解，且有 n-r 个线性无关的解向量。这又与另一条性质相和：如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若
39、方程组0Ax的系数矩阵是 m 行 n 列的，则方程个数小于未知量个数时有 mn；因为矩阵的秩等于行秩也等于列秩，所以必有nmAr)(，根据齐次方程组解的判定定理有非零解。对于非齐次方程组来说，其解的判定定理与“线性表示”的概念前后联系：非齐次方程组bAx 是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示。线性表示的定义为：对于向量组naaa 21,若存在一组数nkkk 21,使等式bakakaknn 2211成立，则称向量b可由向量组naaa 21,线性表示。而使上述等式成立的ik就是非齐次方程组bAx 的解，故齐次方程组有性质“齐次线性方程组0Ax是否由非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性
40、向关”，非齐次方程组也由对应性质“非齐次线性方程组bAx 是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示”。当非齐次线性方程组bAx 与对应齐次线性方程组0Ax满足nArAr)()(时，根据线性方程组解的判定法则，齐次方程组有零解，非齐次方程组有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若naaa 21,线性无关，而baaan,21 线性相关，则向量b可由向量组naaa 21,线性表示，且表示方法唯一”。以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之间的内在联系，这样做不仅仅是为了透彻理解知识点，更是为了有效应对考试题。线代部分的题目难就难在考点的跨度大，而我们如果仅仅掌握零散知
41、识点，那怕对这些孤立的点掌握的再透彻，在作题时也会被题目给弄的晕头转向。-第 17 页矩阵线性方程组向量解线性相关/无关秩三个双重定义：1.秩的定义a.矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数b.向量组秩定义：向量组的极大线性无关组中的向量个数2.线性相关无关的定义：a.对于一组向量naaa 21,，若存在不全为零的数nkkk 21,使得02211 nnakakak成立，则相量组线性相关，否则向量组线性无关，即上述等式当且仅当ik全为 0 时才成立。b.向量组naaa 21,线性相关向量组中至少存在一个向量可由其余 n-1 个向量线性表出；线性无关向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。2.
42、线性方程组的两种形式：a.矩阵形式：bAx b.向量形式：baxaxaxnn 2211两条性质：1.对于方阵nnA有：方阵A可逆存在方阵B使得EBAAB0|AA的行列向量组均线性无关nAr)(bAx 可由克拉默法则判断有唯一解，而0Ax仅有零解。对一般矩阵nmA则有：nAr)(A的列向量组线性无关0Ax仅有零解，bAx 有唯一解。2.齐次线性方程组0Ax是否有非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组bAx 是否有解对应于b是否可以由A的列向量组线性表出。以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁：行列式线性相关线性方程组性质1中的“
43、|A|0A的列向量组线性无关”性质 2-第 18 页秩另外，线性代数部分在考试时会经常直接考一些“虽不要求掌握、但却可以用要求掌握的一些定理推论推导出来”的性质和结论，所以有必要扩大一些知识面，说不定在考试时就会有意外收获：1.一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。如果向量组maaa 21,可由向量组n 21,线性表示，则有),(),(2121nmraaar 。等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。2.常见的线性无关组：齐次方程组的一个基础解系；001、010、100这样的单位向量组；不同特征值对应的特征向量
44、。3.关于秩的一些结论：若有nmA、snB满足0AB，则nBrAr)()(；若A是可逆矩阵则有)()(BrABr；同样若B可逆则有)()(ArABr。非齐次线性方程组bAx 有唯一解则对应齐次方程组0Ax仅有零解，若bAx 有无穷多解则0Ax有非零解；若bAx 有两个不同的解则0Ax有非零解；若A是nm矩阵而mAr)(则bAx 一定有解，而且当nm 时是唯一解，当nm 时是无穷多解，而若nAr)(则bAx 没有解或有唯一解。2.4线代第五章特征值和特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点，历年考研真题都有相关题目，而且最有可能是综合性的大题。特征值和特征向
45、量之所以会得到如此青睐，大概是因为解决相关题目要用到线代中的大量内容即性质 1 中的“r(A)=nA 的列向量组线性无关”-第 19 页有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”；着重考察这样的知识点，在保证了考察面广的同时又有较大的出题灵活性。本章知识要点如下：1.特征值和特征向量的定义及计算方法。记牢一系列公式如xAx)0(x、0 Axx、0)(xAE和0|AE。历年真题中常用到下列性质：若n阶矩阵A有n个特征值1 2n，则有nA 21|；若矩阵A有特征值，则kA、2A、bEaA、)(Af、1A、A分别有特征值k、2、ba、)(f、1、|A，且对应特征向量等于所对应的特征向
46、量，而若1、2分别为矩阵A、B的特征值，则21不一定为BA的特征值。2.相似矩阵及其性质。定义式为APPB1，需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵A与矩阵B等价（BA）的定义式是BPAQ，其中P、Q为可逆矩阵，此时矩阵A可通过初等变换化为矩阵B，并有)()(BrAr；当BPAQ 中的P、Q互逆时就变成了矩阵相似（BA）的定义式，即有APPB1，此时满足)()(BrAr、|BA、|BEAE，并且A、B有相同的特征值。矩阵合同的定义是BAPPT，其中P为可逆矩阵。由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若A与B合同或相似则A与B必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。3.矩阵可相似
47、对角化的条件。包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件:n阶矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量A 的任意 k 重特征根对应有 k 个线性无关的特征向量；充分条件:1 是 A 有 n 个互不相同的特征值；充分条件 2 是 A 为实对称矩阵。4.实对称矩阵极其相似对角化。n 阶实对称矩阵 A 必可正交、相似于对角阵，即有正交阵 P 使得APPAPPT1而且正交阵P 由 A 对应的几个正交的特征向量组成。-第 20 页其实本章的内容从中也可以找到类似于第三章向量与第四章线性方程组之间的那种前后印证、相互推导的关系：以求方阵的幂kA作为思路的起点，直接乘来求kA比较困难，但如果有矩阵 P 使得 A
48、 满足APP1（对角阵）的话就简单多了，因为此时1111 PPPPPPPPAkk，而对角阵cba的幂k就等于kkkcba代如上式即得kA。而矩阵相似对角化的定义式正是APP1。所以可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂，引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且APP1中的 P、也分别是由 A 的特征向量和特征值决定的。求 An相似对角化特征值和特征向量2.5线代第六章二次型本章内容较少，大纲要求包括掌握二次型及其矩阵表示和掌握用正交变换化二次型为标准型的方法。在理年真题中本章知识点出现次数不多，但也考过大题
49、。本章所讲的内容从根本上讲是第五章特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵A存在正交矩阵P使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在A为实对称矩阵时的应用。将本章与上一章中相似对角化部分的内容作比较会有助于理解记忆“化二次型为标准型”的步骤及避免前后混淆，但因为大纲对本章要求不高，所以不必深究。3概率部分3.1概率这门课的特点概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分 20%的分值基本上就不难拿
50、到了。-第 21 页3.2概率第一章随机事件和概率本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如)()(BAPABP、)|()|(ABPABP、)(CBAP这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公式和贝叶斯公式在小题中和大题中都有可能考到。在“概率事件的关系及运算”部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做题。区别互斥、互逆、对立与不相容：事件 A 与事件 B 互斥也叫 A 与 B 不相容，即 BA，事件 A与事件 B 对立就是 A 与 B 互逆，即为 A