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1、数学建模其它模型第1页，共20页，编辑于2022年，星期六 海洋中鱼的数量通常是按繁殖期的长短呈周期变化的。以太平洋里的鲑鱼为例，其生长繁殖过程大致是，成年的鲑鱼产下大量的卵，在卵成长为幼鱼和幼鱼长大的过程中，相当大的部分被成年的鱼吃掉，剩下来的还要被恶劣的环境淘汰一些，而成年的鱼在产卵后则活不了多久就会死掉。一一 问题的提出问题的提出 试建立鲑鱼产卵期到来之前，其数量变化规律的数学模型。鲑鱼数量的变化问题鲑鱼数量的变化问题第2页，共20页，编辑于2022年，星期六二二 生长特点生长特点1 呈周期性变化；2 在每个周期里，经过了从卵、幼鱼到成年鱼 的变化过程。一般地，长期观察是呈离散变化，而在
2、每个离散时一般地，长期观察是呈离散变化，而在每个离散时间段里呈连续变化。间段里呈连续变化。如：树木的生长、冰箱温度的变化等，嵌入式模型嵌入式模型第3页，共20页，编辑于2022年，星期六嵌入式模型嵌入式模型 它把一个个短期内描述连续变化过程的微分方程，嵌入到一个长期的描述离散变化规律的差分方程中，而那些描述短期演变过程的微分方程在定性上应该是相同的，只是在定量上参数与初始条件有所改变。第4页，共20页，编辑于2022年，星期六三三 符号的说明符号的说明：第n个繁殖期（周期）开始时成年鲑鱼（鲑鱼）的数量，以条数计，n=1,2,；：在每个周期内，时刻t 幼鱼的数量；为了反映每个周期末和下个周期开始
3、时的突变性，引入下列记号：可以很小。在区间内允许数量上的突变第5页，共20页，编辑于2022年，星期六四四 模型的假设模型的假设1 成正比，比例系数为 ，表示每条鱼的产卵量；2 单位时间内 减少的比例与 成正比，比例系数为 ，表示鲑鱼吞食幼鱼的能力；3 成正比，比例系数为 ，表示在繁殖期末幼鱼存活长成鲑鱼的比例。第6页，共20页，编辑于2022年，星期六五五 模型建立模型建立根据假设条件容易写出（1）（2）（3）方程（2）的解为（4）将（1），（4）代入（3）式得（5）第7页，共20页，编辑于2022年，星期六若记（6）则方程（5）可写作（7）差分方程（7）是将每周期内的微分方程（2）嵌入（1
4、）、（3）得到的。这种嵌入式模型的一般形式可以表为（8）差分方程（7）无法求出的显式表达式，只能递推求数值解。例如设（表示1个数量单位，第8页，共20页，编辑于2022年，星期六比如条），第1代（）鲑鱼吞食掉90%的幼鱼即，代入（4），（6）是可以算出若分别取，则由（6）式将代入（7）式递推计算，考察鲑鱼数量的周期变化规律，结果见表。第9页，共20页，编辑于2022年，星期六01.0001.0001.000110.69791.7391.88410.5001.1001.500120.69960.34880.369120.79060.96110.7115130.69861.7192.36730.6
5、4021.1562.074140.69920.36140.152640.73290.88760.2625150.69881.7301.61150.67781.2652.151160.69910.35450.591960.71170.75620.2278170.69891.7242.27270.69121.4582.022180.69900.35810.182180.70370.55840.2882190.69891.7271.79690.69611.6982.226200.69900.35620.4308100.70070.37440.1983211.7252.396第10页，共20页，编辑于
6、2022年，星期六220.35720.1443320.35680.4531231.7261.552331.7262.394240.35670.6526340.35680.1449251.7262.178351.7261.557260.35690.2167360.35680.6481271.7261.973371.7262.186280.35680.3147380.35680.2137291.7262.287391.7261.960300.35690.1771400.35680.3225311.7261.676按（7）式（b=2.3和不同的a）计算的第11页，共20页，编辑于2022年，星期六由
7、表可知，对于趋向稳态值0.699，即初值的70%；对于交替地趋向两个稳态值0.3568和1.726，对于则难以看出什么规律。六六 平衡点及稳定性分析平衡点及稳定性分析为了研究对于不同的，鲑鱼数量的变化规律，我们利用差分方程求解的有关结果讨论（7）的平衡点及稳定性。方程（7）的平衡点满足（9）注：也是方程（7）的平衡点，但容易验证它不是稳定的，不再讨论，以后平衡点均指非零的。第12页，共20页，编辑于2022年，星期六（9）的非零解为（10）平衡点稳定的条件是这里因为所以当，即时是稳定平衡点，而当时不稳定。这个结果表明，是否稳定只取决于与无关。而，注意到和的含义可知表示的是鲑鱼从一个周期到下一周
8、期增长关系的一个因素（增长率还与 有关），正是这因素决定了 的稳定状态情况。第13页，共20页，编辑于2022年，星期六根据上述分析，当时，稳定，且若由（10）可得，而当时不稳定这与前面的数值结果（见表）是一致的。为了进一步研究（如 ）时的变化情况，应该考察方程（参考倍周期收敛的相关内容）（11）其中的具体形式由方程（7）给出。首先用无量纲化方法简化方程，令（12）第14页，共20页，编辑于2022年，星期六则方程化为（7）化为（13）（14）显然，当时是方程（13）的稳定平衡点，而时不稳定。下面讨论的情况。考察方程（15）其中由（13）给定。方程（15）的平衡点除以外还有和，满足和（16）第
9、15页，共20页，编辑于2022年，星期六由（16）不难得到（17）于是是方程（18）的两个根。若记函数（19）则曲线和直线有3个交点，其横坐标是，1和（见图）。当时用数值方法可以算出（20）是方程（15）稳定平衡点的条件是第16页，共20页，编辑于2022年，星期六O12经过比较精密的计算得到，当（21）时上述条件成立。第17页，共20页，编辑于2022年，星期六这个结果表明，在条件（21）下方程（13）给出的序列 是2倍周期稳定的，即子序列 和 当时分别趋向于和代回到变量，由（14）式可知条件（21）相当于（22）所以当时是2倍周期稳定的，两个稳定值和可以从（由（12）式）（23）和（20
10、）式算出。当时与表中结果一致。第18页，共20页，编辑于2022年，星期六当以后应该研究的倍周期稳定的情况。若记是倍周期稳定的上限，有结果指出时，当时的趋势出现混沌现象。表中的相当于，所以的变化没有什么规律性可言。评注：评注：嵌入式模型适用于将各个周期内用微分方程描述的、性质上相同的连续变化规律，嵌入到长期的用差分方程描述的离散变化过程的问题。除了生物的周期性繁殖现象外，再生资源的周期性收获，人体对周期性注入药物的反应，周期性排放污物的环境变化等都可以用这种模型研究。第19页，共20页，编辑于2022年，星期六我们在这里遇到了序列的倍周期收敛现象，因为方程（13）的非线性程度更高，所以，对平衡点收敛性分析更为困难。第20页，共20页，编辑于2022年，星期六