随机过程通过线性系统.pptx

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1、随机过程通过线性系统现在学习的是第1页，共55页 频域：频域：若若 物理可实现，且物理可实现，且x(t)有界，则有：有界，则有：。所所以以对对于于确确定定信信号号，总总可可以以用用数数学学式式或或列列表表形形式式给给定定其其时时域域的的描描述述，或或用用变变换换的的方方式式给给出出其其“频频域域”的的表表述述，而而且且对对于于其其通过线性时不变系统的表述为：通过线性时不变系统的表述为：问问题题：随随机机信信号号通通过过线线性性系系统统情情况况如如何何呢呢？其其输输入入、输输出出以以及及与与系统函数间的关系如何？系统函数间的关系如何？现在学习的是第2页，共55页随机信号随机信号函数值无法用数学式

2、或列表形式确切的表述。函数值无法用数学式或列表形式确切的表述。其原因是：其原因是：1.1.随随机机性性，即即任任何何时时刻刻点点上上的的取取值值不不能能预预先先确确定定。因因为为随随机机过过程程（信信号号）是是随随时时间间或或依依时时序序组组成成的的每每个个时时间间点点上上的的随随机机变变量量的的集集合合，所所以以随随机机信信号号每每个个时时间间点点上上对对应应的的函函数数值值都都是是一一个个随随机机变变量量。即即便便通通过过一一个个具具体体的的实实验验所所得得到到的的确确定定函函数数，也也只只能能是是该该随随机机过过程程的的一一个个样样本本函数函数 ，它也，它也无法表征整个随机过程的行为无法

3、表征整个随机过程的行为 。2.2.波波及及性性，随随机机过过程程可可以以认认为为是是某某个个随随机机系系统统中中某某一一个个端端口口的的输输出出，各各时时间间点点上上随随机机变变量量的的取取值值往往往往具具有有前前后后的的波波及及影影响响，既既不不同同时时间间点点上上随随机机变变量量间间的的关关联联性性。这这种种波波及及或或关关联联性性是由随机系统的各种是由随机系统的各种惯性惯性决定的。决定的。现在学习的是第3页，共55页 针对随机信号所具有的随机性和波及性，可用针对随机信号所具有的随机性和波及性，可用统计方法来描述其随时间变化的函数关系：统计方法来描述其随时间变化的函数关系：1.对于每一时间

4、点上的函数值是随机变量的特征，对于每一时间点上的函数值是随机变量的特征，可用一维统计特性来描述：可用一维统计特性来描述：函数值的概率密度、均值、方差等；函数值的概率密度、均值、方差等；2.对于各时间点随机变量的波及性，用多维统计对于各时间点随机变量的波及性，用多维统计特性来描述：特性来描述：函数值的多维概率密度、相关函数等。函数值的多维概率密度、相关函数等。现在学习的是第4页，共55页随机过程通过线性时不变系统的表示随机过程通过线性时不变系统的表示 随机过程的一个样本随机过程的一个样本 ,若若 是有界的，则对于线性是有界的，则对于线性时不变系统时不变系统 ：n 时域表示：时域表示：非因果系统：

5、非因果系统：因果系统：因果系统：即，系统输出即，系统输出 也只能是随机过程的一个样本且有界。也只能是随机过程的一个样本且有界。其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本其无法代表系统输出随机过程的全体。只有当每个输入样本 都是有界的，才有都是有界的，才有现在学习的是第5页，共55页频域表示：频域表示：随机过程随机过程 是无限时宽，无限能量，非周期的是无限时宽，无限能量，非周期的,的付氏变换、的付氏变换、Z Z变换以及付氏级数都不存在，故不变换以及付氏级数都不存在，故不能用频谱表述。能用频谱表述。但是，若随机过程是平稳的，则但是，若随机过程是平稳的，则其频域特性可用功率谱来描其频域特性

6、可用功率谱来描述。述。平稳随机过程通过平稳随机过程通过线性时不变系统线性时不变系统：平稳条件：平稳条件：=常数；常数；现在学习的是第6页，共55页n 由此可知：由此可知：随机过程只能用统计的方法来表征，不存随机过程只能用统计的方法来表征，不存 在在频谱，但可用功率谱描述。频谱，但可用功率谱描述。问题的提出：用统计的方法如何来具体地表征随机过程通问题的提出：用统计的方法如何来具体地表征随机过程通过线性时不变系统的行为，从中我们能获得什么结论？过线性时不变系统的行为，从中我们能获得什么结论？由于随机过程的自相关函数，自协方差函数绝对可积，故其存由于随机过程的自相关函数，自协方差函数绝对可积，故其存

7、在在Z变换，或付氏变换。变换，或付氏变换。物理解释：物理解释：能量无限的信号，一般功率有限。能量无限的信号，一般功率有限。现在学习的是第7页，共55页一、平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析一、平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析n1系统输出系统输出Y(t)的均值的均值:，其中，其中 输出过程的均值输出过程的均值=输入过程的均值输入过程的均值H(0)常数。常数。n2.系统输出系统输出Y(t)的自相关函数的自相关函数:输出过程输出过程 RY()只与时间差只与时间差 有关，而与时间起点有关，而与时间起点 t 无关。无关。现在学习的是第8页，共55页由由 EY(t)常数和常数和 RY()可知

8、：可知：平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。且平稳随机过程通过线性时不变系统的输出过程也是平稳的。且有：有：现在学习的是第9页，共55页n3.系统输入与输出之间的互相关函数系统输入与输出之间的互相关函数:同理可证，同理可证，现在学习的是第10页，共55页当当X(t)为白噪声，即为白噪声，即 时，则时，则即有即有 该式说明：该式说明：如果能用互相关函数测量设备测得如果能用互相关函数测量设备测得 ，则可用功率谱密度为则可用功率谱密度为 的白噪声激励线性系统来估计该线性的白噪声激励线性系统来估计该线性系统的冲击响应。系统的冲击响应。现在学习的是第11页，共55页4物理可实现物理可实现

9、(因果因果)系统的响应系统的响应n 物理可实现系统的条件：物理可实现系统的条件：因果性因果性 将该条件代入上述关系式，可得将该条件代入上述关系式，可得 注意：卷积关系不再成立。注意：卷积关系不再成立。现在学习的是第12页，共55页n平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结：X(t)：平稳随机过程：平稳随机过程h(t)：线性时不变系统的冲击响应：线性时不变系统的冲击响应 注意：物理可实现系统的条件。注意：物理可实现系统的条件。现在学习的是第13页，共55页二、平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析二、平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析1系

10、统输出系统输出Y(t)的功率谱密度的功率谱密度 令，则，令：令：，则，则其中，其中，|H()|2称为称为系统的功率传输函数。系统的功率传输函数。所以，所以，系统的输出功率系统的输出功率=系统的输入功率系统的输入功率|H()|2 2。现在学习的是第14页，共55页系统输出系统输出Y(t)的自相关函数的自相关函数系统的输出的均方值或平均功率系统的输出的均方值或平均功率现在学习的是第15页，共55页2.系统输入与输出之间的互谱密度系统输入与输出之间的互谱密度 由付氏变换性质可得由付氏变换性质可得:v 当当X(t)为白噪声，即为白噪声，即GX()=N0/2时时，则，则，或，或 n上式说明：上式说明：如

11、果能设法获得如果能设法获得GXY()或或GYX()，则可估计，则可估计 线性系统的传输函数线性系统的传输函数 H()。现在学习的是第16页，共55页n平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析小结：平稳随机过程通过线性时不变系统的频域分析小结：GX()：输入平稳随机过程输入平稳随机过程X(t)的功率谱密度的功率谱密度;H()：线性时不变系统的传输函数线性时不变系统的传输函数;|H()|2：线性时不变系统的功率传输函数：线性时不变系统的功率传输函数;GY()：输出平稳随机过程：输出平稳随机过程Y(t)的功率谱密度；的功率谱密度；GXY()：输入：输入X(t)与输出平稳随机过程与输出平稳随机过程Y(

12、t)的互谱密度。的互谱密度。现在学习的是第17页，共55页现在学习的是第18页，共55页三、多个随机过程之和通过线性系统三、多个随机过程之和通过线性系统设设 X1(t)和和 X2(t)单独平稳，且联合平稳，单独平稳，且联合平稳，则线性系统的输出则线性系统的输出Y(t)的的特性为：特性为：1输出输出Y(t)的均值的均值现在学习的是第19页，共55页2输出输出Y(t)的自相关函数和功率谱密度的自相关函数和功率谱密度 推论：推论：若若X1(t)和和 X2(t)互不相关互不相关，则则现在学习的是第20页，共55页 若若X1(t)和和 X2(t)互不相关，且均值为零，则互不相关，且均值为零，则3输入输入

13、X(t)与输出与输出Y(t)的互相关函数和互谱密度的互相关函数和互谱密度现在学习的是第21页，共55页四、白噪声通过线性系统四、白噪声通过线性系统 设白噪声的功率谱密度为设白噪声的功率谱密度为 ，线性线性时不变系统的传输函数为时不变系统的传输函数为 ，则系统输出，则系统输出 的功率谱密的功率谱密度为度为:，。双边功率谱密度双边功率谱密度，。单边功率谱密度单边功率谱密度 系统输出功率谱密度不再是均匀的，其完全取决于系统输出功率谱密度不再是均匀的，其完全取决于 系统的频率特性系统的频率特性H()。系统输出。系统输出Y(t)也不再是白噪声。也不再是白噪声。现在学习的是第22页，共55页 GY()、R

14、Y()的求解都需要知道的求解都需要知道|H()|，因此，因此|H()|越复越复杂，杂，GY()和和 RY()的计算就越困难。的计算就越困难。系统输出系统输出Y(t)的平均功率为的平均功率为:现在学习的是第23页，共55页1等效噪声带宽等效噪声带宽n等效思想：等效思想：对于对于理想系统和实际系统，当输入相同的白噪声理想系统和实际系统，当输入相同的白噪声时，用输出噪声平均功率相等的方法，寻求一个在频带中心时，用输出噪声平均功率相等的方法，寻求一个在频带中心的功率传输函数值与实际系统相等的，且具有矩形传输函数的功率传输函数值与实际系统相等的，且具有矩形传输函数特性的理想系统来代替实际系统。以简化系统

15、分析中的运算。特性的理想系统来代替实际系统。以简化系统分析中的运算。设理想低通线性系统的功率传输函数为设理想低通线性系统的功率传输函数为则实际系统的等效噪声带宽则实际系统的等效噪声带宽 定义为定义为现在学习的是第24页，共55页设理想带通线性系统的功率传输函数为设理想带通线性系统的功率传输函数为其中，其中，为带通线性系统的中心频率，则实际系统的等效为带通线性系统的中心频率，则实际系统的等效噪声带宽为噪声带宽为表示：表示：系统对噪声功率谱的选择性系统对噪声功率谱的选择性。现在学习的是第25页，共55页线性系统通频带的一般定义：线性系统通频带的一般定义：系统频率特性曲线半功率点的通系统频率特性曲线

16、半功率点的通频带宽频带宽 （也称为三分贝带宽）。其表示系统对有用信号的选（也称为三分贝带宽）。其表示系统对有用信号的选择性。择性。因为因为 ，都取决于系统的传输函数都取决于系统的传输函数 ，所以一旦，所以一旦 确定，则确定，则 和和 也就确定了，因而也就确定了，因而 和和 必然有确定的关系。不同结构的系统必然有确定的关系。不同结构的系统 和和 的关系的关系如下：如下：窄带单调谐电路系统：窄带单调谐电路系统：；双调谐电路系统：双调谐电路系统：；高斯频率特性的电路系统：高斯频率特性的电路系统：；级联调谐电路越多的电路系统，级联调谐电路越多的电路系统，和和 两者越接近。两者越接近。线性系统的通频带宽

17、与等效噪声带宽线性系统的通频带宽与等效噪声带宽 的关系的关系现在学习的是第26页，共55页2白噪声通过理想线性系统白噪声通过理想线性系统 有了等效噪声带宽的概念，就可以用带宽为等效噪有了等效噪声带宽的概念，就可以用带宽为等效噪声带宽的理想系统来等效或逼近实际系统。声带宽的理想系统来等效或逼近实际系统。v 白噪声通过理想白噪声通过理想低通低通线性系统线性系统 理想低通线性系统的传输函数正半轴部分为：理想低通线性系统的传输函数正半轴部分为：系统输入白噪声系统输入白噪声单边单边功率谱密度为：功率谱密度为：现在学习的是第27页，共55页系统输出特性如下：系统输出特性如下：1)输出单边功率谱密度输出单边

18、功率谱密度 2)输出相关函数输出相关函数 3)输出平均功率输出平均功率现在学习的是第28页，共55页4)输出输出Y(t)的的自相关系数自相关系数 5)输出输出Y(t)的的相关时间相关时间 输出随机过程的相关时间与系统的带宽成反比。输出随机过程的相关时间与系统的带宽成反比。，输出过程随时间变化越快；反之则越慢。，输出过程随时间变化越快；反之则越慢。现在学习的是第29页，共55页v白噪声通过理想白噪声通过理想带通带通线性系统线性系统理想带通线性系统的传输函数正半轴部分为：理想带通线性系统的传输函数正半轴部分为：若系统输入白噪声单边功率谱密度为：若系统输入白噪声单边功率谱密度为：，则系统输出特性如下

19、：则系统输出特性如下：现在学习的是第30页，共55页1)输出单边功率谱密度输出单边功率谱密度 若系统满足条件若系统满足条件 时，则该系统称为时，则该系统称为窄带窄带 系统系统；若随机过程的功率谱密度满足条件若随机过程的功率谱密度满足条件 时，时，则该随机过程称为则该随机过程称为窄带过程窄带过程。现在学习的是第31页，共55页2)输出相关函数输出相关函数令令 则则 。由于由于的变化只与的变化只与有关，因此若满足有关，因此若满足条件，条件，则则的变化将比的变化将比的变化慢得多。一般的变化慢得多。一般为为的包络。的包络。称称且且低通低通输出相关函数为输出相关函数为现在学习的是第32页，共55页 当当

20、 时，则时，则 。其除了差一个系数。其除了差一个系数2外，与外，与低通系统输出相关函数完全一样。低通系统输出相关函数完全一样。这说明，这说明，一个窄带系统（满一个窄带系统（满足足 ）输出平稳过程的相关函数等于相应的等效低通系）输出平稳过程的相关函数等于相应的等效低通系统输出的相关函数统输出的相关函数 与与 的乘积。的乘积。3)输出平均功率输出平均功率4)输出输出 的自相关系数的自相关系数自相关系数也可以分成快、慢变化两部分。自相关系数也可以分成快、慢变化两部分。窄带系统输出相关函数窄带系统输出相关函数=2等效低通系统输出相关函数等效低通系统输出相关函数 cos0现在学习的是第33页，共55页5

21、)输出输出Y(t)的相关时间的相关时间 注意：注意：上式利用窄带过程的条件，由上式利用窄带过程的条件，由 的包络定义相关的包络定义相关时间。时间。因此因此 反映的是窄带过程包络的相关时间。输出随反映的是窄带过程包络的相关时间。输出随机过程的相关时间与系统的带宽成反比。则由此可知机过程的相关时间与系统的带宽成反比。则由此可知 ，输出过程，输出过程包络包络随时间变化越快；反之则越慢。随时间变化越快；反之则越慢。现在学习的是第34页，共55页白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统高斯频率特性线性系统的传输函数正半轴部分为：高斯频率特性线性系统的传输函数正半轴部分为：

22、若系统输入白噪声若系统输入白噪声单边单边功率谱密度为：功率谱密度为：，则则系统输出特性如下：系统输出特性如下：1）输出单边功率谱密度输出单边功率谱密度 现在学习的是第35页，共55页2)输出相关函数输出相关函数其中，其中，为等效低通传输函数。为等效低通传输函数。窄带系统输出相关函数窄带系统输出相关函数=2 cos0 等效低通系统输出相关函数等效低通系统输出相关函数现在学习的是第36页，共55页4)输出输出Y(t)的自相关系数的自相关系数 5)输出输出Y(t)的等效噪声带宽的等效噪声带宽 3)输出平均功率输出平均功率现在学习的是第37页，共55页五、线性系统输出随机过程的概率分布五、线性系统输出

23、随机过程的概率分布一般情况一般情况:很难从理论上找到一般的求解输出随机过程很难从理论上找到一般的求解输出随机过程 的概率分布。多采用实验估计方法。的概率分布。多采用实验估计方法。特殊情况：特殊情况：1）输入为高斯过程，输出也是高斯过程；）输入为高斯过程，输出也是高斯过程；2）输入为非高斯过程，但输入过程的带宽）输入为非高斯过程，但输入过程的带宽 远大于线性系统的带宽。则线性系统输远大于线性系统的带宽。则线性系统输 出随机过程的概率分布都服从高斯过程。出随机过程的概率分布都服从高斯过程。1高斯过程通过线性系统的输出过程高斯过程通过线性系统的输出过程Y(t)的分布的分布若若X(t)是一高斯过程，则

24、是一高斯过程，则Y(t)也是一高斯过程。也是一高斯过程。现在学习的是第38页，共55页由于由于X(t)是高斯过程，故是高斯过程，故 亦为高斯随机变量。亦为高斯随机变量。因为因为 为一时刻点，而为一时刻点，而 为确知量，所以为确知量，所以 表示：表示：任一时刻任一时刻 t 的的Y(t)是无限多个高斯随机变量是无限多个高斯随机变量 的和。而多维高斯随机变量的线性组合仍为多维高的和。而多维高斯随机变量的线性组合仍为多维高斯随机变量，故高斯过程斯随机变量，故高斯过程X(t)通过线性系统的输出通过线性系统的输出Y(t)也是一高斯也是一高斯过程。过程。但是必须注意：但是必须注意：虽然输出过程是高斯过程，但

25、其数字特征已改变。虽然输出过程是高斯过程，但其数字特征已改变。现在学习的是第39页，共55页2宽带非高斯过程通过窄带线性系统输出过程的分布宽带非高斯过程通过窄带线性系统输出过程的分布 若输入非高斯过程若输入非高斯过程X(t)的功率谱带宽的功率谱带宽 与与线性系统带宽线性系统带宽 满足：满足：则系统输出则系统输出Y(t)的概率分布趋于高斯分布。的概率分布趋于高斯分布。由中心极限定理可知，大量统计独立的随机变量之和的由中心极限定理可知，大量统计独立的随机变量之和的概率分布趋于高斯分布。概率分布趋于高斯分布。现在学习的是第40页，共55页 的统计独立性的统计独立性 ，当当 足够大，以使足够大，以使

26、，则可认为输入过程各，则可认为输入过程各取样值取样值 相互统计独立。相互统计独立。构成构成y(t)的累加性的累加性 系统的对输入信号的响应（建立）时间系统的对输入信号的响应（建立）时间 ty与系统的与系统的 带宽带宽f 也也 成反比关系，即成反比关系，即 当当f 足够窄，以使响应时间足够窄，以使响应时间 ，则可认为输出，则可认为输出 过程过程y(t)由输入过程各取样值由输入过程各取样值 经足够长的时间累加经足够长的时间累加 构成。构成。现在学习的是第41页，共55页综上所述，当满足综上所述，当满足 条件时，条件时，Y(t)的概率分布将趋的概率分布将趋于高斯分布。由于高斯分布。由 可知，可知，Y

27、(t)的概率分布趋于高斯分布的的概率分布趋于高斯分布的条件为：条件为：。即，即，线性系统输入随机过程线性系统输入随机过程X(t)的功率谱带宽的功率谱带宽fX 远大于系统远大于系统带宽带宽f 时，输出随机过程时，输出随机过程Y(t)的概率分布将趋于高斯分布，而的概率分布将趋于高斯分布，而与输入随机过程是否为高斯分布无关。与输入随机过程是否为高斯分布无关。现在学习的是第42页，共55页六、随机序列通过离散线性系统六、随机序列通过离散线性系统*其中：其中：x(n)、y(n)分别为系统的输入与输出，分别为系统的输入与输出，H(z)为系统传输函数。为系统传输函数。1离散线性系统的分类离散线性系统的分类现

28、在学习的是第43页，共55页现在学习的是第44页，共55页由由Z Z变换可得其模型传递函数为：变换可得其模型传递函数为：该模型称为该模型称为自回归滑动平均（自回归滑动平均（ARMAARMA：Autoregresive Autoregresive Moving AverageMoving Average）模型）模型。现在学习的是第45页，共55页如果如果 ，则，则该模型称为该模型称为滑动平均（滑动平均（MAMA：Moving AverageMoving Average）模型）模型现在学习的是第46页，共55页如果如果 ，而，而 ，则，则该模型称为该模型称为自回归（自回归（ARAR：Autoreg

29、resiveAutoregresive）模型。）模型。现在学习的是第47页，共55页2随机序列通过离散线性系统的时域分析随机序列通过离散线性系统的时域分析 若离散线性系统的输入是随机序列若离散线性系统的输入是随机序列X(n)，则上述三种系统，则上述三种系统模型的输出分别为：模型的输出分别为：ARMAARMA模型：模型：；现在学习的是第48页，共55页ARAR模型：模型：；MAMA模型：模型：现在学习的是第49页，共55页 MAMA模型模型的自相关函数的自相关函数 若若X(n)为白序列，则为白序列，则现在学习的是第50页，共55页 AR AR模型模型 的自相关函数的自相关函数 由由 可知可知Y(

30、n)只与只与X(n)，X(n-1)，X(n-2)，有关，故有关，故 该方程组称为该方程组称为Yule-WalkerYule-Walker方程方程。现在学习的是第51页，共55页Yule-WalkerYule-Walker方程的矩阵形式为：方程的矩阵形式为：其中，其中，。现在学习的是第52页，共55页3随机序列通过离散线性系统的频域分析随机序列通过离散线性系统的频域分析 由维纳由维纳-辛钦定理可知，零均随机序列的自相关函数与其辛钦定理可知，零均随机序列的自相关函数与其功率谱密度函数为一付氏变换对。功率谱密度函数为一付氏变换对。由于随机序列由于随机序列X(n)的自相关函数是一离散函数，故由的自相关函数是一离散函数，故由离散付氏变换可得：离散付氏变换可得：现在学习的是第53页，共55页离散线性系统输出离散线性系统输出 的的功率谱密度功率谱密度 MA MA 模型模型的的功率谱密度功率谱密度现在学习的是第54页，共55页 又因为又因为 所以所以 现在学习的是第55页，共55页