计算固体力学网格课件.ppt

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1、计算固体力学网格第1页，此课件共44页哦第第4 4章章 LagrangianLagrangian网格网格 1 1引言引言2 2ULUL控制方程，弱形式控制方程，弱形式3 3ULUL有限元离散有限元离散4 4编制程序编制程序5 5旋转公式旋转公式6 6TLTL格式，弱形式，有限元半离散化格式，弱形式，有限元半离散化第2页，此课件共44页哦1 1 引言引言 在在LagrangianLagrangian网网格格中中，节节点点和和单单元元随随着着材材料料移移动动，边边界界和和接接触触面面与与单单元元边边缘缘保保持持一一致致，处处理理较较为为简简单单。积积分分点点也也随随着着材材料料移移动动，本本构构方

2、方程程总总是是在在相相同同材材料料点点处处赋赋值值，这这对对于于历历史史相相关关材材料料是是有有利利的的。基基于于这这些些原原因因，在在固固体体力力学学中广泛地应用中广泛地应用LagrangianLagrangian网格。网格。UL UL格式，格式，EulerianEulerian（空间）坐标和（空间）坐标和CauchyCauchy应力应力；TL TL格式，名义应力，格式，名义应力，PK2PK2应力，应力，GreenGreen应变张量应变张量。第3页，此课件共44页哦2 UL控制方程控制方程 弱形式弱形式 考虑一个物体，占有域考虑一个物体，占有域，边界为，边界为。连续体力学行为的控制方程是：连

3、续体力学行为的控制方程是：1 1 质量（或物质）守恒，标量方程；质量（或物质）守恒，标量方程；2 2 线动量和角动量守恒，张量方程，包含线动量和角动量守恒，张量方程，包含n n个偏微分方程（个偏微分方程（n n维数）；维数）；3 3 能量守恒，通常称作热力学第一定律，标量方程；能量守恒，通常称作热力学第一定律，标量方程；4 4 本构方程，应力应变或应变率的关系，对称张量；本构方程，应力应变或应变率的关系，对称张量；5 5 应变位移方程。应变位移方程。第4页，此课件共44页哦2 UL2 UL控制方程控制方程 弱形式弱形式第5页，此课件共44页哦 边边界界条条件件：在在二二维维问问题题中中，面面力

4、力或或速速度度的的每每个个分分量量都都必必须须预预先先指指定定在在整整个个边边界界上上；但但是是，面面力力和和速速度度的的同同一一个个分分量量不不能能指指定定在在边边界界上上同同一一点点处处。其其分分量量可可以以指指定定在在不同于总体坐标系的局部坐标系上。不同于总体坐标系的局部坐标系上。速速度度边边界界条条件件等等价价于于位位移移边边界界条条件件：如如果果给给定定了了位位移移，可可以以通通过过时时间间微微分分得得到到速度；给定了速度，可以通过时间积分得到位移。速度；给定了速度，可以通过时间积分得到位移。2 UL控制方程控制方程 弱形式弱形式 初初始始条条件件：可可以以是是速速度度和和应应力力，

5、或或者者是是位位移移和和速速度度。第第一一组组初初始始条条件件更更适适合合于于大大多多数数工工程程问问题题，因因为为确确定定一一个个物物体体的的初初始始位位移移通通常常是是很很困困难难的的。初初始始应应力力通通常常为为已已知知的的残残余余应应力力，有有时时候候可可以以测测量量或或者者通通过过平平衡衡解解答答估估算算。例例如如，当当一一个个钢钢件件经经过过铸铸锭锭成成型型后后确确定定其其位位移移几几乎乎是是不不可可能能的的。对对于于在在工工程程部部件件中中的的残残余余应应力力场场，经经常常能能够够给给出出较较准准确确的的估估计计。类类似似地地，在在埋埋置置管管道道中中，靠靠近近管管道道周周围围的

6、的土土壤壤或或岩岩石石的的初初始始位位移移的的概概念念是是毫毫无无意意义义的的，而而初初始始应应力力场场可可以以通通过过平平衡衡分分析析估估计计出出来。因此，以应力形式的初始条件更加实用。来。因此，以应力形式的初始条件更加实用。第6页，此课件共44页哦 虚功率原理是动量方程，面力边界条件和内部力连续性条件的弱形式。虚功率原理是动量方程，面力边界条件和内部力连续性条件的弱形式。微分方程微分方程的积分形式一般称为弱形式。的积分形式一般称为弱形式。强形式或广义动量平衡，包括动量方程，力边界条件和力连续性条件。强形式或广义动量平衡，包括动量方程，力边界条件和力连续性条件。微分方程一般称为强形式微分方程

7、一般称为强形式。2 UL控制方程控制方程 弱形式弱形式第7页，此课件共44页哦3 UL有限元离散有限元离散有限元近似有限元近似 在有限元方法中，运在有限元方法中，运动动近似地表示近似地表示为为当前构形中的节点坐标当前构形中的节点坐标 小写的下标表示分量，如三维小写的下标表示分量，如三维大写的下标表示节点值大写的下标表示节点值 默默认认对对重重复复的的指指标标求求和和；在在小小写写指指标标的的情情况况下下，对对空空间间的的维维数数进进行行求求和和，而而在在大大写写指指标标的的情情况况下下，对对节节点点的的编编号号进进行求和。行求和。在在求求和和中中的的节节点点数数目目取取决决于于所所考考虑虑的的

8、域域：当当考考虑虑整整个个域域时时，对对整整个个域域中中的的所所有有节节点点求求和和；当当考考虑虑一一个个单单元元时时，对对这这个单元的所有节点求和。个单元的所有节点求和。第8页，此课件共44页哦3 UL有限元离散有限元离散有限元近似有限元近似 当一个当一个节节点具有初始位置点具有初始位置有有 节点节点J总是对应于相同的材料点总是对应于相同的材料点XJ，在，在L网格中，节点总是和材料点保持一致网格中，节点总是和材料点保持一致定义节点位移：定义节点位移：位移场：位移场：取位移的材料时间导数得到速度：取位移的材料时间导数得到速度：速速度度是是位位移移的的材材料料时时间间导导数数，即即当当材材料料坐

9、坐标标固固定定，对对时时间间求求偏偏导导数数。由由于于形形状状函函数数不不随随时时间间改改变变，因因此此速速度度是是由由相相同同形形状状函函数数给给出出的的。节节点点位位移移上上面面的的点点表表示示普普通通导导数数，因因为为它它仅仅是是时时间间的函数。的函数。第9页，此课件共44页哦3 UL有限元离散有限元离散有限元近似有限元近似 加速度是速度的材料时间导数加速度是速度的材料时间导数 速度梯度为速度梯度为 变形率给出为变形率给出为 变分函数或变量不是时间的函数，因此将变分函数近似为变分函数或变量不是时间的函数，因此将变分函数近似为 虚拟节点速度虚拟节点速度 第10页，此课件共44页哦3 UL有

10、限元离散有限元离散有限元近似有限元近似 作为构造离散有限元方程的第一步，将变分函数代入虚功率原理中，得到作为构造离散有限元方程的第一步，将变分函数代入虚功率原理中，得到 利用除利用除以外的以外的节节点上虚点上虚节节点速度的任意性，点速度的任意性，则动则动量方程的弱形式量方程的弱形式为为 在任何指定速度的地方，虚速度必须为零。在任何指定速度的地方，虚速度必须为零。离散运离散运动动（动动量）方程量）方程为为第11页，此课件共44页哦3 UL有限元离散有限元离散离散运动（动量）方程离散运动（动量）方程内部节点力内部节点力 外部节点力外部节点力 惯性节点力惯性节点力 内内部部节节点点力力代代表表着着物

11、物体体的的应应力力。这这些些表表达达式式既既可可以以应应用用于于整整体体网网格格，也也可可以以应应用用于于任任意意单单元元或或单单元元集集。这这些些表表达达式式包包含含形形状状函函数数对对应应于于空空间间坐坐标标的的导导数数和和在在当当前前构构形形上上的的积积分分。在在非非线线性性有有限限元元方方法法中中，对对于于更更新新的的Lagrangian网网格格，这这是是一一个个关关键键的的方方程程；它它也也应应用用于于Eulerian和和ALE网格。网格。离散方程离散方程 第12页，此课件共44页哦3 UL有限元离散有限元离散是关于是关于节节点速度的点速度的个常微分方程系个常微分方程系统统。半离散运

12、半离散运动动（动动量）方程量）方程是不受约束的节点速度分量的数目是不受约束的节点速度分量的数目,称作自由度的数目。称作自由度的数目。为了完成这个方程系统，要附加上单元积分点处的本构方程为了完成这个方程系统，要附加上单元积分点处的本构方程和以节点速度形式表示的变形率。和以节点速度形式表示的变形率。积积分点与材料点是一致的。分点与材料点是一致的。离散方程离散方程 在网格中在网格中nQ个积分点表示为个积分点表示为为应为应力力张张量的独立分量数目，量的独立分量数目，在二在二维维平面平面应应力力问题问题中，由于中，由于应应力力张张量量对对称，称，;在三在三维问题维问题中，中，。第13页，此课件共44页哦

13、3 UL有限元离散有限元离散通过任何常微分方程的积分方法，如通过任何常微分方程的积分方法，如RungeRungeKuttaKutta法或中心差分法，可以对法或中心差分法，可以对这个常微分方程系统进行时间积分；见第这个常微分方程系统进行时间积分；见第6 6章。章。离散方程离散方程 式中式中这这是一个是一个标标准的初准的初值问题值问题，包括含有速度，包括含有速度和和应应力力的一的一阶阶常微分方程。消去常微分方程。消去变变形率，所有未知量的个数就形率，所有未知量的个数就变为变为半离散运半离散运动动（动动量）方程量）方程为为关于关于时间时间的常微分方程的常微分方程第14页，此课件共44页哦3 UL有限

14、元离散有限元离散对于平衡问题，加速度为零，控制方程成为对于平衡问题，加速度为零，控制方程成为 这这是是真真正正意意义义的的离离散散平平衡衡方方程程。如如果果本本构构方方程程是是率率无无关关的的，那那么么离离散散平平衡衡方方程程是是关关于于应应力力和和节节点点位位移移的的非非线线性性代代数数方方程程组组。对对于于率率相相关关材材料料，为为了了获获得得非非线线性性代代数数方方程程组组，任任何何率率形形式式都都必必须须在在时时间间上离散。上离散。对对于于线线性性问问题题，控控制制方方程程也也可可以以写写成成 KUKUF F 矩矩阵阵位位移移法法的的刚刚度度方程形式方程形式。离散方程离散方程 第15页

15、，此课件共44页哦3 UL有限元离散有限元离散单元坐标单元坐标 通通常常建建立立有有限限元元是是采采用用以以母母单单元元坐坐标标形形式式表表示示形形状状函函数数，简简称为单元坐标。单元坐标的例子有三角形坐标和等参坐标。称为单元坐标。单元坐标的例子有三角形坐标和等参坐标。下下面面说说明明以以单单元元坐坐标标形形式式表表示示形形状状函函数数的的用用法法。证证明明在在L L网网格格中中，单单元元坐坐标标可可以以考考虑虑为为材材料料坐坐标标的的另另一一种种形形式式。这这样样，在在L L网网格格中中将将形形状状函函数数表表示示为为单单元元坐坐标标的的形形式式，在在本本质质上上等等价价于于把把它它们们表表

16、示示为为材材料料坐坐标标的的形形式。式。一个一个单单元的三个域：元的三个域：1.母母单单元域元域 2.当前当前单单元域元域3.初始（参考）初始（参考）单单元域元域第16页，此课件共44页哦3 UL有限元离散有限元离散单元坐标单元坐标 相关的映射相关的映射 通过映射的合成描述每一单元的运动通过映射的合成描述每一单元的运动第17页，此课件共44页哦3 UL有限元离散有限元离散单元坐标单元坐标 运动近似给出为运动近似给出为 形形状状函函数数仅仅是是母母单单元元坐坐标标的的函函数数；运运动动的的时时间间相相关关性性完完全全反反映映在在节节点点坐坐标标上上。上上式式代代表表了了在单元的母域和当前构形之间

17、的一个时间相关映射。在单元的母域和当前构形之间的一个时间相关映射。在在t0时写出这个映射，得到时写出这个映射，得到 在在一一个个L单单元元中中，材材料料坐坐标标和和单单元元坐坐标标之之间间的的映映射射是是时时间间不不变变的的。如如果果这这个个映映射射是是一一对对一一的的，则则在在L网网格格中中可可以以将将单单元元坐坐标标看看作作是是材材料料坐坐标标的的代代用用品品，因因为为在在一一个个单单元元中中的的每每一一材材料料点点具具有有唯唯一一的的单单元元坐坐标标编编号号。为为了了在在0中中在在单单元元坐坐标标和和材材料料坐坐标标之之间间建建立立唯唯一一的的对对应应关关系系，单单元元数数目目必必须须成

18、成为为编编号号的的一一部部分分。如如果果单单元元坐坐标标不不能能代代替替材材料料坐坐标标，则则网网格格不不是是L格格式式(见见第第7章章)。事事实实上上，应应用用初初始始坐坐标标X作作为为材材料料坐坐标主要源于解析过程；在有限元方法中，应用单元坐标作为材料编号是更自然的。标主要源于解析过程；在有限元方法中，应用单元坐标作为材料编号是更自然的。第18页，此课件共44页哦3 UL有限元离散有限元离散单元坐标单元坐标 单单元元坐坐标标是是时时间间不不变变的的，可可以以将将位位移移、速速度度和和加加速速度度表表示示为为形形状状函函数数的形式：的形式：第19页，此课件共44页哦4 编制程序编制程序 在有

19、限元方程的程序编制中，通常采用两种方法：在有限元方程的程序编制中，通常采用两种方法：1将指标表示直接处理为矩阵方程。将指标表示直接处理为矩阵方程。2.2.使用使用Voigt标记，将矩形应力和应变矩阵转换为列矩阵。标记，将矩形应力和应变矩阵转换为列矩阵。每种方法都有其优点。在框每种方法都有其优点。在框4.3中总结了两种形式的离散方程。中总结了两种形式的离散方程。从从指指标标表表示示到到矩矩阵阵形形式式的的转转换换是是比比较较任任意意的的，并并取取决决于于个个人人的的偏偏爱爱。在在大大多多数数情情况况下下，将将单单指指标标的的变变量量解解释释为为列列矩矩阵阵；当当解解释释为为行行矩阵时，其过程就会

20、有所不同。矩阵时，其过程就会有所不同。在在 Voigt 标记中，将应力和变形率表示为列向量的形式。标记中，将应力和变形率表示为列向量的形式。第20页，此课件共44页哦4 编制程序编制程序第21页，此课件共44页哦4 编制程序编制程序数值积分数值积分 节节点点力力、质质量量矩矩阵阵和和其其它它单单元元矩矩阵阵的的积积分分不不是是由由解解析析计计算算的的，而而是应用数值解答，称为数值积分。最广泛应用的是是应用数值解答，称为数值积分。最广泛应用的是Gauss积分积分 式中式中nQ个积分点的权重个积分点的权重wQ和坐标值和坐标值Q有表可查；见附录有表可查；见附录3。指定方程在母单元域上进行积分，其积分

21、区间为指定方程在母单元域上进行积分，其积分区间为 1 1，11。一个二维单元的一个二维单元的GaussGauss积分为积分为第22页，此课件共44页哦 在在非非线线性性分分析析中中，采采用用积积分分点点数数的的规规则则一一般般基基于于在在线线性性分分析析中中的的相相同同规规则则；对对于于一一个个规规则则的的单单元元，积积分分点点数数目目的的选选择择是是能能恰恰好好积积分分内内部部节节点点力力。一一个个单单元元的的规规则则形形式式，是是指指仅仅通通过过母母单单元元的的拉拉伸伸而而不不是是剪剪切切能能得得到到的的形形式式；例例如如，二二维维等等参参单单元元的的一个矩形。一个矩形。对于一个对于一个4

22、 4节点四边形单元，节点四边形单元，如何选择内部节点力的积分点数目？如何选择内部节点力的积分点数目？由由于于速速度度是是双双线线性性的的，单单元元中中的的变变形形率率和和B B矩矩阵阵是是线线性性的的。如如果果应应力力是是与与变变形形率率线线性性相相关关，那那么么它它将将在在单单元元内内线线性性变变化化。内内部部节节点点力力的的被被积积函函数数是是近近似似为为二二次次的的，因因为为它它是是B B矩矩阵阵和和应应力力的的乘乘积积。在在GaussGauss积积分分中中，对对于于一一个个二二次次函函数数的的精精确确求求解解在在每每一一方方向向上上需需要要两两个个积积分分点点，所所以以对对于于线线性性

23、材材料料，需需要要2222个个点点的的积积分分得得到到内内部部节节点点力的精确解。力的精确解。对对于于线线性性本本构构方方程程的的积积分分，几几乎乎得得到到内内部部节节点点力力精精确确解解的的积积分分公公式式，称为称为完全积分完全积分。4 编制程序编制程序完全积分完全积分 第23页，此课件共44页哦4 编制程序编制程序局部减缩积分局部减缩积分 对于完全不可压缩或接近不可压缩的材料，对于完全不可压缩或接近不可压缩的材料，运动必须是等体积的运动必须是等体积的 0J=1式式中中K是是体体积积模模量量，是是剪剪切切模模量量。在在任任意意的的等等体体积积运运动动中中，单单元元的的整整个个体体积积将将保保

24、持持常常数，即在整个单元中的运动必须是等体积的，数，即在整个单元中的运动必须是等体积的，否否则则，当当K是是一一个个非非常常大大的的数数时时(一一个个接接近近于于不不可可压压缩缩材材料料)，任任何何非非零零体体积积应应变变将将吸吸收几乎全部的能量。收几乎全部的能量。内内部部节节点点力力的的完完全全积积分分可可能能引引起起单单元元的的自自锁锁，即即出出现现很很小小的的位位移移而而不不收收敛敛或或收收敛敛得得非非常常慢慢。考考虑虑一一种种线线性性材材料料，如如果果将将线线性性弹弹性性应应变变能能分分解解为为静静水水和偏量部分，可以写为和偏量部分，可以写为第24页，此课件共44页哦4 编制程序编制程

25、序局部减缩积分局部减缩积分 为为了了克克服服这这个个困困难难，最最容容易易的的方方法法是是使使用用局局部部减减缩缩积积分分。在在局局部部减减缩缩积积分分中中，压压力力为为不不完完全全积积分分，而而应应力力矩矩阵阵的的其其余余部部分分为为完完全全积积分分。为为此，将应力张量分解为此，将应力张量分解为偏斜偏斜部分和部分和静水静水部分部分 体体积积自自锁锁源源于于单单元元没没有有能能力力准准确确地地表表示示一一个个等等体体积积运运动动。为为了了消消除除自自锁锁，必必须须设设计计应应变变场场，这这样样在在假假设设的的应应变变场场中中整整个个单单元元的的膨膨胀胀为为零零：为为了了避避免免自自锁锁，对对于

26、于任任意意保保持持单单元元体体积积的的速速度度场场，整整个个单单元元的的应应变变场场必必须须是是等等体体积积的的。对对于于等等体体积积运运动动的的四四边边形形单单元元，为为了了克克服服沙沙漏漏模模式式，在在整整个个单单元中膨胀必须为零。元中膨胀必须为零。第25页，此课件共44页哦4 编制程序编制程序局部减缩积分局部减缩积分 在在局局部部减减缩缩积积分分中中，压压力力为为不不完完全全积积分分，以以此此确确定定与与外外力力平平衡衡的的应应力力场场。如杂交单元如杂交单元第26页，此课件共44页哦4 编制程序编制程序局部减缩积分局部减缩积分 注意到膨胀部分和偏斜部分是彼此正交的，因此内部虚功率为注意到

27、膨胀部分和偏斜部分是彼此正交的，因此内部虚功率为将变形率表示为形状函数的形式，膨胀和偏斜部分的被积函数分别为将变形率表示为形状函数的形式，膨胀和偏斜部分的被积函数分别为 局部减缩积分包含在偏斜功率上的局部减缩积分包含在偏斜功率上的完全积分完全积分和在膨胀功率上的和在膨胀功率上的减缩积减缩积分分。对于一个。对于一个4节点四边形单元的局部减缩积分为节点四边形单元的局部减缩积分为 关于内力的局部减缩积分表达式为关于内力的局部减缩积分表达式为第27页，此课件共44页哦4 编制程序编制程序局部减缩积分局部减缩积分 只只有有四四边边形形和和六六面面体体单单元元才才能能采采用用减减缩缩积积分分；而而所所有有

28、楔楔形形、四四面体和三角形实体单元采用完全积分。面体和三角形实体单元采用完全积分。关于减缩积分的单个积分点是母单元的质心。偏斜部分是通过完全积分关于减缩积分的单个积分点是母单元的质心。偏斜部分是通过完全积分方式积分的。方式积分的。这种方法类似于应用于不可压缩材料线性分析的算法。关于其这种方法类似于应用于不可压缩材料线性分析的算法。关于其它单元的局部减缩积分算法，可以采取对于线性有限元类似的修正方法建立它单元的局部减缩积分算法，可以采取对于线性有限元类似的修正方法建立起来。起来。单元力和矩阵转换单元力和矩阵转换 例题：三角形例题：三角形3节点单元节点单元 第28页，此课件共44页哦4 编制程序编

29、制程序例题例题四边形单元和其它二维等参单元四边形单元和其它二维等参单元 建建立立二二维维等等参参单单元元的的变变形形梯梯度度、变变形形率率、节节点点力力和和质质量量矩矩阵阵的的表表达达式式。对对于于4节节点点四四边边形形单单元元给给出出详详细细的的表表达达式式。以以矩矩阵阵形形式式给给出出内内部部节节点点力力的的表表达达式。式。是母单元的节点坐标是母单元的节点坐标 形状函数和节点变量形状函数和节点变量 节点速度节点速度 节点坐标节点坐标 第29页，此课件共44页哦变形率和内部节点力变形率和内部节点力 4 编制程序编制程序对对于形状函数公式，映射到空于形状函数公式，映射到空间间坐坐标标不是可逆的

30、。不是可逆的。不能直接将不能直接将表达成表达成 x 和和 y 的形式，所以形状函数的的形式，所以形状函数的导导数是通数是通过隐过隐式微分式微分计计算出来算出来 当前构形相对于单元坐标的当前构形相对于单元坐标的Jacobian矩阵给出为矩阵给出为对于对于4节点四边形单元，上式成为节点四边形单元，上式成为第30页，此课件共44页哦4 编制程序编制程序Jacobian矩阵矩阵考虑平衡方程考虑平衡方程 定义残差定义残差 通过通过Newton迭代求解和线性化迭代求解和线性化 内力内力Jacobian切线刚度切线刚度外力外力Jacobian载荷刚度载荷刚度整体整体Jacobian为二者之差为二者之差ABA

31、QUS的的UMAT就是求内力的就是求内力的Jacobian矩阵切线刚度矩阵切线刚度第31页，此课件共44页哦Jacobian矩矩阵阵是是时间时间的函数，的函数，的逆的逆给给出出为为 4 编制程序编制程序4节点四边形单元采用单元坐标表示的形状函数的梯度为节点四边形单元采用单元坐标表示的形状函数的梯度为 采用空间坐标表示的形状函数的梯度为采用空间坐标表示的形状函数的梯度为 出现在分母中出现在分母中第32页，此课件共44页哦4 编制程序编制程序速度梯度给出为速度梯度给出为 内部节点力内部节点力 上式适用于任意的二上式适用于任意的二维维等参等参单单元。因元。因为为是是关关于于单单元元坐坐标标的的有有理

32、理函函数数，所所以以不不能能对对上上式式进进行行解解析析积积分分，通通常常使使用用数值积分。数值积分。对对于于4 4节节点点四四边边形形单单元元，22 22 GaussGauss积积分分为为完完全全积积分分。但但是是在在平平面面应应变变问问题题中中，对对于于不不可可压压缩缩或或几几乎乎不不可可压压缩缩的的材材料料，完完全全积积分分会会出出现单元自锁，因此必须应用局部减缩积分。现单元自锁，因此必须应用局部减缩积分。对对于于4 4节节点点四四边边形形单单元元，沿沿着着每每条条边边的的位位移移是是线线性性的的。所所以以，其其外部节点力与外部节点力与3 3节点三角形单元外部节点力是一致的。节点三角形单

33、元外部节点力是一致的。出现在分母中，被积函数出现在分母中，被积函数第33页，此课件共44页哦4 编制程序编制程序一致质量矩阵一致质量矩阵 根根据据Lobatto积积分分，使使积积分分点点与与节节点点重重合合，或或者者将将单单元元的的整整个个质质量量平平均均分分配配到到4 4个个节节点点上上可可以以得得到到一一个个集集中中的的对对角角质质量量矩矩阵阵，分配到分配到4 4个节点上给出个节点上给出集中质量矩阵集中质量矩阵 第34页，此课件共44页哦例题例题主从连接线主从连接线 4 编制程序编制程序 连连接接线线经经常常用用于于连连接接采采用用不不同同单单元元尺尺度度的的网网格格部部分分，因因为为它它

34、们们比比使使用用三三角角形形或或四四面面体体单单元元连连接接不不同同尺尺度度的的单单元元更更方方便便。通通过过约约束束从从属属节节点点的的运运动动，使使其其与与连连接接主主控控节节点点的的附附近近边边界界的的场场一一致致，保保证证跨跨过过连连接接线线的的运运动动的的连续性。连续性。根据转换规则，导出节点力和质量矩阵。根据转换规则，导出节点力和质量矩阵。第35页，此课件共44页哦例题例题主从连接线主从连接线 4 编制程序编制程序 通通过过运运动动约约束束给给出出从从属属节节点点的的速速度度，使使沿沿连连接接线线两两侧侧的的速速度度保保持持协协调调，即即C0。这这个个约约束束可可以表达为节点速度的

35、一个线性关系，可以写成为以表达为节点速度的一个线性关系，可以写成为连接后模型的节点力为连接后模型的节点力为 矩阵矩阵A是从线性约束得到的，是从线性约束得到的，“”表示在两侧连接到一起之前的分离模型的速度表示在两侧连接到一起之前的分离模型的速度 主主控控节节点点力力是是分分离离模模型型的的主主控控节节点点力力和和转转换换的的从从属属节节点点力力的的和和。这这些些公公式式对对于于外外部部和和内部节点力都适用内部节点力都适用 一致质量矩阵为一致质量矩阵为 第36页，此课件共44页哦4 编制程序编制程序 4节节点四点四边边形形单单元，沿任何元，沿任何边边界上的速度是界上的速度是线线性的。从属性的。从属

36、节节点点3和和5与与主控主控节节点点1和和2重合，而从属重合，而从属节节点点4与与节节点点1的距离的距离为为节点速度可以写成为节点速度可以写成为节点力则给出为节点力则给出为主控节点主控节点1的力是的力是节节点点力力两两个个分分量量的的转转换换是是一一致致的的；这这种种转转换换对对于于内内部部和和外外部部节节点点力力都都适适用用。如如果果两两条条边边只只是是在在法法向向相相连连接接，则则需需要要在在节节点点上上建建立立局局部部坐坐标标系系。通通过过公公式式，联联系系节节点点力力的的法法向向分分量量，而切向分量保持各自独立。而切向分量保持各自独立。例题例题主从连接线主从连接线 第37页，此课件共4

37、4页哦5 旋转公式旋转公式 在在结结构构单单元元中中，如如杆杆、梁梁和和壳壳，处处理理固固定定坐坐标标系系是是很很棘棘手手的的。例例如如，考考虑虑一一个个旋旋转转杆杆件件。最最初初，唯唯一一的的非非零零应应力力是是x，而而y等等于于零零。当当杆杆件件旋旋转转时时，以以应应力力张张量量整整体体分分量量的的形形式式表表示示单单轴轴应应力力的的状状态态就就麻麻烦烦了了。克克服服这这种种困困难难的的一一般般途途径径是是在在杆杆中中嵌嵌入入一一个个随随杆杆旋转的坐标系旋转坐标系旋转的坐标系旋转坐标系 考考虑虑一个坐一个坐标标系系始始终连终连接着接着节节点点1和和2，在，在单轴应单轴应力状力状态态下下 杆

38、的杆的变变形率形率类类似地似地应应用分量用分量描述描述 第38页，此课件共44页哦在旋转格式中考虑的关键问题是材料旋转的定义，有两种方法：在旋转格式中考虑的关键问题是材料旋转的定义，有两种方法：1 1 在在每每一一个个积积分分点点嵌嵌入入一一个个坐坐标标系系，在在某某种种意意义义上上它它随随着着材材料料旋旋转转。对对于于任任意意大大的的应应变变和和旋旋转转都都有有效效。在在大大多多数数情情况况下下，应应用用极极分分解解原原理理定定义义旋旋转转。然然而而，当当材材料料的的指指定定方方向向有有一一个个较较大大的的刚刚度度并并需需要要准准确确地地表表现现出出来来时时，由由极极分分解解提提供供的的旋旋

39、转转在在CartesianCartesian坐标系下未必能提供最好的旋转；见第坐标系下未必能提供最好的旋转；见第9 9章。章。5 旋转公式旋转公式 对对于于一一些些单单元元，如如杆杆或或常常应应变变三三角角形形单单元元，整整个个单单元元的的刚刚体体转转动动是是相相同同的的，那那么么在在单单元元中中嵌嵌入入一一个个单单一一坐坐标标系系就就足足够够了了。对对于于高高阶阶单单元元，如如果果应应变变比比较较小小，不不需需要要坐坐标标系系准准确确地地随随材材料料旋旋转转。例例如如定定义义旋旋转转坐坐标标系系，使使它它与与单单元元的的一一边边重重合合。如如果果与与嵌嵌入入坐坐标标系系相相关关的的旋旋转转为

40、为阶阶，则则在在应应变变中中的的误误差差具具有有2阶阶。这这样样，只只要要2与与应变相比很小，单个嵌入坐标系是合适的。应变相比很小，单个嵌入坐标系是合适的。称作小应变、大转动问题称作小应变、大转动问题。2 2 在一个单元中嵌入一个坐标系并随着单元旋转。在一个单元中嵌入一个坐标系并随着单元旋转。第39页，此课件共44页哦5 旋转公式旋转公式在旋转坐标系下，矢量在旋转坐标系下，矢量v的分量与整体分量之间的关系为的分量与整体分量之间的关系为对于速度场，有限元近似的旋转分量可以写成为对于速度场，有限元近似的旋转分量可以写成为 速度梯度张量的旋转分量给出为速度梯度张量的旋转分量给出为旋转变形率张量给出为

41、旋转变形率张量给出为 旋转公式仅用来计算内部节点力。外部节点力和质量矩阵常常在整体坐旋转公式仅用来计算内部节点力。外部节点力和质量矩阵常常在整体坐标系下计算。运动的半离散方程以整体分量的形式进行处理。标系下计算。运动的半离散方程以整体分量的形式进行处理。第40页，此课件共44页哦5 旋转公式旋转公式以旋以旋转转分量的形式建立分量的形式建立的表达式。内部的表达式。内部节节点力的点力的标标准表达式准表达式为为 根据链规则根据链规则 从从CauchyCauchy应力变成为旋转应力的转换应力变成为旋转应力的转换 应用应用R的正交性的正交性 表达式可以转化为矩阵形式表达式可以转化为矩阵形式 第41页，此

42、课件共44页哦5 旋转公式旋转公式 旋旋转转CauchyCauchy应应力力率率是是客客观观的的(框框架架不不变变性性)，因因此此，以以旋旋转转CauchyCauchy应应力力率和旋转变形率之间的关系直接表示本构方程率和旋转变形率之间的关系直接表示本构方程对于次弹性材料对于次弹性材料 这这里的里的弹弹性响性响应应矩矩阵阵也表达也表达为为旋旋转转分量的形式。上式中一个分量的形式。上式中一个令人感令人感兴兴趣的特征就是趣的特征就是对对于各向异性材料，不需要改于各向异性材料，不需要改变变矩矩阵阵而能而能够够反映反映转动转动。另另一一方方面面，如如果果C矩矩阵阵的的分分量量是是在在固固定定坐坐标标系系

43、中中表表达达的的，对对于于各各向向异异性材料，当材料转动时性材料，当材料转动时C矩阵随之变化。矩阵随之变化。第42页，此课件共44页哦5 旋转公式旋转公式 应应用旋用旋转转方法建立方法建立3节节点三角形点三角形单单元的速度元的速度应变应变和内部和内部节节点力的表达式。点力的表达式。单单元的初始和当前构形如元的初始和当前构形如图图。在初始。在初始时时旋旋转转坐坐标标系与整体坐系与整体坐标标系之系之间间有有一个角度一个角度0；通常；通常选择选择0为为零，但是零，但是对对于各向异性材料，将初始于各向异性材料，将初始轴轴定位在各向异性的一个方向可能是理想的；例如，在复合材料中，将定位在各向异性的一个方向可能是理想的；例如，在复合材料中，将定位在定位在纤维纤维方向可能是有用的。旋方向可能是有用的。旋转转坐坐标标系的当前角度是系的当前角度是。例题例题三角形单元三角形单元 第43页，此课件共44页哦5 旋转公式旋转公式例题例题三角形单元三角形单元 运动可以表示为三角形面积坐标的形式运动可以表示为三角形面积坐标的形式 在单元中的位移和速度场则给出为在单元中的位移和速度场则给出为对应于旋转坐标系的形状函数的导数对应于旋转坐标系的形状函数的导数 第44页，此课件共44页哦