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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date导学教程高三数学二轮复习教案-专题六-第1讲-排列与组合、二项式定理专题六 概率与统计专题六 概率与统计第1讲排列与组合、二项式定理自主学习导引真题感悟1(2012安徽)(x22)5的展开式的常数项是A3B2C2D3解析第一个因式取x2,第二个因式取得:1C(1)45,第一个因式取2,第二个因式取(1)5得:2(1)52展开式的常数项是5(2)3.2(2012大纲全国
2、卷)6名选手依次演讲,其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有A240种 B360种 C480种 D720种解析解法一甲先安排在除开始与结尾的位置有C个选择,剩余的元素与位置进行全排列有A种,故不同的演讲次序共有CA480种解法二若不考虑元素甲的特殊性,共有A中演讲次序,其中甲在第一个演讲的有A种,甲在最后一个演讲的也有A种,故不同的演讲次序共有AAA480(种)考题分析考查排列与组合的题目高考中多以小题的形式出现,与两个计数原理综合应用;二项式定理的问题常涉及展开式中项的系数,特定项的求法,也可与其他知识交汇命题,如定积分计算,数列知识,方程根的个数等网络构建高频考点突破
3、考点一:两个原理及其应用【例1】用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内,每格涂一种颜色,相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?审题导引颜色可以反复使用,即说明在不相邻的小方格内可以使用同一种颜色,首先确定第一个小方格的涂法,再考虑其相邻的两个小方格的涂法规范解答如图所示,将4个小方格依次编号为1,2,3,4,第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上,有5种不同的涂法1234当第2、第3个小方格涂不同颜色时,有A12(种)不同的涂法,第4个小方格有3种不同的涂法由分步计数原理可知,有5123180(种)不同的涂法;当第2个、第3个小方格涂相同
4、颜色时,有4种涂法,由于相邻两格不同色,因此,第4个小方格也有4种不同的涂法,由分步计数原理可知,有54480(种)不同涂法由分类加法计数原理可得,共有18080260(种)不同的涂法【规律总结】涂色问题的解决方法(1)涂色问题没有固定的方法可循,只能按照题目的实际情况,结合两个原理与排列组合的知识灵活处理,其难点是对相邻区域颜色不同的处理,解决的方法往往要采用分类讨论的方法,根据“两个原理”计算(2)本题也可以考虑对使用的颜色的种数进行分类,如果使用2种颜色,则只能是第1,4涂一种、第2,3涂一种,方法数是CA20;若是使用3种颜色,若第1,2,3方格不同色,第4个方格只能和第1个方格相同,
5、方法数是CA60,如果第1,2,3方格只用两种颜色,则第4个方格只能用第3种颜色,方法数是C3260;如果使用4种颜色,方法数是CA120.根据加法原理总的涂法种数是260.易错提示在涂色问题中一定要看颜色是否可以重复使用,不允许重复使用的涂色问题实际上就是一般的排列问题,当颜色允许重复使用时,要充分利用“两个基本原理”分析解决问题【变式训练】1某次活动中,有30个人排成6行5列,现要从中选出3人进行礼仪表演,要求这3人任意2人不同行也不同列,则不同的选法种数为_(用数字作答)解析其中最先选出的一个有30种方法,此时这个人所在的行和列不能再选人,还剩一个5行4列的队形,选第二个人有20种方法,
6、此时该人所在的行和列不能再选人,还剩一个4行3列的队形,此时第三个人的选法有12种,根据分步乘法计数原理,总的选法种数是3020127 200.答案7 200考点二:排列与组合【例2】(1)(2012海淀一模)从甲、乙等5个人中选出3人排成一列,则甲不在排头的排法种数是A12B24C36D48(2)(2012深圳模拟)值域为2,5,10,其对应关系为yx21的函数的个数为A1 B27 C39 D8审题导引(1)分“选甲”与“不选甲”两类进行讨论;(2)根据函数的值域,求出函数定义域中可能包含的元素,分类讨论确定其定义域规范解答(1)若选甲,则有AA种排法;若不选甲,则有A种排法,则共有AAA4
7、8(种)(2)分别由x212,x215,x2110解得x1,x2,x3,由函数的定义,定义域中元素的选取分四种情况:取三个元素:有CCC8(种);取四个元素:先从1,2,3三组中选取一组C,再从剩下的两组中选两个元素CC,故共有CCC12(种);取五个元素:C6(种);取六个元素:1种由分类计数原理,共有8126127(种)答案(1)D(2)B【规律总结】排列、组合问题的解法解排列组合综合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手“分析”就是找出题目的条件、结论哪些是“元素”,哪些是“位置”;“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等;“分类”就是对于较复杂的应
8、用题中的元素往往分成互相排斥的几类,然后逐类解决;“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列组合问题,然后逐步解决【变式训练】2(2012宁波模拟)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为A14 B24 C28 D48解析选1名女生的方案有:CC种;选2名女生的方案有:CC种;故至少选1名女生共有:CCCC14种方案答案A3(2012银川模拟)用0,1,2,3,4排成无重复数字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则这样的五位数的个数是A36 B32 C24 D20解析0,1,2,3,4五个数字,偶数字相邻
9、,奇数字也相邻的排法共有AAA种排法,其中0在首位的排法有AA种,所以共有AAAAA20个五位数答案D考点三:二项式定理【例3】(1)(2012西城二模)(x2)6的展开式中,x3的系数是_(用数字作答)(2)已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5,则(a0a2a4)(a1a3a5)的值等于_审题导引(1)利用二项展开式的通项公式求解;(2)采用赋值法,分别求出a0a2a4和a1a3a5.规范解答(1)(x2)6的展开式中通项公式为Tr1Cx6r(2)r,令r3,得T4Cx3(2)3160x3,所以x3的系数是160.(2)分别令x1、x1得a0a1a2a3a4a50.a0a
10、1a2a3a4a532,由此解得a0a2a416,a1a3a516,(a0a2a4)(a1a3a5)256.答案 (1)160(2)256【规律总结】五招制胜,解决二项式问题二项式定理是一个恒等式,应对二项式定理问题主要有五种方法:(1)特定项问题通项公式法;(2)系数和与差型问题赋值法;(3)近似问题截项法;(4)整除(或余数)问题展开法;(5)最值问题不等式法易错提示在二项式定理问题中,常见的误区有:(1)二项展开式的通项Tk1中,项数与k的关系搞不清;(2)二项式系数与各项的系数混淆不清;(3)在展开二项式(ab)n或求特定项时,忽略中间的“”号【变式训练】4(2012武汉模拟)4展开式
11、中常数为_解析4展开式中的通项为Tr1C(1)rx124r,令124r0,得r3,所以常数项为T4C(1)34.答案45(2012山师附中模拟)二项式(1sin x)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7,且系数最大的一项的值为,则x在0,2内的值为_解析(1sin x)n的展开式中末尾两项的系数和为CCn17,n6,则(1sin x)6的展开式中系数最大的一项为T4C(sin x)3,C(sin x)3,sin x.又x0,2,x或.答案或名师押题高考【押题1】学校组织高一年级4个班外出春游,每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览,则恰有两个班选择了甲景区的选法共有_种解析从4个班
12、中选2个班游览甲景区,有C种选法,剩余的2个班各有3种选法,有32种选法,根据乘法原理知,C3254.押题依据两个计数原理、排列与组合是解决计数问题的工具,在高考试题中可能单独命题,以选择题或填空题的形式出现,也可能与概率统计相结合命题,难度中等或偏下【押题2】设asin xdx,则二项式4的展开式的常数项是A24B24C48 D48解析asin xdxcos x2,的展开式中的通项为Tr1(1)rCx2r24r,令2r0,得r2,T3(1)2C226424.答案A押题依据二项展开式的通项公式的运用是高考考查的重点内容,一般用以求展开式中的特定项,以选择题或填空题的形式出现,本题与定积分交汇命题,立意新颖、考查全面,故押此题-