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1、关于多元随机变量及其分布1第1页，讲稿共97张，创作于星期日2 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述几个随机变量来描述.在打靶时在打靶时,命中点的位置是由一对随命中点的位置是由一对随机变量机变量(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的.飞机的重心在空中的位置是由飞机的重心在空中的位置是由三个随机变量三个随机变量(三个坐标）来确定的三个坐标）来确定的等等等等.第2页，讲稿共97张，创作于星期日3 一一般般地地，我我们们称称n个个随
2、随机机变变量量的的整整体体X=(X1,X2,，Xn)为为n维维随随机机变变量量或或随随机机向向量量.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，为简单起见，我们重点讨论二维随机变量为简单起见，我们重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的对照.第3页，讲稿共97张，创作于星期日411 二维离散型随机变量二维离散型随机变量则则称二称二维维表表 为为(X,Y)的的联合分布律联合分布律。一、二维离散型随机变量及其联合分布律一、二维离散型随机变量及其联合分布律第4页，讲稿共97张，创作于星期日5第5页，讲稿共97张，创作于星期日6例例1 1 袋中
3、有袋中有2只白球只白球3只黑球，有放回摸球两次，定义只黑球，有放回摸球两次，定义X为为第一次摸得的白球数，第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。的联合分布律。解解第6页，讲稿共97张，创作于星期日7解解例例1 1 袋中有袋中有2只白球只白球3只黑球，有放回摸球两次，定义只黑球，有放回摸球两次，定义X为第为第一次摸得的白球数，一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，求为第二次摸得的白球数，求(X,Y)的联合分布律。的联合分布律。第7页，讲稿共97张，创作于星期日8例例2 2解解由于由于 所以所以 第8页，讲稿共97张，创作于星期日9故故(
4、X,Y)的联合概率分布为的联合概率分布为 第9页，讲稿共97张，创作于星期日10解解例例3 3第10页，讲稿共97张，创作于星期日11二、二维随机变量的联合分布函数二、二维随机变量的联合分布函数二维随机变量（二维随机变量（X,Y）X和和Y的联合分布函数的联合分布函数X的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量Xxx第11页，讲稿共97张，创作于星期日12第12页，讲稿共97张，创作于星期日13二维随机变量分布函数的基本性质二维随机变量分布函数的基本性质第13页，讲稿共97张，创作于星期日14练习：练习：P57 习题习题 3-11.补充题补充题 设设A，B为两个随机事件，且为两个随机事件，且
5、第14页，讲稿共97张，创作于星期日15解解补充题补充题 设设A，B为两个随机事件，且为两个随机事件，且 第15页，讲稿共97张，创作于星期日16即即(X,Y)的概率分布为：的概率分布为：第16页，讲稿共97张，创作于星期日1722 二维连续型随机变量二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量的联合密度函数一、二维连续型随机变量的联合密度函数第17页，讲稿共97张，创作于星期日18面面上的一个区域上的一个区域.第18页，讲稿共97张，创作于星期日19设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为例例1 1解解(1)(1)由规范性由规范性第19页，讲稿共97张，创作于星期日
6、20第20页，讲稿共97张，创作于星期日21第21页，讲稿共97张，创作于星期日22解解例例2 2第22页，讲稿共97张，创作于星期日23所以所以第23页，讲稿共97张，创作于星期日24二、常用的二维连续型随机变量二、常用的二维连续型随机变量 设设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域,其其面面积积为为A.若若二二维维随随机机变变量量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称(X,Y)在在G上服从上服从均匀分布均匀分布.若若(X,Y)服从区域服从区域G上的均匀分布上的均匀分布,则对于则对于G中任一子中任一子区域区域D,有有1 1、二维均匀分布、二维均匀分布第24页，讲稿共97张，创作于星期日2
7、5 于是于是(X,Y)落在落在G中任一子区域中任一子区域D的概率与的概率与D的面积成的面积成正比正比,而与而与D的形状和位置无关的形状和位置无关.在这个意义上我们说在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是“等可能等可能”的。的。第25页，讲稿共97张，创作于星期日26如果如果(X,Y)的概率密度的概率密度2 2、二维指数分布、二维指数分布第26页，讲稿共97张，创作于星期日27若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度记作记作则称则称(X,Y)服从参数为服从参数为 的的二维正态分布二维正态分布.其中其中
8、均为常数均为常数,且且3 3、二维正态分布、二维正态分布第27页，讲稿共97张，创作于星期日28练习：练习：P59 习题习题 3-21.第28页，讲稿共97张，创作于星期日2933 边缘分布边缘分布即即同理同理,一、边缘分布函数与联合分布函数的关系一、边缘分布函数与联合分布函数的关系 二维随机变量二维随机变量(X,Y)作为一个整体作为一个整体,用联合分布来刻画用联合分布来刻画.而而X和和Y都是一维随机变量都是一维随机变量,各有自己的分布各有自己的分布,称为称为边缘边缘分布分布.第29页，讲稿共97张，创作于星期日30设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为的联合分布函数为例例1
9、1则边缘分布函数为则边缘分布函数为其中参数其中参数第30页，讲稿共97张，创作于星期日31说明说明：联联合分布可以唯一确定合分布可以唯一确定边缘边缘分布，但是分布，但是边缘边缘分布一分布一般不能唯一确定般不能唯一确定联联合分布。也即，二合分布。也即，二维维随机向量的性随机向量的性质质一一般不能由它的分量的个般不能由它的分量的个别别性性质质来确定，来确定，还还要考要考虑虑分量之分量之间间的的联联系，系，这这也也说说明了研究多明了研究多维维随机向量的作用。随机向量的作用。边缘分布与参数边缘分布与参数无关无关.第31页，讲稿共97张，创作于星期日32例例2 2 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)
10、的联合分布函数为的联合分布函数为解解 (1)(1)第32页，讲稿共97张，创作于星期日33解解 (2)(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为(3)边缘边缘分布函数分分布函数分别为别为 求求导导得得边缘边缘密度函数分密度函数分别为别为 第33页，讲稿共97张，创作于星期日34解解 (4)第34页，讲稿共97张，创作于星期日35二、边缘分布律二、边缘分布律设设(X,Y)是离散型二维随机变量，联合分布律为是离散型二维随机变量，联合分布律为则边缘分布为则边缘分布为记作第35页，讲稿共97张，创作于星期日36 袋中有袋中有2只白球只白球3只黑只黑球，有放回摸球两次，定义球，有放回摸球两次，定义X为第
11、一次摸得的白球数，为第一次摸得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，为第二次摸得的白球数，则则(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 例例3 3Y的边缘分布X的边缘分布所以所以 X,Y 的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为第36页，讲稿共97张，创作于星期日37若改为无放回摸球，则若改为无放回摸球，则(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 边缘分布为边缘分布为第37页，讲稿共97张，创作于星期日38边缘分布为边缘分布为与有放回的情况比较，与有放回的情况比较，但边缘分布却完全相同。但边缘分布却完全相同。两者的联合分布完全不同，两者的联合分布完全不同，若改为无放回摸球，则若改为无放回摸球，则(X,Y)
12、的联合分布律为的联合分布律为 第38页，讲稿共97张，创作于星期日39例例4 4 设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量(X,Y)的联合分布为的联合分布为解解求：求：(1)(1)c c；(1)(1)120010.1c0.10.10.20.2第39页，讲稿共97张，创作于星期日40例例4 4 设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量(X,Y)的联合分布为的联合分布为解解求：求：(1)c；(1)(1)0.3120010.10.10.10.20.2(2)(2)边缘分布边缘分布0.30.40.30.50.5100.50.51200.30.40.3第40页，讲稿共97张，创作于星期日41例例4 4 设
13、相互独立的随机变量设相互独立的随机变量(X,Y)的联合分布为的联合分布为解解求：求：(1)c；(1)(1)0.3120010.10.10.10.20.20.30.40.30.50.5第41页，讲稿共97张，创作于星期日42三、边缘密度函数三、边缘密度函数设设(X,Y)是连续型二维随机变量，联合密度函数为是连续型二维随机变量，联合密度函数为由于由于所以所以(X,Y)关于关于X的边缘密度函数为的边缘密度函数为同理同理,关于关于Y 的边缘密度函数为的边缘密度函数为第42页，讲稿共97张，创作于星期日43求求(1)c的值；的值；(2)两个边缘密度；两个边缘密度；解解 (1)设设(X,Y)的概率密度是的
14、概率密度是例例5 5xy01第43页，讲稿共97张，创作于星期日44xy01(2)(2)所以所以第44页，讲稿共97张，创作于星期日45xy01(2)(2)所以所以第45页，讲稿共97张，创作于星期日46xy01第46页，讲稿共97张，创作于星期日47例例6 6解解随机向量随机向量(X,Y)的密度概率为的密度概率为 xyO21D其他其他第47页，讲稿共97张，创作于星期日48例例6 6解解随机向量随机向量(X,Y)的密度概率为的密度概率为 其他其他xyO21D第48页，讲稿共97张，创作于星期日49上的均匀上的均匀分布，分布，试试求求X和和Y的的边缘分布边缘分布.设设二二维维随机随机变变量量(
15、X,Y)服从服从单位圆单位圆解解关于关于X的的边缘边缘密度密度为为 例例7 7(X,Y)的的联合联合密度密度函数函数为为第49页，讲稿共97张，创作于星期日50上的均匀上的均匀分布，分布，试试求求X和和Y的的边缘分布边缘分布.设设二二维维随机随机变变量量(X,Y)服从服从单位圆单位圆解解关于关于Y 的的边缘边缘密度密度为为例例7 7(X,Y)的的联合联合密度密度函数函数为为注意注意：X和和Y 的的边缘分布不是均匀分布边缘分布不是均匀分布.第50页，讲稿共97张，创作于星期日51可以证明可以证明,若若则则 这就是说这就是说,二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态
16、分布分布,而且其边缘分布不依赖于参数而且其边缘分布不依赖于参数 .因此可以断定因此可以断定参数参数 描述了描述了X与与Y之间的某种关系之间的某种关系!由联合分布可以确定边缘分布；由联合分布可以确定边缘分布；但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.再次说明联合分布和边缘分布的关系再次说明联合分布和边缘分布的关系:第51页，讲稿共97张，创作于星期日52练习：练习：P64 习题习题 3-31.第52页，讲稿共97张，创作于星期日534 4 条件分布条件分布在第一章中，我们介绍了条件概率的概念在第一章中，我们介绍了条件概率的概念.在事件在事件B发生的条件下事件发生的条件下事
17、件A发生的条件概率发生的条件概率推广到随机变量推广到随机变量 设有两个随机变量设有两个随机变量 X,Y，在给定在给定Y 取某个或某些值取某个或某些值的条件下，求的条件下，求X的概率分布的概率分布.这个分布就是这个分布就是条件分布条件分布.第53页，讲稿共97张，创作于星期日54一、离散型随机变量的条件分布律一、离散型随机变量的条件分布律 设设(X,Y)是是二二维维离离散散型型随随机机变变量量，对对于于固固定定的的 j，若若P(Y=yj)0，则称则称为在为在Y=yj条件下随机变量条件下随机变量X的的条件分布律条件分布律.类似地，对于固定的类似地，对于固定的 i，若若P(X=xi)0，则称则称为在
18、为在X=xi条件下随机变量条件下随机变量Y的的条件分布律条件分布律.第54页，讲稿共97张，创作于星期日55 条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质性质.正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.例如：例如：第55页，讲稿共97张，创作于星期日56 设设(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 例例1 1解解求在给定求在给定Y=2=2下随机变量下随机变量X的条件的条件分布律和在给定分布律和在给定X=1=1下随机变量下随机变量Y的条件分布律。的条件分布律。因为因为所以在给定所以在给定Y=2=2下随机变
19、量下随机变量X的条件分布律为的条件分布律为第56页，讲稿共97张，创作于星期日57或写为或写为第57页，讲稿共97张，创作于星期日58所以在给定所以在给定X=1=1下随机变量下随机变量Y的条件分布律为的条件分布律为或写为或写为第58页，讲稿共97张，创作于星期日59二、连续型随机变量的条件密度函数二、连续型随机变量的条件密度函数边缘概率密度为边缘概率密度为 ,若对固定的若对固定的x,为在为在X=x的条件的条件下，下，Y 的的条件概率密度条件概率密度;类似地，对一切使类似地，对一切使 的的 y,定义定义为在为在 Y=y的条件的条件下，下，X的条件概率密度的条件概率密度.定义定义 设设X和和Y的联
20、合概率密度为的联合概率密度为则称则称第59页，讲稿共97张，创作于星期日60 设设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为服从单位圆上的均匀分布，概率密度为X的边缘密度为的边缘密度为例例2 2解解xy0第60页，讲稿共97张，创作于星期日61所以所以,当当|x|1时时,有有所以所以x 作为已知变量第61页，讲稿共97张，创作于星期日62练习：练习：P68 习题习题 3-41.第62页，讲稿共97张，创作于星期日63第五节第五节 第63页，讲稿共97张，创作于星期日64随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念。两事件A,B独立的定义是：若P(AB)=
21、P(A)P(B)则称事件A,B独立.设设 X,Y是两个随机变量是两个随机变量，若对任意的若对任意的x,y,则称则称X,Y相互相互独立独立.第64页，讲稿共97张，创作于星期日65上式用分布函数表示上式用分布函数表示,即即情形情形1 1 (X,Y)是是离散型离散型随机变量，则随机变量，则 X,Y相互独立的定义相互独立的定义等价于等价于第65页，讲稿共97张，创作于星期日66 袋中有袋中有2 2只白球只白球3 3只黑球，摸球两次，定义只黑球，摸球两次，定义X为第一次摸为第一次摸得的白球数，得的白球数，Y为第二次摸得的白球数，则有放回和不为第二次摸得的白球数，则有放回和不放回时放回时(X,Y)的联合
22、分布和边缘分布分别为的联合分布和边缘分布分别为 例例1 1 经验证，放回经验证，放回时时，X与与Y相互独立；相互独立；不放回不放回时时，不，不独立。独立。第66页，讲稿共97张，创作于星期日67 设设(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 例例2 2且且X与与Y 相互独立，试求相互独立，试求 和和 。又由分布律的性质又由分布律的性质,有有解解由由X与与Y 相互独立，知相互独立，知第67页，讲稿共97张，创作于星期日68解解例例3 3 假设随机变量假设随机变量X和和Y相互独立，都服从参数为相互独立，都服从参数为p(0p1)的的0-1分布，随机变量分布，随机变量 问问p取何值时，取何值时，X和和Z
23、相互独立？相互独立？首先求出首先求出Z的概率分布：的概率分布：因为X和Y相互独立第68页，讲稿共97张，创作于星期日69令令所以所以p取取0.5时，时，X和和Z相互独立。相互独立。第69页，讲稿共97张，创作于星期日70情形情形2 2 (X,Y)是是连续型连续型随机变量，则随机变量，则 X,Y相互独立的定义相互独立的定义等价于等价于在平面上几乎处处成立。在平面上几乎处处成立。例例4 4解解设设(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 问问X与与Y是否相互独立？是否相互独立？X,Y的边缘密度分别为的边缘密度分别为成立，所以成立，所以X,Y相互独立。相互独立。第70页，讲稿共97张，创作于星期日
24、71例例5 5解解设设(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 问问X与与Y是否相互独立？是否相互独立？X,Y的边缘密度分别为的边缘密度分别为所以所以X,Y 不相互独立。不相互独立。xy011第71页，讲稿共97张，创作于星期日72练习：练习：P70 习题习题 3-51.第72页，讲稿共97张，创作于星期日73第六节第六节 第73页，讲稿共97张，创作于星期日74 在在这节讨论这节讨论如何利用随机向量如何利用随机向量(X,Y)的分布求它的分布求它的函数的分布，分离散型和的函数的分布，分离散型和连续连续型两种情形型两种情形讨论讨论。一、二维离散型随机变量函数的分布一、二维离散型随机变量函数的分
25、布 设设随机向量随机向量(X,Y)的的联联合分布律合分布律为为 第74页，讲稿共97张，创作于星期日75 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为 例例1 1解解分分别别求求X+Y、X 2 2+Y 2 2、min(X,Y)的分布律。的分布律。第75页，讲稿共97张，创作于星期日76第76页，讲稿共97张，创作于星期日77证证所以所以例例2 2此性质称为泊松分布的此性质称为泊松分布的可加性可加性第77页，讲稿共97张，创作于星期日78二、二维连续型随机变量函数的分布二、二维连续型随机变量函数的分布主要主要讨论讨论和和的情况的情况.设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y
26、),求求Z=X+Y的密度的密度.Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:xy0zz两两边边关于关于z求求导导，则则得得Z的密度函数的密度函数为为 第78页，讲稿共97张，创作于星期日79由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘密度分别为的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式,记为记为 .第79页，讲稿共97张，创作于星期日80 设设X,Y相互独立且均服从标准正态分布相互独立且均服从标准正态分布,求求Z=X+Y的概率密的概率密度度.由卷积
27、公式由卷积公式,有有例例3 3解解第80页，讲稿共97张，创作于星期日81用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明:若若X和和Y 独立独立,若若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),则则Z=X+Y服从服从正态分布正态分布N(0,2).即有限个独立正态变量的即有限个独立正态变量的线性组合线性组合仍然服从正态分布仍然服从正态分布.正态分布的可加性正态分布的可加性第81页，讲稿共97张，创作于星期日82解解例例4 4Z 的分布函数为的分布函数为 xy0第82页，讲稿共97张，创作于星期日83解解xy0故故 Z 的概率密度为的概率密度为 第83页，讲稿共97张，创作于星期日84
28、解解例例5 5由独立性由独立性同分布同分布【答案】应选【答案】应选(A)。第84页，讲稿共97张，创作于星期日85解解(1)(2)例例6 6第85页，讲稿共97张，创作于星期日86第86页，讲稿共97张，创作于星期日87第87页，讲稿共97张，创作于星期日88练习：练习：P75 习题习题 3-61.第88页，讲稿共97张，创作于星期日89证证补充练习：补充练习：可以可以证证明：明：第89页，讲稿共97张，创作于星期日90可以可以证证明：明：由恒等式由恒等式即即所以所以此即此即说说明明第90页，讲稿共97张，创作于星期日91补充题：补充题：解解 掷一颗均匀骰子二次，设随机变量掷一颗均匀骰子二次，
29、设随机变量X表示第一次出表示第一次出现的点数，随机变量现的点数，随机变量Y表示两次出现点数的最大值，求表示两次出现点数的最大值，求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律的联合分布律和边缘分布律 第91页，讲稿共97张，创作于星期日92边缘分布：边缘分布：第92页，讲稿共97张，创作于星期日93解解例例4 4 设设X和和Y是两个相互独立的随机是两个相互独立的随机变变量量,其概率密度分其概率密度分由卷由卷积积公式公式,仅当仅当上述上述积积分的被分的被积积函数才不等于函数才不等于0,0,因此因此 即即时时,别为别为第93页，讲稿共97张，创作于星期日94第94页，讲稿共97张，创作于星期日95即有即有第95页，讲稿共97张，创作于星期日96END第96页，讲稿共97张，创作于星期日感感谢谢大大家家观观看看第97页，讲稿共97张，创作于星期日