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1、关于小学数学典型应用题三现在学习的是第1页，共43页15工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。现在学习的是第2页，共43页【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。工作量工作效率工作时间工作时间工作量工作效率工作时间总工作量（甲工作效率乙工作效率）现在学习的
2、是第3页，共43页例1一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？。1（1/101/15）11/66（天）（天）答：两队合做需要答：两队合做需要6天完成天完成现在学习的是第4页，共43页例2一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？（1）每小时甲比乙多做多少零件？）每小时甲比乙多做多少零件？241（1/61/8）7（个）（个）（2）这批零件共有多少个？）这批零件共有多少个？7（1/61/8）168（个）（个）解二解二两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为两人合做，完成任务时甲乙的工
3、作量之比为1/6 1/84 3由此可知，甲比乙多完成总工作量的由此可知，甲比乙多完成总工作量的43/431/7所以，这批零件共有所以，这批零件共有241/7168（个）（个）现在学习的是第5页，共43页例3一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？解解必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和、和15的某一公倍数，的某一公倍数，例如最小公倍数
4、例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是，则甲乙丙三人的工作效率分别是601256010660154因此余下的工作量由乙丙合做还需要因此余下的工作量由乙丙合做还需要（6052）（64）5（小时）（小时）答：还需要答：还需要5小时才能完成。小时才能完成。现在学习的是第6页，共43页例4一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？解注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位
5、时间内水的流量就是工作效率。要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（145），2个进水管15小时注水量为（1215），从而可知每小时的排水量为（1215145）（155）1即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知一池水的总工作量为1451515又因为在2小时内，每个进水管的注水量为12，所以，2小时内注满一池水至少需要多少个进水管？（1512）（12）8.59（个）答：至少需要9个进
6、水管。现在学习的是第7页，共43页16正反比例问题【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。现在学习的是第8页，共43页【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较
7、简捷。【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。现在学习的是第9页，共43页例1修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？解解由条件知，公路总长不变。由条件知，公路总长不变。原已修长度原已修长度 总长度总长度1（13）1 43 12现已修长度现已修长度 总长度总长度1（12）1 34 12比较以上两式可知，把总长度当作比较以上两式可知，把总长度当作12份，则份，则300米相当于（米相当于（43）份，）份，从而知公路总长为从而知公路总长为300
8、（43）123600（米）（米）答：答：这条公路总长这条公路总长3600米。米。现在学习的是第10页，共43页例2张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？解解做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系设设91分钟可以做分钟可以做X应用题应用题则有则有28 491 X28X914X91428X13答：答：91分钟可以做分钟可以做13道应用题。道应用题。现在学习的是第11页，共43页例3孙亮看十万个为什么这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？解解书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成书的页数一
9、定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系反比例关系设设X天可以看完，就有天可以看完，就有24 36X 1536X2415X10答：答：10天就可以看完。天就可以看完。现在学习的是第12页，共43页17按比例分配问题【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。现在学习的是第13页，共43页【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数比的前后项之和【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部
10、分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。现在学习的是第14页，共43页例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？解解总份数为总份数为474845140一班植树一班植树56047/140188（棵）（棵）二班植树二班植树56048/140192（棵）（棵）三班植树三班植树56045/140180（棵）（棵）答：一、二、三班分别植树答：一、二、三班分别植树188棵、棵、192棵、棵、180棵。棵。现在学习的是第15页，共43页例2用60厘
11、米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3 4 5。三条边的长各是多少厘米？解解34512603/1215（厘米）（厘米）604/1220（厘米）（厘米）605/1225（厘米）（厘米）答：三角形三条边的长分别是答：三角形三条边的长分别是15厘米、厘米、20厘米、厘米、25厘米。厘米。现在学习的是第16页，共43页例3从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。解解如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意
12、的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到1/2 1/3 1/99 6 296217179/179176/176172/172答：大儿子分得答：大儿子分得9只羊，二儿子分得只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得只羊，三儿子分得2只羊。只羊。现在学习的是第17页，共43页例4某工厂第一、二、三车间人数之比为8 12 21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？。解解80（128）（81221）820（人）（人）答：三个车间一共答：三个车间一共820人人现在学习的是第18页，共43页18百分数问题【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。
13、百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。现在学习的是第19页，共43页【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数比较量标准量标准量比较量百分数现在学习的是第20页，共43页【解题思路和方法】一般有三种基本类型：（1求一个数是另一个数的百分之几；（2已知一个数，求它的百分之几是多少；（3已知一个数的百分之几是多少，求这
14、个数。现在学习的是第21页，共43页例1仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？解解（1）用去的占）用去的占720（7206480）10%（2）剩下的占）剩下的占6480（7206480）90%答：用去了答：用去了10%，剩下，剩下90%。现在学习的是第22页，共43页例2红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？解解本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是人数是比较比较量量所以所以（525420）5250.220%或者或者14205250.220%答：男职工人
15、数比女职工少答：男职工人数比女职工少20%。现在学习的是第23页，共43页例3红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？解本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此（525420）4200.2525%或者52542010.2525%答：女职工人数比男职工多25%。现在学习的是第24页，共43页例4红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？解（1）男职工占420（420525）0.44444.4%（2）女职工占525（420525）0.55655.6%答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55
16、.6%。现在学习的是第25页，共43页例5百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：增长率增长数原来基数100合格率合格产品数产品总数100%出勤率实际出勤天数应出勤天数100%缺席率缺席人数实有总人数100%发芽率发芽种子数试验种子总数100%现在学习的是第26页，共43页成活率成活棵数种植总棵数100%出粉率面粉重量小麦重量100%出油率油的重量油料重量100%废品率废品数量全部产品数量100%命中率命中次数总次数100%烘干率烘干后重量烘前重量100%及格率及格人数参加考试人数100%现在学习的是第27页，共43页20鸡兔同笼问题【含义】这是古典的算术问题。已知笼
17、子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。现在学习的是第28页，共43页【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）现在学习的是第29页，共43页【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先
18、假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。现在学习的是第30页，共43页例1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解假设35只全为兔，则鸡数（43594）（42）23（只）兔数352312（只）也可以先假设35只全为鸡，则兔数（94235）（42）12（只）鸡数351223（只）答：有鸡23只，有兔12只。现在学习的是第31页，共43页例22亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（12）千克”
19、与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（35）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有白菜亩数（91216）（3512）10（亩）答：白菜地有10亩。现在学习的是第32页，共43页例3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？解解此题可以变通为此题可以变通为“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题。问题。假设假设45本全都是日记本，则有本全都是日记本，则有作业本数（作业本数（690.7045）（3.200.70）15（本）（本）日记本数日记本数
20、451530（本）（本）现在学习的是第33页，共43页例4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？解假设100只全都是鸡，则有兔数（210080）（42）20（只）鸡数1002080（只）答：有鸡80只，有兔20只。现在学习的是第34页，共43页例5有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？解解假设全为大和尚，则共吃馍（假设全为大和尚，则共吃馍（3100）个，）个，比实际多吃（比实际多吃（3100100）个，）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数因此我们在
21、保证和尚总数100不变的情况下，不变的情况下，以以“小小”换换“大大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（31/3）个）个。因此，共有小和尚。因此，共有小和尚（3100100）（31/3）75（人）（人）共有大和尚共有大和尚1007525（人）（人）答：共有大和尚答：共有大和尚25人，有小和尚人，有小和尚75人。人。现在学习的是第35页，共43页抽屉原则问题【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只或2只以上的苹
22、果。这就是数学中的抽屉原则问题。现在学习的是第36页，共43页【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有kmr（0rm）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k1）个或更多的元素。通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k1）个或更多的元素。现在学习的是第37页，共43页【解题思路和方法】（1）改造抽屉，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屉（3）说明理由，得出结论。现在学习的是第38页，共43页例1育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中
23、至少有几个学生的生日是同一天的？解解由于由于1999年是润年，全年共有年是润年，全年共有366天，天，可以看作可以看作366个个“抽屉抽屉”，把把367个个1999年出生的学生看作年出生的学生看作367个个“元素元素”。367个个“元素元素”放进放进366个个“抽屉抽屉”中，中，至少有一个至少有一个“抽屉抽屉”中放有中放有2个或更多的个或更多的“元素元素”。这说明至少有这说明至少有2个学生的生日是同一天的。个学生的生日是同一天的。现在学习的是第39页，共43页例2据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人，根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗？解解人的头发不超过人的
24、头发不超过20万根，可看作万根，可看作20万个万个“抽屉抽屉”，3645万人可看作万人可看作3645万个万个“元素元素”，把把3645万个万个“元素元素”放到放到20万个万个“抽屉抽屉”中，得到中，得到3645201825根据抽屉原则的推广规律，可知根据抽屉原则的推广规律，可知k1183答：陕西省至少有答：陕西省至少有183人的头发根数一样多。人的头发根数一样多。现在学习的是第40页，共43页例3一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同。其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。某人闭着眼睛从中取出若干个，试问他至少要取多少个球，才能保证至少有4个球颜色相同？解解把四种颜色的球的总数（把四种颜色的球的总数（3332）11看作看作11个个“抽屉抽屉”那么，至少要取（那么，至少要取（111）个球）个球才能保证至少有才能保证至少有4个球的颜色相同。个球的颜色相同。答；他至少要取答；他至少要取12个球才能保证至少个球才能保证至少有有4个球的颜色相同。个球的颜色相同。现在学习的是第41页，共43页感谢观看现在学习的是第42页，共43页2022/9/30感谢大家观看现在学习的是第43页，共43页