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1、数学物理方程第零章矢量分析第1页，共31页，编辑于2022年，星期六教教 学学 目目 的的v介绍理论物理中出现的数学概念；v介绍一些处理理论物理问题常用的数学方法，如付里叶变换，拉普拉斯变换，留数付里叶变换，拉普拉斯变换，留数定理，保角变换定理，保角变换等等。v介绍求线性偏微分方程解的几个主要方法，分离变量法，格林函数方法，达朗贝耳公分离变量法，格林函数方法，达朗贝耳公式式等等。第2页，共31页，编辑于2022年，星期六考察大学物理与理论物理间的区别考察大学物理与理论物理间的区别大学物理大学物理：均匀带电圆环，求轴上离圆心 x x 处电场强度。电动力学电动力学：求圆环周围的度。利用解拉普拉斯方
2、程数学物理方法数学物理方法p.297,p.297,第第9 9题。题。第3页，共31页，编辑于2022年，星期六 求积分需要利用电荷分布的对称性，只能计算轴上各点的电势，拉普拉斯方程求解不受这个限制。所以理论物理可以给出复杂条件下更多更精确的结果。Grad的概念，拉普拉斯方程的解法。的概念，拉普拉斯方程的解法。第4页，共31页，编辑于2022年，星期六复复 变变 函函 数数v矢量分析复习v复变函数v付利叶变换和拉普拉斯变换第5页，共31页，编辑于2022年，星期六矢矢 量量 分分 析析v标量场的梯度（grad）v矢量场的散度(div)v矢量场的旋度(curl)v无散场和无旋场 v正交曲线座标系以
3、复习为主第6页，共31页，编辑于2022年，星期六标标 量量 场场 的的 梯梯 度度1.方向导数方向导数标量标量：一个自由度的变量，它只具有一个值。如：密度，电量，质量，能量，温度等。矢量矢量：两个以上的自由度的变量，一个自由度 可取 为它的值，其它的自由度确定它的方向。如：速度，电场强度，力等。一般地，具有多自由度的量可以利用矢量来表示其特性，并进行推理第7页，共31页，编辑于2022年，星期六 场场：二维或二维以上的空间中的一个范围，在其每一点，都定义一个标量，矢量或其它什么量。对应地称为标量场，矢量场，或者什么什么场。因此，场就是空间座标的就是空间座标的函数函数。自变量可以具有几个独立分
4、量，函数也可以有几个独立分量。因此，有标量，场矢量场等。第8页，共31页，编辑于2022年，星期六导数是函数的增量与自变量的增量的比的极限。对于一维的情况，函数对于座标的导数，是沿自变量增加的方向进行。因此这个导数只有唯一的方向，而无需特别地强度导数的方向性方向性。场是二维以上空间的函数，其自变量具有两个以上的独立分量。故在求其导数时，几个自变量的增量确定了一个矢量，这个表示增量的矢量的方向可以是任意的。函数的增量随自变量增量矢量的方向变化而变化，导致场的导数有方向性。场的导数有方向性。第9页，共31页，编辑于2022年，星期六左边是一个平面温度场，u(x,y)为温度。在点P，不同的方向温度的
5、陡度是不同的。因此温度沿不同方向的导数是不同的。导数的大小与方向有关导数的大小与方向有关第10页，共31页，编辑于2022年，星期六如左图：若极限存在，则称它为u在P点，沿PP的方向导数方向导数。计算方法（以三维为例）：记 为其中为方向余弦。第11页，共31页，编辑于2022年，星期六2.梯梯 度度方向余弦又可以看作沿PP的如下单位矢量的分量这个单位矢量指定了一个空间方向。因此，方向导数可以看作如下矢量在指定方向的单位矢量上的投影叫标量场的梯度梯度。又记为gradu。由于方向导数是投影，故 第12页，共31页，编辑于2022年，星期六例例点电荷点电荷e的场强的场强.点电荷的势为:电场强度为:第
6、13页，共31页，编辑于2022年，星期六梯度是以梯度是以对座标的导数为分量对座标的导数为分量的矢量。的矢量。运算规则运算规则复合函数第14页，共31页，编辑于2022年，星期六等量面等量面 是 的一个方程，在空间决定一个解 等量面的法线方向的余弦正比于即梯度的方向是等量面法线方向即梯度的方向是等量面法线方向例例第15页，共31页，编辑于2022年，星期六3.矢量场的散度矢量场的散度矢量线矢量线：矢量场中的曲线，每一点的切线方向与该点上的矢量相同。流体中流线，电场中电力线，磁场中磁力线。矢量场矢量场：空间每一点上定义的矢量的全体，因此，每一点的函数有几个独立分量第16页，共31页，编辑于202
7、2年，星期六通过单位面积的总量为单位时间通过 的量 为通量通量：与流量相类似，单位时间通过某面积的量。第17页，共31页，编辑于2022年，星期六散度：散度：对于封闭曲面，量 A 的通量为曲面内无源时曲面内存在源，与源的强度成正比。取比例系数为一，则曲面内源的平均密度为一点上的源的密度第18页，共31页，编辑于2022年，星期六记为标量场的梯度是矢量，矢量场的散度是标量标量场的梯度是矢量，矢量场的散度是标量！由奥高定理叫散度。散度。第19页，共31页，编辑于2022年，星期六例例例例电场运算规则运算规则：第20页，共31页，编辑于2022年，星期六4.矢量场的旋度矢量场的旋度矢量场的散度与它的
8、面积分有关。矢量场还有线积分，与之有关的为旋度旋度。如在电场中，电场对电荷作用力作功为沿曲线从 A 的 B 电场力作功为环路上第21页，共31页，编辑于2022年，星期六但这是绕有限范围的环流量。为了描述矢量场在一点上的性质，必须让 l 包围的面积 S 趋于零。这就得到称为环流量环流量，如下图，可以计算绕 z 轴沿了 l 的 环流量。它为第22页，共31页，编辑于2022年，星期六式中使用了格林公式格林公式。旋度旋度在三维的情况下第23页，共31页，编辑于2022年，星期六例例它们是对称的运算规则运算规则 （也是线性算子）由并计及 是求导：第24页，共31页，编辑于2022年，星期六第25页，
9、共31页，编辑于2022年，星期六由 可知矢量场的 B 的散度为零（叫无散场无散场），则可写为(A 为其矢量势矢量势)又由 可知矢量场 B 的旋度为零（叫无旋场无旋场，或有势场有势场），则可写为(u 为其势)第26页，共31页，编辑于2022年，星期六正交曲线座标系正交曲线座标系球极座标球极座标第27页，共31页，编辑于2022年，星期六柱座标柱座标方向导数方向导数：第28页，共31页，编辑于2022年，星期六柱座标柱座标梯度梯度：散度：散度：拉普拉斯算子拉普拉斯算子旋量旋量第29页，共31页，编辑于2022年，星期六球座标球座标方向导数方向导数梯度梯度第30页，共31页，编辑于2022年，星期六旋度旋度小结：小结：标量场和矢量场的各种局域性质。算子的定义和运算规则拉普拉斯算子拉普拉斯算子散度散度第31页，共31页，编辑于2022年，星期六