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1、第4章 谓词逻辑本讲稿第一页，共二十五页考试考试时间：时间：1月月11日上午日上午8:00-10:00 考试地点：考试地点：2-201第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第二页，共二十五页4.2 摩状词摩状词第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑4.3 谓词公式真值谓词公式真值本讲稿第三页，共二十五页4.2 摩状词摩状词第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑4.3 谓词公式真值谓词公式真值本讲稿第四页，共二十五页4.2.0 4.2.0 摹状词摹状词(一一)n摹状词就是表述独具某种性质的特定事摹状词就是表述独具某种性质的特定事物的语词物的语词n摹状词具备两个特点：摹状词具备两个特点：u它指称的事物应当是惟一的它
2、指称的事物应当是惟一的u它所揭示的一事物的某种性质应当是该事它所揭示的一事物的某种性质应当是该事物独有的物独有的u如：如：l(1)集合论的创立者集合论的创立者l(2)世界上最高的山峰世界上最高的山峰l(3)15 和和 27 的最大公约数的最大公约数l(4)张三家的那头牛。张三家的那头牛。4.2摩状词摩状词第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第五页，共二十五页4.2.0 4.2.0 摹状词翻译摹状词翻译(一一)n摹状词的结构是摹状词的结构是u形容词形容词+普通名词普通名词u指示代词指示代词+形容词形容词+普通名词在数理逻辑中普通名词在数理逻辑中n摹状词的一般形式摹状词的一般形式(即符号化的摹状词
3、即符号化的摹状词)是是uLxFxu意即：意即：“那个惟一具有性质那个惟一具有性质 F 的个体的个体 x”uL 是逻辑常项，含意为：这是逻辑常项，含意为：这(或那或那)个个4.2摩状词摩状词第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第六页，共二十五页4.2.0 4.2.0 摹状词翻译摹状词翻译(二二)n含有摹状词的命题翻译含有摹状词的命题翻译u(6)张三家的那头牛是壮的张三家的那头牛是壮的l令：令：“G”表示表示“是张三家的牛是张三家的牛”，“F”表示表示“是壮的是壮的”l译：译：FLxGxl读：那头张三家的牛是壮的读：那头张三家的牛是壮的u(7)世界上最高的山峰在中国世界上最高的山峰在中国l令：令：
4、“H”表示表示“是世界上最高的山峰是世界上最高的山峰”，“E”表示表示“在中国在中国”l译：译：ELxHxl读：那座世界上最高的山峰在中国读：那座世界上最高的山峰在中国4.2摩状词摩状词第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第七页，共二十五页4.2.1 4.2.1 摹状词命题真值摹状词命题真值(一一)n含有摹状词的命题，它们的真假要比一含有摹状词的命题，它们的真假要比一般命题的真假稍为复杂些般命题的真假稍为复杂些u只有在只有在l(a)张三家至少有一头牛张三家至少有一头牛l(b)张三家只有一头牛张三家只有一头牛l(c)那头牛是壮的那头牛是壮的u这三种情况同时存在时，这三种情况同时存在时，(6)上式
5、为真上式为真u当当 l(a)张三家没有牛张三家没有牛l(b)张三家有好几头牛张三家有好几头牛l(c)那头牛不是壮的那头牛不是壮的u这三种情况之一存在，这三种情况之一存在，(6)则上式为假则上式为假4.2摩状词摩状词第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第八页，共二十五页4.2.1 4.2.1 摹状词命题真值摹状词命题真值(二二)n根据以上分析，根据以上分析，(6)或或(6)的否定应当是的否定应当是(a)、(b)和和(c)这三种情况的析取这三种情况的析取n不应当简单地断定为不应当简单地断定为u(8)张三家的那头牛不是壮的张三家的那头牛不是壮的u即即FLxGx不是不是 FLxGx的否定的否定u如果认
6、为如果认为(8)(p)就是就是(6)(p)的否定则的否定则 pp 永真永真u但是，倘若事实上张三家没有牛，则但是，倘若事实上张三家没有牛，则(6)和和(8)都不是真的都不是真的(是无意义的是无意义的)，因而，因而pp也不是真的。这样就导致了悖论也不是真的。这样就导致了悖论4.2摩状词摩状词第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第九页，共二十五页4.2.1 4.2.1 摹状词命题真值摹状词命题真值(三三)n(6)的否定应是的否定应是(a)、(b)和和(c)的析取，或者简单地的析取，或者简单地就是就是u(9)并非张三家的那头牛是壮的。其相应的符号是并非张三家的那头牛是壮的。其相应的符号是(9)u(F
7、LxGx)n如果不用摹状词符号而用一般的谓词公式符号翻译如果不用摹状词符号而用一般的谓词公式符号翻译命题命题(6)：u(10)x(Gx y(Gyy=x)Fx)u(10)读：读：“有个体是张三家的牛，且对所有个体而言，有个体是张三家的牛，且对所有个体而言，如果它是张三家的牛那么它就是该个体，且该个体是如果它是张三家的牛那么它就是该个体，且该个体是壮的壮的u(10)蕴涵了情况蕴涵了情况(a)、(b)、(c)4.2摩状词摩状词第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第十页，共二十五页4.2.1 4.2.1 摹状词命题真值摹状词命题真值(四四)n命题命题(8)的相应公式是：的相应公式是：u(11)x(Gx
8、 y(Gyy=x)Fx u可以看出可以看出(11)不是不是(10)的否定的否定u所以所以(8)不是不是(6)的否定的否定n命题命题(9)的相应的公式：的相应的公式：u(12)x(Gx y(Gyy=x)Fx u(12)是是(10)的否定的否定n对于摹状词使用上的分歧，都集中在当对于摹状词使用上的分歧，都集中在当使得使得 Fx成立的惟一的成立的惟一的 x不存在时，怎样不存在时，怎样处理处理 LxFx的问题上的问题上4.2摩状词摩状词第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第十一页，共二十五页4.2 摩状词摩状词第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑4.3 谓词公式真值谓词公式真值本讲稿第十二页，共二十五页4.
9、3.0 4.3.0 谓词命题解释谓词命题解释(一一)n由于原子公式的真假与量词的使用和个体变项的由于原子公式的真假与量词的使用和个体变项的变化范围有很大关系变化范围有很大关系u量词的使用量词的使用l若若 Fx表示表示 x吃肉吃肉l(x)Fx是假的是假的l(x)Fx却是真的却是真的u个体变项的变化范围个体变项的变化范围l如果确定如果确定 x的变化范围为整个老虎的集合的变化范围为整个老虎的集合l xFx是真的是真的l如果确定如果确定 x 的变化范围是牛的集合的变化范围是牛的集合l xFx是假的是假的n不能简单地给原子公式指派以真假来判定公式不能简单地给原子公式指派以真假来判定公式是否为重言式是否为
10、重言式n对于谓词演算中的公式，采用解释的方法来判定论证对于谓词演算中的公式，采用解释的方法来判定论证是否有效，判定前提是否协调是否有效，判定前提是否协调4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第十三页，共二十五页4.3.0 4.3.0 谓词命题解释谓词命题解释(二二)n(x)Fx，(x)Fx的有关解释的有关的有关解释的有关规则：规则：u第一，把解释域第一，把解释域 D 确定下来确定下来u第二，原公式第二，原公式 Q 中的量词中的量词(存在、全称存在、全称)和和联结词保持不变，但在联结词保持不变，但在 Q 的解释的解释 P 中量词中量词仅对仅对 D 而言而言u第三，把第
11、三，把 Q 中的谓词解释成中的谓词解释成 D 上的谓词，上的谓词，即谓词的解释一定要使解释域中的东西或即谓词的解释一定要使解释域中的东西或真或假真或假4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第十四页，共二十五页4.3.0 4.3.0 谓词命题解释谓词命题解释(三三)l假定解释域是鱼，谓词却解释成假定解释域是鱼，谓词却解释成“是聪明的是聪明的”，这就不能使解释域中的元素有真有假，因为，这就不能使解释域中的元素有真有假，因为我们既不能说我们既不能说“鱼是聪明的鱼是聪明的”是真，也不能说是真，也不能说它是假它是假l一元谓词解释成一元谓词，二元谓词解释成二一元谓词解释成一元谓
12、词，二元谓词解释成二元谓词元谓词l谓词谓词“=”一般是不加解释的，就是说一般是不加解释的，就是说“=”在解在解释语句释语句 P 中，仍表示两个个体的同一关系中，仍表示两个个体的同一关系u第四，假如把谓词解释成演算符，或者原第四，假如把谓词解释成演算符，或者原公式中本来就有运算符的话，那么，解释公式中本来就有运算符的话，那么，解释后的语句的运算符的运算始终不超过解释后的语句的运算符的运算始终不超过解释域内所包含的元素范围域内所包含的元素范围4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第十五页，共二十五页4.3.0 4.3.0 谓词命题解释谓词命题解释(四四)l规定解释域为正
13、整数，那就不能把规定解释域为正整数，那就不能把 xQy解释为解释为 x减去减去 y，因为这样减的结果有可能导致负的，从，因为这样减的结果有可能导致负的，从而超出而超出 D 域元素范围域元素范围l谓词和运算符是有区别的，其区别在于：谓词和运算符是有区别的，其区别在于：D 上上的谓词的定义域为的谓词的定义域为 D，值域是真或假，而，值域是真或假，而 D 上上的运算符的定义域是解释域的运算符的定义域是解释域 D，值域也是解释，值域也是解释域域 D。u第五，命题中的自由变项和专有名词在第五，命题中的自由变项和专有名词在 P 中都应当解释为专有名词，或叫做真名，中都应当解释为专有名词，或叫做真名，并且这
14、些专有名词所指称的对象应当是解并且这些专有名词所指称的对象应当是解释域中的元素释域中的元素l有一公式有一公式 xPa，设解释域为正整数集合，那么专，设解释域为正整数集合，那么专有名词有名词 a只有解释成正整数，如只有解释成正整数，如 1、2 等，不能等，不能解释为正整数之外的个体解释为正整数之外的个体4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第十六页，共二十五页4.3.0 4.3.0 谓词命题解释谓词命题解释(五五)n例例 1(x)(HxMx)n解释解释1：uD：正整数，：正整数，Hx：x3，Mx：x2u(x)(x3x2)u凡大于凡大于 3 的正整数都大于的正整数都大于
15、 2，真解释，真解释n解释解释2：uD：正整数，：正整数，Hx：x1，Mx：x2u(x)(x1x2)u凡大于凡大于 1 的正整数都大于的正整数都大于 2，假解释，假解释n命题不是在任何可能情况下都是真的，命题不是在任何可能情况下都是真的，因而不是永真式因而不是永真式4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第十七页，共二十五页4.3.1 4.3.1 普遍式普遍式(一一)n谓词逻辑里的命题解释的作用：证明论谓词逻辑里的命题解释的作用：证明论证无效效证无效效(一公式不是普遍式一公式不是普遍式)、前提是、前提是协调、公理是独立协调、公理是独立n命题逻辑中的永真式叫重言式，谓词
16、逻命题逻辑中的永真式叫重言式，谓词逻辑中的永真式一般叫普遍有效式辑中的永真式一般叫普遍有效式n一个公式是普遍有效式，当且仅当它在一个公式是普遍有效式，当且仅当它在每一个非空的个体域中的每一解释都是每一个非空的个体域中的每一解释都是真的真的n判定一公式的非普遍有效性，是解释方判定一公式的非普遍有效性，是解释方法的第一个作用，法的第一个作用，n解释不能证明一公式是普遍有效式解释不能证明一公式是普遍有效式4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第十八页，共二十五页4.3.1 4.3.1 普遍式普遍式(二二)n一个论证是非有效式，当且仅当在某一一个论证是非有效式，当且仅当在某
17、一非空论域中有一解释，使得该论证的前非空论域中有一解释，使得该论证的前提真而结论假提真而结论假u解释方法的这一作用是其第一作用的延伸解释方法的这一作用是其第一作用的延伸n(x)(MxLx)MaLan解释：解释：uD：正整数集合，：正整数集合，Mx：x为正整数，为正整数，Lx：x为偶数，为偶数，a=1u(x)(x为正整数为正整数x为偶数为偶数)1 是正整数，是正整数，推出推出 1 是偶数是偶数4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第十九页，共二十五页4.3.2 4.3.2 协调式协调式(一一)n一公式集合是协调式，当且仅当它在某个非空的个一公式集合是协调式，当且仅当它
18、在某个非空的个体域中有一个公共的真解释体域中有一个公共的真解释u证明诸公式的协调性是解释的第二个作用证明诸公式的协调性是解释的第二个作用n(x)(y)(z)(xQyyQzxQz)(x)(y)(xQyyQx)n解释：解释：uD：正整数集合，：正整数集合，xQy：xy u(x)(y)(z)(xyyzxz)(x)(y)(xyyx)n把解释域确定为数的集合，把谓词都解释为算把解释域确定为数的集合，把谓词都解释为算术运算的解释一般叫做算术解释术运算的解释一般叫做算术解释4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第二十页，共二十五页4.3.2 4.3.2 协调式协调式(二二)n解释
19、几个公式的协调性时，要求各式合取的解解释几个公式的协调性时，要求各式合取的解释为真释为真n解释解释1：uD：正整数集合，：正整数集合，xQy：x yu(x)(y)(z)(xyyzxz)(x)(y)(xyyx)(x=y=z)前真后假前真后假n解释解释2：uD：正整数，：正整数，xQy：xy+1 u(x)(y)(z)(xy+1yz+1xz+1)u(x)(y)(xy+1yx+1)(x=3,y=2,z=1)前假后真前假后真n不能证明该式协调不能证明该式协调 4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第二十一页，共二十五页4.3.3 4.3.3 独立性独立性(一一)n公理的独立性
20、：一公理根据给定的推演公理的独立性：一公理根据给定的推演规则不能从其他公理逻辑地推出，那么规则不能从其他公理逻辑地推出，那么该公理相对于其他公理就是独立的该公理相对于其他公理就是独立的u相对于一定的推演规则，如果一公理不是相对于一定的推演规则，如果一公理不是其他公理的逻辑后承，那么该公理对于其其他公理的逻辑后承，那么该公理对于其他公理来说是独立的他公理来说是独立的u证明公理的独立性是解释的第三个作用证明公理的独立性是解释的第三个作用4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第二十二页，共二十五页4.3.3 4.3.3 独立性独立性(二二)n要证明一公式不是其他公式的逻辑
21、后承要证明一公式不是其他公式的逻辑后承(重言蕴涵重言蕴涵)，只要给出使该公式为假，只要给出使该公式为假，其他公式为真的一个解释即可其他公式为真的一个解释即可u“假假”不是不是“真真”的逻辑后承的逻辑后承n例：例：ux y证明了证明了(x)(y)xQyyQx)独立于独立于(x)(y)(z)(xQyyQzxQz)uxy+1证明了证明了(x)(y)(z)(QyyQzxQz)独立于独立于(x)(y)xQyyQx4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第二十三页，共二十五页4.3.4 4.3.4 空集解释空集解释n解释域必须为空的解释是无意义的解释域必须为空的解释是无意义的n普
22、遍式普遍式(x)Ax(x)Axn空域中能找到它的一个假的解释，即空域中能找到它的一个假的解释，即(x)Ax真而真而(x)Ax假：假：uD:一个没有人的房间一个没有人的房间u(x)Ax：这个房间里的都是中国人：这个房间里的都是中国人u尽管这个房间并无人，但我们知道语句表示成的尽管这个房间并无人，但我们知道语句表示成的(x)Ax是个是个蕴含式，即蕴含式，即“如这房里的如这房里的 x是人则是人则 x是中国人是中国人”这个蕴涵式这个蕴涵式当然为真，因而当然为真，因而(x)Ax解释是真的解释是真的u(x)Ax：这个房间里有中国人：这个房间里有中国人u该解释为假，因为在此并无中国人该解释为假，因为在此并无中国人(空房间空房间)u在空解释中，有可能把普遍有效式解释成非普遍有效在空解释中，有可能把普遍有效式解释成非普遍有效式，因而我们不能用空解释域式，因而我们不能用空解释域4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第二十四页，共二十五页4.3.5 4.3.5 作业作业n大二（大二（3）班那个同学很聪明）班那个同学很聪明u翻译该命题翻译该命题u算术解释该命题算术解释该命题4.3谓词公式真值谓词公式真值第第4 4章章谓谓词词逻逻辑辑本讲稿第二十五页，共二十五页