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1、数学教学论第讲第1页，共92页，编辑于2022年，星期六内容提要内容提要一、一、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的个人简介的个人简介二、二、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的数学及教育观的数学及教育观三、三、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的教学原则的教学原则第2页，共92页，编辑于2022年，星期六本次课要解决的核心问题本次课要解决的核心问题 1.1.弗赖登塔尔的数学本质观是什么？弗赖登塔尔的数学本质观是什么？2.2.弗赖登塔尔的今日数学观是什么？弗赖登塔尔的今日数学观是什么？3.3.
2、数学教育的目的是什么？数学教育的目的是什么？4.4.弗氏认为数学教育具有什么特征？弗氏认为数学教育具有什么特征？5.5.弗赖登塔尔的现实数学教育观是什么？弗赖登塔尔的现实数学教育观是什么？6.6.什么是数学化？水平数学化？垂直数学化是什么是数学化？水平数学化？垂直数学化是什么？什么？7.7.弗赖登塔尔的再创造数学教育观是什么？弗赖登塔尔的再创造数学教育观是什么？8.8.弗赖登塔尔的反思教育观是什么？弗赖登塔尔的反思教育观是什么？第3页，共92页，编辑于2022年，星期六一、一、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的个人简介的个人简介汉斯汉斯汉斯汉斯弗赖登塔尔弗赖
3、登塔尔弗赖登塔尔弗赖登塔尔(Hans Freudenthal,1905(Hans Freudenthal,1905(Hans Freudenthal,1905(Hans Freudenthal,1905一一一一1990199019901990年年年年)1930193019301930年获柏林大学博士学位年获柏林大学博士学位年获柏林大学博士学位年获柏林大学博士学位1951195119511951年起年起年起年起为荷兰皇家科学院院士，为荷兰皇家科学院院士，为荷兰皇家科学院院士，为荷兰皇家科学院院士，19711976197119761971197619711976 年任荷兰数学教育研究所所长弗赖年任
4、荷兰数学教育研究所所长弗赖年任荷兰数学教育研究所所长弗赖年任荷兰数学教育研究所所长弗赖登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，早年从事纯粹数学研究，以代数拓扑早年从事纯粹数学研究，以代数拓扑早年从事纯粹数学研究，以代数拓扑早年从事纯粹数学研究，以代数拓扑学和李群研究方面的杰出工作进入国学和李群研究方面的杰出工作进入国学和李群研究方面的杰出工作进入国学和李群研究方面的杰出工作进入国际著名数学家的行列，曾任荷兰数学际著名数学家的行列，曾任荷兰数学际著名数学家的行列，曾任荷兰数学际著名数学家的行列，曾任荷
5、兰数学会的两届主席会的两届主席会的两届主席会的两届主席第4页，共92页，编辑于2022年，星期六一、一、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的个人简介的个人简介n n汉斯汉斯弗赖登塔尔是荷兰著名数学家弗赖登塔尔是荷兰著名数学家!数学教数学教育家育家,是是2020世纪最伟大世纪最伟大!最具影响的国际数学最具影响的国际数学教育权威。教育权威。n n他非常关注教育问题他非常关注教育问题,很早就把学习和教学作很早就把学习和教学作为自己思考和研究的对象为自己思考和研究的对象,并简单地解释说并简单地解释说:“我一生都是做教师我一生都是做教师,之所以从很早就开始思之所以从很早
6、就开始思考教育方面的问题考教育方面的问题,是为了把教师这一行做好是为了把教师这一行做好”第5页，共92页，编辑于2022年，星期六一、一、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的个人简介的个人简介n n在随后长期的数学教育研究实践中在随后长期的数学教育研究实践中,他逐步形他逐步形成了适应儿童心理发展成了适应儿童心理发展,符合教育规律符合教育规律,经得经得起实践检验起实践检验,并具有自己独特风格的数学教育并具有自己独特风格的数学教育思想体系思想体系 n n他的这一体系他的这一体系,不仅在很大程度上改变了荷兰不仅在很大程度上改变了荷兰数学教育的面貌数学教育的面貌,也通
7、过世界范围内的相互交也通过世界范围内的相互交流流,极大地推动了国际数学教育研究的发展极大地推动了国际数学教育研究的发展,尤其是他的尤其是他的“数学化数学化”和和“再创造再创造”思想对思想对各国中小学数学教育的改革产生了巨大的推各国中小学数学教育的改革产生了巨大的推动力。动力。第6页，共92页，编辑于2022年，星期六一、一、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的个人简介的个人简介n n作为具有国际盛名的数学教育家作为具有国际盛名的数学教育家作为具有国际盛名的数学教育家作为具有国际盛名的数学教育家,他从他从他从他从1954195419541954年起担任荷年起担任
8、荷年起担任荷年起担任荷兰数学教育委员会主席兰数学教育委员会主席兰数学教育委员会主席兰数学教育委员会主席,1967,1967,1967,1967年又担任国际数学教育委年又担任国际数学教育委年又担任国际数学教育委年又担任国际数学教育委员会主席员会主席员会主席员会主席,并主持召开了第一届国际数学教育大会并主持召开了第一届国际数学教育大会并主持召开了第一届国际数学教育大会并主持召开了第一届国际数学教育大会(ICME),(ICME),(ICME),(ICME),创办了世界性数学教育杂志创办了世界性数学教育杂志创办了世界性数学教育杂志创办了世界性数学教育杂志 Educational Educational
9、 Educational Educational Studies in MathematicsStudies in MathematicsStudies in MathematicsStudies in Mathematicsn n鉴于他在数学教育方面的巨大成就和贡献鉴于他在数学教育方面的巨大成就和贡献鉴于他在数学教育方面的巨大成就和贡献鉴于他在数学教育方面的巨大成就和贡献,人们把他人们把他人们把他人们把他和伟大的几何学家和伟大的几何学家和伟大的几何学家和伟大的几何学家FFFF克莱因克莱因克莱因克莱因(Fklein,1849(Fklein,1849(Fklein,1849(Fklein,184
10、9一一一一1925192519251925年年年年)相提并论相提并论相提并论相提并论,n n“认为对于数学教育认为对于数学教育认为对于数学教育认为对于数学教育,在在在在20202020世纪上半叶是世纪上半叶是世纪上半叶是世纪上半叶是F.F.F.F.克莱因做出了不克莱因做出了不克莱因做出了不克莱因做出了不朽的功绩朽的功绩朽的功绩朽的功绩,而在下半叶则是弗赖登塔尔作出了巨大的贡献。而在下半叶则是弗赖登塔尔作出了巨大的贡献。而在下半叶则是弗赖登塔尔作出了巨大的贡献。而在下半叶则是弗赖登塔尔作出了巨大的贡献。”第7页，共92页，编辑于2022年，星期六一、一、Hans Freudenthal Hans
11、 Freudenthal 的个人简介的个人简介n n弗赖登塔尔关于数学教育的论述弗赖登塔尔关于数学教育的论述弗赖登塔尔关于数学教育的论述弗赖登塔尔关于数学教育的论述,主要收录在他的三主要收录在他的三主要收录在他的三主要收录在他的三本巨著中本巨著中本巨著中本巨著中:n n作为教育任务的数学作为教育任务的数学作为教育任务的数学作为教育任务的数学Mathematics as an Mathematics as an Mathematics as an Mathematics as an Education Task(D.Reidel publishing Company Education Task
12、(D.Reidel publishing Company Education Task(D.Reidel publishing Company Education Task(D.Reidel publishing Company 1973)1973)1973)1973)n n除草与播种一数学教育学的序言除草与播种一数学教育学的序言除草与播种一数学教育学的序言除草与播种一数学教育学的序言Weeding and Weeding and Weeding and Weeding and Sowing_preface to a science of Mathematical Sowing_preface
13、 to a science of Mathematical Sowing_preface to a science of Mathematical Sowing_preface to a science of Mathematical Education(D.Reidel publishing Company 1978)Education(D.Reidel publishing Company 1978)Education(D.Reidel publishing Company 1978)Education(D.Reidel publishing Company 1978)数学结构的教学现象学
14、数学结构的教学现象学数学结构的教学现象学数学结构的教学现象学Didactical Phenomenology Didactical Phenomenology Didactical Phenomenology Didactical Phenomenology of Mathematical Structuresof Mathematical Structuresof Mathematical Structuresof Mathematical Structures (D.Reidel publishing Company 1983)(D.Reidel publishing Company 19
15、83)(D.Reidel publishing Company 1983)(D.Reidel publishing Company 1983)第8页，共92页，编辑于2022年，星期六一、一、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的个人简介的个人简介n n1987198719871987年，年，年，年，82828282岁高龄的他到华东师范大学讲学两周，随岁高龄的他到华东师范大学讲学两周，随岁高龄的他到华东师范大学讲学两周，随岁高龄的他到华东师范大学讲学两周，随后顺访北京。后顺访北京。后顺访北京。后顺访北京。n n他在华东师范大学数学系演讲，走上讲台的第一句话就他在
16、华东师范大学数学系演讲，走上讲台的第一句话就他在华东师范大学数学系演讲，走上讲台的第一句话就他在华东师范大学数学系演讲，走上讲台的第一句话就说：说：说：说：“在荷兰，中学教室里的桌椅摆法都是围成一圈，在荷兰，中学教室里的桌椅摆法都是围成一圈，在荷兰，中学教室里的桌椅摆法都是围成一圈，在荷兰，中学教室里的桌椅摆法都是围成一圈，教师在学生中间活动如果有一个学校的教室象今天这样教师在学生中间活动如果有一个学校的教室象今天这样教师在学生中间活动如果有一个学校的教室象今天这样教师在学生中间活动如果有一个学校的教室象今天这样摆桌椅：前面一张讲台，下面是一排排桌椅，那么这所中摆桌椅：前面一张讲台，下面是一排
17、排桌椅，那么这所中摆桌椅：前面一张讲台，下面是一排排桌椅，那么这所中摆桌椅：前面一张讲台，下面是一排排桌椅，那么这所中学的校长大概要被撤职了学的校长大概要被撤职了学的校长大概要被撤职了学的校长大概要被撤职了!”n n1994199419941994年，他在中国讲学的讲稿在荷兰出版。年，他在中国讲学的讲稿在荷兰出版。年，他在中国讲学的讲稿在荷兰出版。年，他在中国讲学的讲稿在荷兰出版。数学教育再探数学教育再探数学教育再探数学教育再探在中国的演讲在中国的演讲在中国的演讲在中国的演讲Revisiting Mathematics Education(China Lecture)Revisiting Ma
18、thematics Education(China Lecture)Revisiting Mathematics Education(China Lecture)Revisiting Mathematics Education(China Lecture)第9页，共92页，编辑于2022年，星期六一、一、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的个人简介的个人简介n n在这些著作中在这些著作中,弗赖登塔尔详细论证了为什么弗赖登塔尔详细论证了为什么必须对传统数学教育进行改革必须对传统数学教育进行改革,系统阐述了其系统阐述了其数学教育思想的理论体系数学教育思想的理论体系
19、,具体探讨了如何按具体探讨了如何按其观点设计数学课程其观点设计数学课程,编写数学教材以及教学编写数学教材以及教学方法等方面的问题方法等方面的问题.n n下面我们对其数学教育思想作具体的阐述下面我们对其数学教育思想作具体的阐述第10页，共92页，编辑于2022年，星期六二、二、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的数学及教学观的数学及教学观 1.1.对数学本质的看法对数学本质的看法n n弗赖登塔尔认为弗赖登塔尔认为弗赖登塔尔认为弗赖登塔尔认为:“:“:“:“数学是系统化了的常识数学是系统化了的常识数学是系统化了的常识数学是系统化了的常识”,”,”,”,而常识并而常
20、识并而常识并而常识并不等于数学不等于数学不等于数学不等于数学,“,“,“,“常识要成为数学常识要成为数学常识要成为数学常识要成为数学,必须经过提炼和组织必须经过提炼和组织必须经过提炼和组织必须经过提炼和组织,而凝聚成一定的法则而凝聚成一定的法则而凝聚成一定的法则而凝聚成一定的法则(如加法交换律如加法交换律如加法交换律如加法交换律)。这些法则在高一。这些法则在高一。这些法则在高一。这些法则在高一层次又成为常识层次又成为常识层次又成为常识层次又成为常识,再一次被提炼、组织再一次被提炼、组织再一次被提炼、组织再一次被提炼、组织,而凝聚成新的法而凝聚成新的法而凝聚成新的法而凝聚成新的法则则则则,新的法
21、则又成为新的常识新的法则又成为新的常识新的法则又成为新的常识新的法则又成为新的常识,如此不断地螺旋上升如此不断地螺旋上升如此不断地螺旋上升如此不断地螺旋上升,以以以以至于无穷。这样至于无穷。这样至于无穷。这样至于无穷。这样,数学的发展过程就显出层次性数学的发展过程就显出层次性数学的发展过程就显出层次性数学的发展过程就显出层次性,构成许构成许构成许构成许多等级多等级多等级多等级,同时也形成诸如抽象、严密、系统等特性。同时也形成诸如抽象、严密、系统等特性。同时也形成诸如抽象、严密、系统等特性。同时也形成诸如抽象、严密、系统等特性。”即数学是现实世界的抽象反即数学是现实世界的抽象反即数学是现实世界的
22、抽象反即数学是现实世界的抽象反映和人类经验的总结映和人类经验的总结映和人类经验的总结映和人类经验的总结.第11页，共92页，编辑于2022年，星期六二、二、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的数学及教学观的数学及教学观 1.1.对数学本质的看法对数学本质的看法n n“数学是一种相当特殊的活动数学是一种相当特殊的活动数学是一种相当特殊的活动数学是一种相当特殊的活动”,”,”,”,这种观点这种观点这种观点这种观点“是区别是区别是区别是区别于数学作为印在书上和铭记在脑子里的东西。于数学作为印在书上和铭记在脑子里的东西。于数学作为印在书上和铭记在脑子里的东西。于数学作
23、为印在书上和铭记在脑子里的东西。”n n他认为他认为他认为他认为,数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成数学家或者数学教科书喜欢把数学表示成“一一一一种组织得很好的状态种组织得很好的状态种组织得很好的状态种组织得很好的状态”,”,”,”,也即也即也即也即“数学的形式数学的形式数学的形式数学的形式”是数学家是数学家是数学家是数学家将数学将数学将数学将数学(活动活动活动活动)内容经过自己的组织内容经过自己的组织内容经过自己的组织内容经过自己的组织(活动活动活动活动)而形成的；但而形成的；但而形成的；但而形成的；但对大多数人来说对
24、大多数人来说对大多数人来说对大多数人来说,他们是把数学当成一种工具他们是把数学当成一种工具他们是把数学当成一种工具他们是把数学当成一种工具,他们不能他们不能他们不能他们不能没有数学是因为他们需要应用数学。没有数学是因为他们需要应用数学。没有数学是因为他们需要应用数学。没有数学是因为他们需要应用数学。n n这就是说这就是说这就是说这就是说,对于大众而言对于大众而言对于大众而言对于大众而言,是要通过数学的形式来学习是要通过数学的形式来学习是要通过数学的形式来学习是要通过数学的形式来学习数学的内容数学的内容数学的内容数学的内容,从而学会相应的从而学会相应的从而学会相应的从而学会相应的(应用数学的应用
25、数学的应用数学的应用数学的)活动活动活动活动.第12页，共92页，编辑于2022年，星期六二、二、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的数学及教学观的数学及教学观 2.2.对今日数学特征的看法对今日数学特征的看法n n数学教育研究不能离开它的对象数学教育研究不能离开它的对象数学教育研究不能离开它的对象数学教育研究不能离开它的对象数学的特有规律。数学的特有规律。数学的特有规律。数学的特有规律。为此为此为此为此,弗赖登塔尔在其巨著作为教育任务的数学中弗赖登塔尔在其巨著作为教育任务的数学中弗赖登塔尔在其巨著作为教育任务的数学中弗赖登塔尔在其巨著作为教育任务的数学中,对
26、今日数学的特征作了详细的论述。对今日数学的特征作了详细的论述。对今日数学的特征作了详细的论述。对今日数学的特征作了详细的论述。n n他从数学发展的历史出发他从数学发展的历史出发他从数学发展的历史出发他从数学发展的历史出发,深入研究了数学的悠久历史深入研究了数学的悠久历史深入研究了数学的悠久历史深入研究了数学的悠久历史以及现代数学形成的背景以及现代数学形成的背景以及现代数学形成的背景以及现代数学形成的背景,提出了现代数学的转折点提出了现代数学的转折点提出了现代数学的转折点提出了现代数学的转折点,是是是是否应该以现代实数理论的诞生和否应该以现代实数理论的诞生和否应该以现代实数理论的诞生和否应该以现
27、代实数理论的诞生和JordanJordanJordanJordan置换群的产生作置换群的产生作置换群的产生作置换群的产生作为标志；或者是以著名的布尔巴基为标志；或者是以著名的布尔巴基为标志；或者是以著名的布尔巴基为标志；或者是以著名的布尔巴基BourbakiBourbakiBourbakiBourbaki理论的出现理论的出现理论的出现理论的出现,作为一个新时期的开端。作为一个新时期的开端。作为一个新时期的开端。作为一个新时期的开端。第13页，共92页，编辑于2022年，星期六二、二、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的数学及教学观的数学及教学观 2.2.对今日
28、数学特征的看法对今日数学特征的看法n n基于这一分析基于这一分析基于这一分析基于这一分析,弗赖登塔尔从现代数学的变化弗赖登塔尔从现代数学的变化弗赖登塔尔从现代数学的变化弗赖登塔尔从现代数学的变化:方式的改变方式的改变方式的改变方式的改变变量变量变量变量,函数函数函数函数,句法结构的前后不连贯句法结构的前后不连贯句法结构的前后不连贯句法结构的前后不连贯,日常用语满足不了数日常用语满足不了数日常用语满足不了数日常用语满足不了数学的精巧要求学的精巧要求学的精巧要求学的精巧要求,形式化的工作形式化的工作形式化的工作形式化的工作,外延性抽象外延性抽象外延性抽象外延性抽象,公理化的抽象公理化的抽象公理化的
29、抽象公理化的抽象,思思思思辩数学与算法数学辩数学与算法数学辩数学与算法数学辩数学与算法数学,组织与数学化等方面逐步对今日数学的组织与数学化等方面逐步对今日数学的组织与数学化等方面逐步对今日数学的组织与数学化等方面逐步对今日数学的发展进行了深入的分析发展进行了深入的分析发展进行了深入的分析发展进行了深入的分析,并对几何直观在整个数学中的渗透并对几何直观在整个数学中的渗透并对几何直观在整个数学中的渗透并对几何直观在整个数学中的渗透以及数学应用的广泛性进行了讨论。以及数学应用的广泛性进行了讨论。以及数学应用的广泛性进行了讨论。以及数学应用的广泛性进行了讨论。n n我国著名学者张奠宙教授在其数学教育学
30、中我国著名学者张奠宙教授在其数学教育学中我国著名学者张奠宙教授在其数学教育学中我国著名学者张奠宙教授在其数学教育学中,将弗将弗将弗将弗赖登塔尔对现代数学的看法归结为以下几个方面赖登塔尔对现代数学的看法归结为以下几个方面赖登塔尔对现代数学的看法归结为以下几个方面赖登塔尔对现代数学的看法归结为以下几个方面:第14页，共92页，编辑于2022年，星期六（1 1）数学表示的再创造与形式化活动。数学变）数学表示的再创造与形式化活动。数学变化更多的是形式的变化化更多的是形式的变化,而非实质内容的变化。而非实质内容的变化。例如，极限概念的直观化到精确化。例如，极限概念的直观化到精确化。不同水平层次的学生应该
31、使用不同水平的数学语不同水平层次的学生应该使用不同水平的数学语言，实施不同层次的形式化。言，实施不同层次的形式化。第15页，共92页，编辑于2022年，星期六（2 2）数学概念的建设方法）数学概念的建设方法,从典型的通过外延描从典型的通过外延描述的抽象化述的抽象化,进而转向实现公理系统的抽象化进而转向实现公理系统的抽象化,承认隐含形式的定义。承认隐含形式的定义。用公设或者是公理方法建立的概念，其实质就是用公设或者是公理方法建立的概念，其实质就是以隐含的方式描述了所要研究的对象，它并以隐含的方式描述了所要研究的对象，它并未明确指出概念的未明确指出概念的“外延外延”，但却已经规定，但却已经规定了它
32、必须满足的条件，这就是以隐含的形式了它必须满足的条件，这就是以隐含的形式作了定义，跳出了亚里土多德的形式逻辑的作了定义，跳出了亚里土多德的形式逻辑的理论，从而使现代数学跨上了更高水平的形理论，从而使现代数学跨上了更高水平的形式体系。式体系。第16页，共92页，编辑于2022年，星期六（3 3 3 3）传统的数学领域之间界限日趋消失）传统的数学领域之间界限日趋消失）传统的数学领域之间界限日趋消失）传统的数学领域之间界限日趋消失,一贯奉为严密性一贯奉为严密性一贯奉为严密性一贯奉为严密性典范的几何典范的几何典范的几何典范的几何,表面上看来似乎己经丧失了昔日的地位表面上看来似乎己经丧失了昔日的地位表面
33、上看来似乎己经丧失了昔日的地位表面上看来似乎己经丧失了昔日的地位,实实实实质上正是几何直观在各个数学领域之间起着联络的作用。质上正是几何直观在各个数学领域之间起着联络的作用。质上正是几何直观在各个数学领域之间起着联络的作用。质上正是几何直观在各个数学领域之间起着联络的作用。正如康德所说正如康德所说正如康德所说正如康德所说:缺乏概念的直观是空虚的缺乏概念的直观是空虚的缺乏概念的直观是空虚的缺乏概念的直观是空虚的,缺乏直观的概缺乏直观的概缺乏直观的概缺乏直观的概念是盲目的。念是盲目的。念是盲目的。念是盲目的。爱因斯坦：爱因斯坦：爱因斯坦：爱因斯坦：“数学定理一涉及现实，它就不是必然的，而数学数学定
34、理一涉及现实，它就不是必然的，而数学数学定理一涉及现实，它就不是必然的，而数学数学定理一涉及现实，它就不是必然的，而数学定理如果必然，它就不涉及现实，定理如果必然，它就不涉及现实，定理如果必然，它就不涉及现实，定理如果必然，它就不涉及现实，公理化的进展就反，公理化的进展就反，公理化的进展就反，公理化的进展就反映在逻辑形式与现实直观内容的截然分开，映在逻辑形式与现实直观内容的截然分开，映在逻辑形式与现实直观内容的截然分开，映在逻辑形式与现实直观内容的截然分开，”而几何恰而几何恰而几何恰而几何恰恰是在其间起着启示、联络、理解，甚至提供方法的作用，恰是在其间起着启示、联络、理解，甚至提供方法的作用，
35、恰是在其间起着启示、联络、理解，甚至提供方法的作用，恰是在其间起着启示、联络、理解，甚至提供方法的作用，在界限日趋消失的现代数学的问题、概念与方法的广阔沙漠在界限日趋消失的现代数学的问题、概念与方法的广阔沙漠在界限日趋消失的现代数学的问题、概念与方法的广阔沙漠在界限日趋消失的现代数学的问题、概念与方法的广阔沙漠中，几何直观却常常可以提示我们，拯救我们，并告诉我们中，几何直观却常常可以提示我们，拯救我们，并告诉我们中，几何直观却常常可以提示我们，拯救我们，并告诉我们中，几何直观却常常可以提示我们，拯救我们，并告诉我们什么是重要的、有趣的和可以理解的。什么是重要的、有趣的和可以理解的。什么是重要的
36、、有趣的和可以理解的。什么是重要的、有趣的和可以理解的。第17页，共92页，编辑于2022年，星期六（4 4）相对于传统数学中对算法数学的强调）相对于传统数学中对算法数学的强调,现代现代数学更重视概念数学数学更重视概念数学,或者说是思辨数学。或者说是思辨数学。基础教育面临的问题：基础教育面临的问题：是强调概念、理解，还是着重运算、操作是强调概念、理解，还是着重运算、操作?第18页，共92页，编辑于2022年，星期六n n由此不难看出，弗赖登塔尔对现代数学的认由此不难看出，弗赖登塔尔对现代数学的认识，主要是从数学方式描述的形式化、传统识，主要是从数学方式描述的形式化、传统数学分支的综合化、数学组
37、织的结构化、现数学分支的综合化、数学组织的结构化、现代数学应用的多元化等方面来分析现代数学代数学应用的多元化等方面来分析现代数学的特性。的特性。第19页，共92页，编辑于2022年，星期六二、二、Hans Freudenthal Hans Freudenthal 的数学及教学观的数学及教学观 3.3.对数学教育的用处和目的之看法对数学教育的用处和目的之看法n n学习数学究竟是为了什么学习数学究竟是为了什么?进行数学教育，进行数学教育，最终要达到什么效果最终要达到什么效果?n n弗赖登塔尔认为，提出数学教育的目的，必弗赖登塔尔认为，提出数学教育的目的，必须考虑到社会背景。事实很清楚，数学教育须考
38、虑到社会背景。事实很清楚，数学教育的目的必须随着时代的变化而变化，它也必的目的必须随着时代的变化而变化，它也必然受到社会条件的约束与限制。例如，当前然受到社会条件的约束与限制。例如，当前已经进入了计算机时代，我们是否还要将算已经进入了计算机时代，我们是否还要将算术的单纯计算技能作为基本的目的术的单纯计算技能作为基本的目的?这是否还这是否还有教育价值有教育价值?第20页，共92页，编辑于2022年，星期六 3.3.对数学教育的用处和目的之看法对数学教育的用处和目的之看法n n学习数学究竟是为了什么学习数学究竟是为了什么?进行数学教育，进行数学教育，最终要达到什么效果最终要达到什么效果?n n弗赖
39、登塔尔认为，提出数学教育的目的，必弗赖登塔尔认为，提出数学教育的目的，必须考虑到社会背景。事实很清楚，数学教育须考虑到社会背景。事实很清楚，数学教育的目的必须随着时代的变化而变化，它也必的目的必须随着时代的变化而变化，它也必然受到社会条件的约束与限制。然受到社会条件的约束与限制。n n例如，当前已经进入了计算机时代，我们是例如，当前已经进入了计算机时代，我们是否还要将算术的单纯计算技能作为基本的目否还要将算术的单纯计算技能作为基本的目的的?这是否还有教育价值这是否还有教育价值?第21页，共92页，编辑于2022年，星期六 3.3.对数学教育的用处和目的之看法对数学教育的用处和目的之看法n n在
40、概率与数理统计取得迅速进展的情况下，在概率与数理统计取得迅速进展的情况下，我们的数学教育是否还能闭眼不看这一事实，我们的数学教育是否还能闭眼不看这一事实，而仍然抱住了确定性数学作为唯一的指望而仍然抱住了确定性数学作为唯一的指望?n n也就是说，数学本身的飞跃发展与变化，自也就是说，数学本身的飞跃发展与变化，自然也影响到数学教育的目的，因为我们毕竟然也影响到数学教育的目的，因为我们毕竟是要让学生能运用数学来解决社会的实际问是要让学生能运用数学来解决社会的实际问题。题。第22页，共92页，编辑于2022年，星期六 3.3.对数学教育的用处和目的之看法对数学教育的用处和目的之看法n n数学有着如此广
41、泛的应用，究竟教到哪个范数学有着如此广泛的应用，究竟教到哪个范围才是最合适的围才是最合适的?n n再一个问题就是学生的情况，因为需要是一再一个问题就是学生的情况，因为需要是一会事，可能又是另一会事，这依赖于学生的会事，可能又是另一会事，这依赖于学生的接受能力，是否能理解某些数学内容。接受能力，是否能理解某些数学内容。第23页，共92页，编辑于2022年，星期六 3.3.对数学教育的用处和目的之看法对数学教育的用处和目的之看法n n1掌握数学的整个体系掌握数学的整个体系 因为数学的应用广泛，又有高度的灵活性，因为数学的应用广泛，又有高度的灵活性，每个人将来究竟需要用到哪些概念和技能，每个人将来究
42、竟需要用到哪些概念和技能，难以预料，于是只能根据数学内在的体系出难以预料，于是只能根据数学内在的体系出发，希望通过数学教育能够掌握数学的整个发，希望通过数学教育能够掌握数学的整个结构，所教的数学内容必须符合数学体系的结构，所教的数学内容必须符合数学体系的要求，能够紧密地组合成一个整体，彼此联要求，能够紧密地组合成一个整体，彼此联系密切。系密切。第24页，共92页，编辑于2022年，星期六 这里必须注意的一点是，数学教育的目的绝对不这里必须注意的一点是，数学教育的目的绝对不这里必须注意的一点是，数学教育的目的绝对不这里必须注意的一点是，数学教育的目的绝对不是为了培养数学家，大多数人只需要用到一些
43、简单的是为了培养数学家，大多数人只需要用到一些简单的是为了培养数学家，大多数人只需要用到一些简单的是为了培养数学家，大多数人只需要用到一些简单的数学，因为数学已经成人类生存所不可缺少的一个方数学，因为数学已经成人类生存所不可缺少的一个方数学，因为数学已经成人类生存所不可缺少的一个方数学，因为数学已经成人类生存所不可缺少的一个方面，这就是一般的数学教育的目的。所以如果过于强面，这就是一般的数学教育的目的。所以如果过于强面，这就是一般的数学教育的目的。所以如果过于强面，这就是一般的数学教育的目的。所以如果过于强调数学体系，以之作为数学教育的最终目的，那不恰调数学体系，以之作为数学教育的最终目的，那
44、不恰调数学体系，以之作为数学教育的最终目的，那不恰调数学体系，以之作为数学教育的最终目的，那不恰当的，特别是如果仅仅以数学体系来决定教学内容的当的，特别是如果仅仅以数学体系来决定教学内容的当的，特别是如果仅仅以数学体系来决定教学内容的当的，特别是如果仅仅以数学体系来决定教学内容的取舍，那必然会违反教学法的规律；甚至引起学生反取舍，那必然会违反教学法的规律；甚至引起学生反取舍，那必然会违反教学法的规律；甚至引起学生反取舍，那必然会违反教学法的规律；甚至引起学生反感。感。感。感。这种目的的提出，一般都出自于专家权威，他们更这种目的的提出，一般都出自于专家权威，他们更这种目的的提出，一般都出自于专家
45、权威，他们更这种目的的提出，一般都出自于专家权威，他们更多地倾向于培养数学家，更多地着眼于数学的严密与多地倾向于培养数学家，更多地着眼于数学的严密与多地倾向于培养数学家，更多地着眼于数学的严密与多地倾向于培养数学家，更多地着眼于数学的严密与完整，强调追求数学的美与魅力，但却往往忽略了社完整，强调追求数学的美与魅力，但却往往忽略了社完整，强调追求数学的美与魅力，但却往往忽略了社完整，强调追求数学的美与魅力，但却往往忽略了社会的要求与学生的实际。会的要求与学生的实际。会的要求与学生的实际。会的要求与学生的实际。第25页，共92页，编辑于2022年，星期六 3.3.对数学教育的用处和目的之看法对数学
46、教育的用处和目的之看法n n 2 2学会数学的实际应用学会数学的实际应用学会数学的实际应用学会数学的实际应用 应该知道，从过去、现在一直到未来，教数学的应该知道，从过去、现在一直到未来，教数学的应该知道，从过去、现在一直到未来，教数学的应该知道，从过去、现在一直到未来，教数学的教室不可能浮在半空中，而学数学的学生也必然是属教室不可能浮在半空中，而学数学的学生也必然是属教室不可能浮在半空中，而学数学的学生也必然是属教室不可能浮在半空中，而学数学的学生也必然是属于社会的，认真考虑数学在社会中扮演的角色，应该于社会的，认真考虑数学在社会中扮演的角色，应该于社会的，认真考虑数学在社会中扮演的角色，应该
47、于社会的，认真考虑数学在社会中扮演的角色，应该是数学教育的首要目的是数学教育的首要目的是数学教育的首要目的是数学教育的首要目的,也就是必须学会数学在解决实也就是必须学会数学在解决实也就是必须学会数学在解决实也就是必须学会数学在解决实际问题中的作用、会运用数学知识于具体现实，而不际问题中的作用、会运用数学知识于具体现实，而不际问题中的作用、会运用数学知识于具体现实，而不际问题中的作用、会运用数学知识于具体现实，而不是一味追求完整的数学体系。是一味追求完整的数学体系。是一味追求完整的数学体系。是一味追求完整的数学体系。第26页，共92页，编辑于2022年，星期六 大家都同意，教数学就必须教互相连贯
48、的材料，大家都同意，教数学就必须教互相连贯的材料，大家都同意，教数学就必须教互相连贯的材料，大家都同意，教数学就必须教互相连贯的材料，而不是孤立的片断，但这并非只限于数学内部的逻辑而不是孤立的片断，但这并非只限于数学内部的逻辑而不是孤立的片断，但这并非只限于数学内部的逻辑而不是孤立的片断，但这并非只限于数学内部的逻辑联系，恐怕更重要的是数学与外部的联系。当然这也联系，恐怕更重要的是数学与外部的联系。当然这也联系，恐怕更重要的是数学与外部的联系。当然这也联系，恐怕更重要的是数学与外部的联系。当然这也不是把数学与某种特定的应用捆绑在一起、那样会使不是把数学与某种特定的应用捆绑在一起、那样会使不是把
49、数学与某种特定的应用捆绑在一起、那样会使不是把数学与某种特定的应用捆绑在一起、那样会使数学僵化，而数学的最大特点就是灵活性。所以一般数学僵化，而数学的最大特点就是灵活性。所以一般数学僵化，而数学的最大特点就是灵活性。所以一般数学僵化，而数学的最大特点就是灵活性。所以一般说来说来说来说来,还是先考虑内部的联系，但却不是勉强生硬的或还是先考虑内部的联系，但却不是勉强生硬的或还是先考虑内部的联系，但却不是勉强生硬的或还是先考虑内部的联系，但却不是勉强生硬的或是过于形式的，应该在现实的基础上，自然地形成这是过于形式的，应该在现实的基础上，自然地形成这是过于形式的，应该在现实的基础上，自然地形成这是过于
50、形式的，应该在现实的基础上，自然地形成这种内部与外部的联系，譬如说通过数学与其他自然科种内部与外部的联系，譬如说通过数学与其他自然科种内部与外部的联系，譬如说通过数学与其他自然科种内部与外部的联系，譬如说通过数学与其他自然科学学学学物理、化学等的生动联系。物理、化学等的生动联系。物理、化学等的生动联系。物理、化学等的生动联系。第27页，共92页，编辑于2022年，星期六了解数学与外界的丰富联系，不仅使数学了解数学与外界的丰富联系，不仅使数学成为应用于实际的锐利工具，而且将会使人们成为应用于实际的锐利工具，而且将会使人们所掌握的知识长期地富有活力，可以不断地联所掌握的知识长期地富有活力，可以不断