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1、自动控制原理课件非自动控制原理课件非线性系统讲义相平面线性系统讲义相平面现在学习的是第1页，共25页8.3.1 8.3.1 相平面的基本概念相平面的基本概念(1)(1)相平面和相轨迹相平面和相轨迹(2)(2)相轨迹的性质相轨迹的性质 （运动方向，渐进线，开关线（运动方向，渐进线，开关线，奇点奇点）(3)(3)线性二阶系统的相轨迹线性二阶系统的相轨迹（分析一类非线性系统的自由响应）（分析一类非线性系统的自由响应）8.3.28.3.2绘制相平面的等倾斜线法绘制相平面的等倾斜线法8.3.38.3.3非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析8.3 相平面法相平面法现在学习的是第2页，共25页8.3
2、8.3 相平面法相平面法（1 1）8.3.1 8.3.1 相平面的基本概念相平面的基本概念 相平面：相平面：相轨迹：相轨迹：系统变量及其导数系统变量及其导数随时间变化随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹在相平面上描绘出来的轨迹。由系统变量及其导数由系统变量及其导数（如如 ）构成的用以描述系统状态的平面。构成的用以描述系统状态的平面。例例1 1 单位反馈系统单位反馈系统(1)相平面和相轨迹相平面和相轨迹现在学习的是第3页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（1 1）(2)相轨迹的性质相轨迹的性质运动方向运动方向上半平面上半平面 向右移动向右移动下半平面下半平面 向左移动向左移动顺时针运动顺时针
3、运动通过横轴时通过横轴时 ，以，以90穿越穿越 x轴轴设系统方程为：设系统方程为：一个初始条件对应一条相轨迹一个初始条件对应一条相轨迹现在学习的是第4页，共25页相轨迹上每一点切线的斜率为相轨迹上每一点切线的斜率为 若在某点处若在某点处 和和 同时为零，即有同时为零，即有 的不定形式，则称该点为相平面的奇点的不定形式，则称该点为相平面的奇点奇点的位置？过奇点时奇点的位置？过奇点时系统运动的速度和加速系统运动的速度和加速度？过奇点的相轨迹个数？相轨迹从奇点度？过奇点的相轨迹个数？相轨迹从奇点处过处过x轴？轴？(3)(3)奇点奇点(平衡点平衡点)：过普通点只有一条相轨迹，过奇点有多个过普通点只有一
4、条相轨迹，过奇点有多个相轨迹上斜率不确定的点相轨迹上斜率不确定的点现在学习的是第5页，共25页（4）相轨迹的绘制）相轨迹的绘制1、解析法解析法 当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时,可使用解析法求出相轨迹方程的解可使用解析法求出相轨迹方程的解,再绘制相轨迹。再绘制相轨迹。方法：降阶，两边积分，或者线性化方法：降阶，两边积分，或者线性化8.3 相平面法（相平面法（1）现在学习的是第6页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（1 1）例例1 现在学习的是第7页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（1 1）极点分布极点分布二阶系统的相轨迹二阶系统
5、的相轨迹奇点奇点相迹图相迹图中心点中心点稳定的稳定的 焦点焦点稳定的稳定的 节点节点鞍鞍 点点不稳定不稳定的焦点的焦点不稳定不稳定的节点的节点极点分布极点分布奇点奇点相迹图相迹图(5)(5)奇点奇点 的类型的类型：特征根特征根特征根特征根现在学习的是第8页，共25页 此外，若线性二阶系统的特征根一个为零根，另一个为负实根时，此外，若线性二阶系统的特征根一个为零根，另一个为负实根时，相轨迹为直线（相轨迹为直线（常数项为常数项为0），线性收敛；若线性二阶系统一个根，线性收敛；若线性二阶系统一个根为零根，另一个根为正实根时，则相轨迹线性发散。为零根，另一个根为正实根时，则相轨迹线性发散。对于非线性系
6、统的各个平衡点，若描述非线性过程的非对于非线性系统的各个平衡点，若描述非线性过程的非线性函数解析时，可以通过平衡点处的线性化方程，基于线线性函数解析时，可以通过平衡点处的线性化方程，基于线性系统特征根的分布，确定奇点的类型，进而确定平衡点附性系统特征根的分布，确定奇点的类型，进而确定平衡点附近相轨迹的运动形式。近相轨迹的运动形式。当非线性方程在某个区域可以表示为线性微分方程时，奇点类型当非线性方程在某个区域可以表示为线性微分方程时，奇点类型决定该区域系统运动的形式。决定该区域系统运动的形式。若对应的奇点位于本区域内，则称为实奇点；若对应的奇点若对应的奇点位于本区域内，则称为实奇点；若对应的奇点
7、位于其它区域，则称为虚奇点。位于其它区域，则称为虚奇点。现在学习的是第9页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（1 1）例例2 2 设系统方程为设系统方程为 ，求系统的平衡点求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近，并判定平衡点附近相轨迹的性质。相轨迹的性质。解解 令令 不稳定焦点不稳定焦点线化线化特征特征方程方程鞍点鞍点现在学习的是第10页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（1 1）例例3 3 系统方程为系统方程为 ，分析系统的自由响应。，分析系统的自由响应。解解特征特征方程方程 稳定焦点稳定焦点鞍点鞍点利用二阶线性系统的相轨迹分析一类非线性系统利用二阶线性系统的相轨迹分析一类非线性系
8、统 奇点奇点极点极点开关线开关线现在学习的是第11页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（1 1）例例4 4 系统方程为系统方程为 ，分析系统的自由响应。，分析系统的自由响应。解解特征特征方程方程 中心点中心点奇点奇点极点极点 中心点中心点开关线开关线 划分不同线性区域的边界线划分不同线性区域的边界线平衡线平衡线（奇线奇线）不同区域的相轨迹相互影响而产生不同区域的相轨迹相互影响而产生现在学习的是第12页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（1 1）例例5 5 系统如右，已知系统如右，已知 ，确定开关线方程，奇点，确定开关线方程，奇点 位置和类型，绘制相平面图。位置和类型，绘制相平面图。
9、解解开关线方程开关线方程线性部分线性部分非线性部分非线性部分综合点综合点现在学习的是第13页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（1 1）中心点中心点 中心点中心点区域区域 运动方程运动方程 奇点奇点 特征方程特征方程 极点极点 奇点性质奇点性质奇奇点点类类型型相轨迹相轨迹以以 为中心的圆为中心的圆以以 为中心的圆为中心的圆水平线水平线响应响应现在学习的是第14页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（1 1）开关线方程开关线方程线性部分线性部分非线性部分非线性部分比较点比较点例例6 6 系统如右，系统如右，分别讨论系统运动。，分别讨论系统运动。整理整理在在 I 区：区：抛物线方程抛物线
10、方程同理在同理在 II 区：区：当当 时，开关时，开关线为线为：解解现在学习的是第15页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（1 1）开关线开关线(I)相轨迹图相轨迹图(II)系统方程系统方程现在学习的是第16页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（2 2）解解例例7 7 系统方程系统方程 ，用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。，用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。8.3.2 8.3.2 绘制相平面的等倾斜线法绘制相平面的等倾斜线法系统方程系统方程等倾斜线方程等倾斜线方程等倾斜线等倾斜线 相轨迹斜率为常数的曲线相轨迹斜率为常数的曲线o等倾斜线斜率？等倾斜线对应的斜率？等倾斜线斜率？等倾斜线对应的斜
11、率？现在学习的是第17页，共25页现在学习的是第18页，共25页相轨迹的渐进线相轨迹的渐进线在直线等倾线上，相轨迹的斜率为：在直线等倾线上，相轨迹的斜率为：等倾线的斜率为：等倾线的斜率为：若若等倾线等倾线渐近线渐近线渐近线：特殊的等倾斜线，也是相轨迹线渐近线：特殊的等倾斜线，也是相轨迹线（只有线性系统才可能有渐进线（只有线性系统才可能有渐进线（只有线性系统才可能有渐进线（只有线性系统才可能有渐进线)。现在学习的是第19页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（2 2）非线性部分非线性部分比较点比较点例例8 8 系统如右，在系统如右，在 平面上分析系统的自由响应运动。平面上分析系统的自由响应运
12、动。整理整理线性部分线性部分解解现在学习的是第20页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（1616）现在学习的是第21页，共25页8.38.3 相平面法相平面法（3 3）各各类类极极限限环环极限环极限环 对应二阶非线性系统的周期运动对应二阶非线性系统的周期运动稳定的极限环稳定的极限环不稳定的极限环不稳定的极限环半稳定的极限环半稳定的极限环现在学习的是第22页，共25页相轨迹的绘制相轨迹的绘制1、解析法解析法 当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时,可使用解析法求出相轨迹方程的解可使用解析法求出相轨迹方程的解,再绘制相轨迹。再绘制相轨迹。方法方法8.3 相平面法（相平面法（3）现在学习的是第23页，共25页2、等倾线法（作图法）等倾线法（作图法）设二阶系统的微分方程为：设二阶系统的微分方程为：斜率方程：斜率方程：令令等倾线方程等倾线方程各相轨迹与该曲线交点的斜率相等各相轨迹与该曲线交点的斜率相等,且等于且等于 。现在学习的是第24页，共25页3、定性绘图法定性绘图法 相平面的分区（开关线）相平面的分区（开关线）相轨迹的走向相轨迹的走向 相轨迹的奇点及性质相轨迹的奇点及性质 相轨迹的相轨迹的渐近线渐近线相轨迹的起始点相轨迹的起始点现在学习的是第25页，共25页