《抛物型方程的差分方法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物型方程的差分方法.ppt（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、关于抛物型方程的差分方法现在学习的是第1页，共33页其中,为 平面上某一区域。众所周知，一维线性抛物型方程的一般形式为现在学习的是第2页，共33页通常考虑的定解问题有：(1)初值问题 在区域 上求函 数，使满足 为给定的初始函数。现在学习的是第3页，共33页 (2)初边值问题(或称混合问题)在区域上 求函数 ，使满足现在学习的是第4页，共33页 为了构造微分方程的有限差分逼近，首先将求解区域 用二组平行于 轴和 轴的直线构成的网格覆盖，网格边长在方向 为 ，在 方向为 。分别称为空间方向和时间方向的步长，网格线的交点称为网格的结点。差分格式的建立差分格式的建立现在学习的是第5页，共33页由Ta
2、ylor展开，有则 在 处对 的一阶偏导数有三个可能的近似:向后差商向前差商中心差商现在学习的是第6页，共33页显然，用差商近似导数存在误差，令则截断误差现在学习的是第7页，共33页现记现记前差算子前差算子:,后差算子后差算子:,中心差算子中心差算子:,为 方向偏导数算子为为 方向位移算子方向位移算子，为为 方向平均算子方向平均算子，其中:,现在学习的是第8页，共33页 建立差分算子和导数算子之间的关系建立差分算子和导数算子之间的关系由得或者同理有现在学习的是第9页，共33页因为故同理因为则现在学习的是第10页，共33页利用这些关系式就可给出偏导数的差分表达式现在学习的是第11页，共33页又由
3、可得二阶偏导数的差分表达式现在学习的是第12页，共33页从以上这些偏导数的差分表达式，我们可以得到偏导数的各种精度的近似表达式。且又由二阶导数的前差表达式，得因此 在 的前差表达式中取第一项，则有即截断误差阶 为。现在学习的是第13页，共33页 现在研究构造微分方程的差分方程的方法，为此记微分方程为 L 是关于 的线性算子，。包括二个相邻时间层的网格结点的差分方程可以从Talor 展开式推出现在学习的是第14页，共33页现在，对抛物型方程的几种特殊情况，从方程出发，构造微分方程的有限差分近似。首先考虑一维热传导方程的差分近似。显式格式现在学习的是第15页，共33页由 ，方程为代入则其中 为步长
4、比。现在学习的是第16页，共33页在上式中，如果仅仅保留二阶中心差分，且设 为相应差分方程解在结点(mh,nk)上的值，则代入 的表达式，则得差分方程将格式应用于解初值问题现在学习的是第17页，共33页此差分格式也可简单地由导数的差商近似表达式得到代入微分方程，并令差分方程解为 即可。虽然在边界结点上，差分方程和微分方程具有相同的初值或者初边值条件，但是，一般而言，结点 上微分方程的精确解 和古典显式差分格式的精确解 不相等。记现在学习的是第18页，共33页 假定 具有下面推导中所需要的有界偏导数，则由 展开，有 截断误差截断误差42现在学习的是第19页，共33页则那么得从而有现在学习的是第2
5、0页，共33页或现在学习的是第21页，共33页从而，上式右边量描写了古典显式差分格式在 点对微分方程的近似程度，将其定义为差分格式在点 的截断误差，记为 ，即 假定假定 在所考虑的区域保持有界，则古在所考虑的区域保持有界，则古典显式差分格式的截断误差阶为典显式差分格式的截断误差阶为 。现在学习的是第22页，共33页或者相应的截断误差阶为 。通常，格式可用下图表示。为了提高截断误差的阶，我们也可用在式中保留四阶中心差分项的办法达到，这时有差分格式现在学习的是第23页，共33页m,n+1m-2,nm-1,nm,nm+1,nm+2,nm,n+1m-1,nm,nm+1,n现在学习的是第24页，共33页
6、隐式格式隐式格式隐式差分格式特点：1.具有二个或二个以上结点处的值未知；2.计算工作量较大；3.稳定性较好。现在学习的是第25页，共33页得 由推导其最简单的隐式差分逼近古典隐式格式。现在对热传导方程现在学习的是第26页，共33页格式用下图表示，其截断误差阶为 ，与古典显式差分格式相同。或者保留二阶导数项，且以 替代 ，则得差分格式 我们也可通过直接用差分算子代替 的方法，即代入微分方程，得到此格式。现在学习的是第27页，共33页m,n+1m-1,n+1m+1,n+1m,n现在学习的是第28页，共33页图方法图方法现在学习的是第29页，共33页-4-3-2-10123401234现在学习的是第30页，共33页现在学习的是第31页，共33页现在学习的是第32页，共33页感谢大家观看现在学习的是第33页，共33页