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1、第2章线性时不变系统本讲稿第一页，共八十一页为什么引入LTI？如果不对系统的性质加以限制，那么分析一个系统将是十分困难的。LTI系统的分析还为非线性系统的分析方法提供了思路。例如，线性时不变系统可以用冲激响应来表达，非线性系统可以用Volterra级数来表达。给系统加上线性和时不变性的限制，那么系统的分析将变得十分简便。本讲稿第二页，共八十一页需要说明的问题？真实的系统，严格地讲，绝大多数是非线性和时变的。真实的系统，严格地讲，绝大多数是非线性和时变的。（例如（例如:铁心的存在使得电感非线性）铁心的存在使得电感非线性）这样的近似是合理的，一般来说，实际系统的时变性这样的近似是合理的，一般来说，
2、实际系统的时变性是可以忽略的，例如，在很多弱电系统中，电阻随着是可以忽略的，例如，在很多弱电系统中，电阻随着温度的变化可以忽略；在小信号的情况下，某些器件温度的变化可以忽略；在小信号的情况下，某些器件的非线性也可以用局部线性的方法分析，例如，晶体的非线性也可以用局部线性的方法分析，例如，晶体管的小信号模型就是其中的例子。管的小信号模型就是其中的例子。线性和时不变性可以认为是对现实系统的近似或者线性和时不变性可以认为是对现实系统的近似或者理想化。理想化。因此，线性时不变系统的分析方法是实用的。因此，线性时不变系统的分析方法是实用的。本讲稿第三页，共八十一页2.1离散时间LTI系统的卷积分析l l
3、一个经常遇到的问题是，给定一个输入信号，怎样求出系一个经常遇到的问题是，给定一个输入信号，怎样求出系统的输出信号。统的输出信号。分析这个问题之前，我们先从输入信号入手。分析这个问题之前，我们先从输入信号入手。如果我们能够将输入信号分解成为基本的信号，或如果我们能够将输入信号分解成为基本的信号，或者说用基本的信号来表示任意的信号，者说用基本的信号来表示任意的信号，再利用叠加再利用叠加性质，那么性质，那么LTILTI系统的分析将会十分简单。系统的分析将会十分简单。本讲稿第四页，共八十一页2.1.1用单位冲激函数表示离散时间信号从波形的角度来观察离散时间信号，它可以看成是由许多加权了的单位冲激信号组
4、合而成的本讲稿第五页，共八十一页 本讲稿第六页，共八十一页 本讲稿第七页，共八十一页对于任意的离散时间信号：上式应该理解为许多以为n自变量的函数的相加，而不是数值相加。许多移了位的冲激信号的加权和，构成了xn。移位的冲激信号加权值累加序号自变量本讲稿第八页，共八十一页特别地，我们有 本讲稿第九页，共八十一页2.1.2 卷积和卷积和任何一个序列都可以表示为移位的冲激序列的线性组合。任何一个序列都可以表示为移位的冲激序列的线性组合。以此为基础，我们来表达系统的输出信号。以此为基础，我们来表达系统的输出信号。首先我们定义一个特殊的输出信号，即系统在单位冲首先我们定义一个特殊的输出信号，即系统在单位冲
5、激信号的激励下的系统输出信号激信号的激励下的系统输出信号单位冲激响应本讲稿第十页，共八十一页由时不变性可得：利用LTI系统的齐次性可得:利用LTI系统的叠加性和式：上式称为卷积和或者简称卷积。本讲稿第十一页，共八十一页我们为卷积运算引入一个运算符号：*卷积和是离散时间信号（或者说函数）之间的一种运算，两个以n为时间变量的信号的卷积运算的结果，是一个以n为时间变量的信号本讲稿第十二页，共八十一页l 从实用的观点来说，如果对于任何输入，我们都能够求出系统的输出，这就说明我们对该系统有了足够的了解。l单位冲激响应hn完全描述了线性时不变系统的变换规律。不同的系统输入，都在hn的作用下产生相应的响应，
6、因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应hn就等于给定了该系统。l求解系统响应的卷积方法是系统分析的重要工具。本讲稿第十三页，共八十一页从计算某一个特定点的角度来看求和变量看成常量本讲稿第十四页，共八十一页进一步说明 本讲稿第十五页，共八十一页先反转后平移先反转后平移当然，我们也可以先平移后反转，但是这种方式不容易操作，容易出错。本讲稿第十六页，共八十一页例例题题2.1 已知一个LTI系统的输入信号为，（），该LTI系统的单位冲激响应为，试求该LTI系统的输出解解：本讲稿第十七页，共八十一页本讲稿第十八页，共八十一页 本讲稿第十九页，共八十一页那么输出信号可以写成 本讲稿第二十页，共八十一页本
7、讲稿第二十一页，共八十一页l卷积公式是无穷多项求和，而我们实际遇到的常常是有限长度序列，特别是在计算机离线处理的场合，因为计算机不可能处理无穷多的信息。l在进行有限长度的序列的卷积时候，长度为N和M的2个序列作卷积时，反转序列从左到右进入重叠直至移出重叠，只有存在重叠项时，卷积和才可能非零。l卷积序列的长度为M+N-1。本讲稿第二十二页，共八十一页NMM+N-1本讲稿第二十三页，共八十一页例例题题2.2 试求：其中，举一个限长度序列卷积的例子。本讲稿第二十四页，共八十一页000本讲稿第二十五页，共八十一页 对于连续时间信号而言，我们也可以利用冲激函数的抽样性质来推导系统输出的卷积表示。2.2
8、连续时间连续时间LTI系统的卷积分析系统的卷积分析本小节我们讨论连续时间信号通过LTI系统的情况。2.2.1 用冲激函数表示连续时间信号用冲激函数表示连续时间信号本讲稿第二十六页，共八十一页冲激函数的选择性质是这样的：由于冲激函数是偶函数，于是有，=1本讲稿第二十七页，共八十一页我们就得到了一个结论，可以将连续时间函数表示为：本讲稿第二十八页，共八十一页2.2.2 卷积积分卷积积分 我们定义一个特殊的输出信号，单单位冲激响位冲激响应应本讲稿第二十九页，共八十一页由LTI系统的时不变性：由LTI系统的线性，我们有本讲稿第三十页，共八十一页卷积积分卷积积分或者简称卷积卷积。本讲稿第三十一页，共八十
9、一页单位冲激响应同样完全刻画了LTI系统的变换规律。卷积是连续时间信号（或者说函数）之间的一种运算，两个以为t时间变量的信号的卷积运算的结果，是一个以t为时间变量的信号。不同的系统输入，都在单位冲激响应的作用下产生相应的响应;因此，给定了一个LTI系统的单位冲激响应，就等于给定了该系统。本讲稿第三十二页，共八十一页例例题题2.3 已知给定的LTI系统的输入信号为，该系统的单位冲激响应为 试求该系统的输出信号本讲稿第三十三页，共八十一页解解：本讲稿第三十四页，共八十一页本讲稿第三十五页，共八十一页本讲稿第三十六页，共八十一页本讲稿第三十七页，共八十一页2.3 卷积的性质卷积的性质2.3.12.3
10、.1交换律交换律交换律交换律(Commutative Property)(Commutative Property)引入了卷积的概念以后，本节介绍卷积算子的基本性质。本讲稿第三十八页，共八十一页 常量常量本讲稿第三十九页，共八十一页类似于乘法运算，卷积运算也服从交换律，即 利用卷积的交换律，可能会大大简化卷积的计算过程。本讲稿第四十页，共八十一页在Matlab中，卷积计算函数conv只能计算有限长度序列的卷积，而且默认这些序列是从0开始的，所以，一旦遇到起始点不为零的序列进行卷积的情况，我们必须利用LTI系统的时不变性，将序列的起始点移位到0，卷积完成以后再移位回来。利用时不变性，我们有：再利
11、用交换律，我们有：本讲稿第四十一页，共八十一页例例题题2.3求卷积：解解：下面我们将举例说明，两个起始点不为0的序列的卷积。0000本讲稿第四十二页，共八十一页起始点为零的序列。本讲稿第四十三页，共八十一页本讲稿第四十四页，共八十一页例例题题2.5 已知信号已知信号求卷求卷积积 本讲稿第四十五页，共八十一页1 2 3 本讲稿第四十六页，共八十一页本讲稿第四十七页，共八十一页解解解解2:2:本讲稿第四十八页，共八十一页1 2 3 本讲稿第四十九页，共八十一页本讲稿第五十页，共八十一页本讲稿第五十一页，共八十一页类似于乘法运算，卷积计算对加法还具有分配律 2.3.2 分配律分配律(Distribu
12、tive Property)本讲稿第五十二页，共八十一页利用卷积运算的分配律，我们可以简化两个LTI系统的并联。本讲稿第五十三页，共八十一页2.3.3 2.3.3 结合律结合律结合律结合律(Associative Property)(Associative Property)通过证明，我们还可以看到，类似于乘法运算，卷积计算通过证明，我们还可以看到，类似于乘法运算，卷积计算还服从结合律，即还服从结合律，即本讲稿第五十四页，共八十一页 本讲稿第五十五页，共八十一页 本讲稿第五十六页，共八十一页2.4 LTI系统的性质本节用卷积算子来重新讨论一下LTI系统的性质。我们将看到，可以用单位冲激响应的性
13、质来描述LTI系统的性质。LTI系统可以由其单位冲激响应或者来刻划或者说描述。下面通过冲激响应与系统性质的关系，进一步说明这个观点。本讲稿第五十七页，共八十一页2.4.1 LTI2.4.1 LTI系统的记忆性质系统的记忆性质系统的记忆性质系统的记忆性质系统就是对信号的变换.从函数集到函数集的映射 本讲稿第五十八页，共八十一页无记忆系统：一个系统的每一时刻的输入仅仅取决于该时刻的输入。数值（输入信号的值）数值（输出信号的值）无记忆系统变换本讲稿第五十九页，共八十一页从一个函数集到函数集的映射，退化为一个复数集到复数集（或者是实数集到实数集）的映射。进一步地，无记忆的LTI系统还具备线性：LTI系
14、统无记忆的必要条件 本讲稿第六十页，共八十一页任何信号与冲激信号的卷积的结果都是该信号本身，所以，上式也是LTI系统无记忆的充分条件。LTI系统为无记忆系统的充分必要条件是：其单位冲激响应与单系统为无记忆系统的充分必要条件是：其单位冲激响应与单位冲激信号成正比。位冲激信号成正比。一个反例来说明这个必要条件 本讲稿第六十一页，共八十一页2.4.2 LTI系统的可逆性系统的可逆性 恒等系统的单位冲激响应就是单位冲激信号。卷积运算里面，单位冲激函数的地位，相当于1在乘法里面的地位。本讲稿第六十二页，共八十一页利用时不变性 本讲稿第六十三页，共八十一页 、下面我们再来讨论LTI系统的可逆性 本讲稿第六
15、十四页，共八十一页LTI系统为可逆系统的充要条件是：系统为可逆系统的充要条件是：本讲稿第六十五页，共八十一页例例题题2.7 求延时器的逆系统解解：本讲稿第六十六页，共八十一页例例题题2.8 试确定累加器的逆系统。解解：单位冲激响应本讲稿第六十七页，共八十一页?公因式本讲稿第六十八页，共八十一页可得累加器的逆系统的解析表达为 求和运算的逆过程就是差分运算 本讲稿第六十九页，共八十一页2.4.3 LTI2.4.3 LTI系统的因果性系统的因果性系统的因果性系统的因果性 本讲稿第七十页，共八十一页离散离散时间时间LTI系系统统因果的因果的充分必要条件充分必要条件为为：类似地，连续时间连续时间LTI系
16、系统为统为因果系因果系统统的充分必要条件的充分必要条件为为：本讲稿第七十一页，共八十一页2.4.4 LTI系统的稳定性系统的稳定性我们知道，系统的稳定性条件，可以形式地描述为：我们知道，系统的稳定性条件，可以形式地描述为：Xn有界yn有界本讲稿第七十二页，共八十一页本讲稿第七十三页，共八十一页离散时间LTI系统稳定的充分条件为：可以证明，式(2-27)也是离散时间LTI系统稳定的必要条件 本讲稿第七十四页，共八十一页对于连续时间LTI系统有 本讲稿第七十五页，共八十一页连续时间LTI系统稳定的充分条件为：可以证明，式(2-28)也是连续时间LTI系统稳定的必要条件 本讲稿第七十六页，共八十一页
17、下面再看看2个例子，该LTI系统稳定。该LTI系统不稳定。本讲稿第七十七页，共八十一页2.5 单位阶跃响应当输入信号为单位阶跃信号时，当输入信号为单位阶跃信号时，LTILTI系统的响应称为系统的响应称为该该LTILTI系统的系统的单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应。许多早期的文献是以单位阶跃响应为支点来讨论许多早期的文献是以单位阶跃响应为支点来讨论LTILTI系统的。物系统的。物理上，阶跃响应比冲激响应容易得到，电路一合上，给出的就理上，阶跃响应比冲激响应容易得到，电路一合上，给出的就是一个阶跃信号，而冲激信号则涉及无穷大的数值和无限短的是一个阶跃信号，而冲激信号则涉及无穷大的数
18、值和无限短的时间，实现起来很困难。时间，实现起来很困难。本小节讨论单位阶跃响应与单位冲激响应之间的关系。如果我们本小节讨论单位阶跃响应与单位冲激响应之间的关系。如果我们可以在物理上求得阶跃响应，然后，在数学上通过阶跃响应求得可以在物理上求得阶跃响应，然后，在数学上通过阶跃响应求得冲激响应，这将是一种非常理想的情况。冲激响应，这将是一种非常理想的情况。本讲稿第七十八页，共八十一页单位阶跃响应 LTI LTI 依据LTI系统的单位阶跃响应的定义本讲稿第七十九页，共八十一页 相当于un的倒数本讲稿第八十页，共八十一页 可以通过LTI系统的单位阶跃响应求出该系统的单位冲激响应。本讲稿第八十一页，共八十一页