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1、第2章 机械能和功本讲稿第一页，共五十六页1 1、能量能量是一个普适的物理量。是唯一的可量度是一个普适的物理量。是唯一的可量度 各种不同运动形式在相互转化中的数量关系各种不同运动形式在相互转化中的数量关系 的物理量。的物理量。2 2、任一研究对象（称为系统）其内部各种形式、任一研究对象（称为系统）其内部各种形式 的能量可以相互转化和传递，只要不与外界的能量可以相互转化和传递，只要不与外界 交换能量，系统的交换能量，系统的总能量保持不变总能量保持不变。3 3、能量是系统状态的函数；、能量是系统状态的函数；功是系统能量变化的量功是系统能量变化的量 度度。系统能量随其状态而变化时，必伴有外界对。系统
2、能量随其状态而变化时，必伴有外界对 系统作功系统从一个状态变化到另一个状态所系统作功系统从一个状态变化到另一个状态所 引起的机械能的变化，可用状态变化过程中外界引起的机械能的变化，可用状态变化过程中外界 对系统所作功的多少来量度。对系统所作功的多少来量度。引言引言本讲稿第二页，共五十六页3.1 3.1 动能和动能定理动能和动能定理 一、力的功一、力的功 1恒力的功恒力的功力对质点作功：力对质点作功：如果力如果力 F 作用在物体上，使物体运动一定距离作用在物体上，使物体运动一定距离 s 只有位移方向上的分量作功只有位移方向上的分量作功如果如果 与位移与位移 如图如图有一定夹角时，有一定夹角时，力
3、力 对质点作功为：对质点作功为：本讲稿第三页，共五十六页2.变力的功变力的功当当N时时本讲稿第四页，共五十六页直角坐标系：直角坐标系：自然坐标系：自然坐标系：1.一般情况下，功与力和路径有关一般情况下，功与力和路径有关说明说明本讲稿第五页，共五十六页SS oo (t1)ABuo (t2)位移与参照系有关位移与参照系有关2.与与参照系无关，位移与参照系有关，故参照系无关，位移与参照系有关，故 A与参照系有关。与参照系有关。本讲稿第六页，共五十六页4.平均功率平均功率瞬时功率瞬时功率瓦特瓦特(W)=(J/s)3.合力的功等于各分力的功的代数和。合力的功等于各分力的功的代数和。本讲稿第七页，共五十六
4、页解：解：例例3-1 小球在水平变力小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在所作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成向成 角。求：角。求：(1)的功，的功，(2)重力的功。重力的功。ml本讲稿第八页，共五十六页变力变力恒力恒力 曲线运动曲线运动ml本讲稿第九页，共五十六页例例3-2光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体的摩擦系数系数，在外力作用下小物体（质量，在外力作用下小物体（质量m）以速率）以速率v 做匀速圆周做匀速圆周运动，求转一周摩擦力作的功。运动，求转一周摩擦力作的
5、功。r解：小物体受力解：小物体受力走一圈后摩擦力所作的功：走一圈后摩擦力所作的功：本讲稿第十页，共五十六页例例3-3 一陨石从距地面高为一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？多少？解：取地心为原点，引力与矢径方向相反解：取地心为原点，引力与矢径方向相反abhRo本讲稿第十一页，共五十六页二、质点的动能定理二、质点的动能定理设质点设质点m在力的作用下沿曲线从在力的作用下沿曲线从a点移动到点移动到b点点元功：元功：ba本讲稿第十二页，共五十六页总功：总功：ba质点的动能定理：
6、质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。本讲稿第十三页，共五十六页说明说明3.应用应用：1.合外力的功是动能变化的量度。合外力的功是动能变化的量度。与参考系有关与参考系有关，动能定理只在动能定理只在惯性系惯性系中成立。中成立。2.4.微分形式：微分形式：本讲稿第十四页，共五十六页LxoLsx传送机滑道传送机滑道水平平台水平平台例例3-4 柔软匀质物体以初速柔软匀质物体以初速v0 送上平台，物体前端在平台送上平台，物体前端在平台上滑行上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间的摩擦系数
7、为系数为，且，且 s，求初速度，求初速度v0。解：解：本讲稿第十五页，共五十六页由动能定理：由动能定理：本讲稿第十六页，共五十六页例例3-5 有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。三面有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。三面的高度和水平距离都相同，为的高度和水平距离都相同，为 h 和和 l，与物体的摩擦系数均为，与物体的摩擦系数均为。试分析哪个面上的物体滑到地面时速度最大试分析哪个面上的物体滑到地面时速度最大?(1)解：解：(1)(2)(3)本讲稿第十七页，共五十六页(2)(3)最大最大(1)(1)(2)(3)本讲稿第十八页，共五十六页解：解：例例3-6 质量为质量为 的物体在无
8、摩擦的桌面上滑动，其运动被的物体在无摩擦的桌面上滑动，其运动被约束于固定在桌面上的挡板内，挡板是由约束于固定在桌面上的挡板内，挡板是由AB,CD 平直板平直板和半径为和半径为 的的1/4圆弧形板圆弧形板BC 组成，如图所示。若组成，如图所示。若t=0时，时，物体以速度物体以速度 沿着沿着AB 的内壁运动，物体与挡板间的摩擦的内壁运动，物体与挡板间的摩擦系数为系数为 。试求摩擦作功大小。试求摩擦作功大小。物体在直线段运动时，与物体在直线段运动时，与挡板间没有相互作用。挡板间没有相互作用。物体在弧线段运动时受挡板物体在弧线段运动时受挡板间的作用力如图所示：间的作用力如图所示：mABCDO顶视图顶视
9、图本讲稿第十九页，共五十六页RO本讲稿第二十页，共五十六页由动能定理可得到由动能定理可得到摩擦力作功：摩擦力作功：本讲稿第二十一页，共五十六页oyx例例3-7 一固定光滑圆柱体上的小球（一固定光滑圆柱体上的小球（m）从顶端下滑。）从顶端下滑。求小球下滑到求小球下滑到 时小球对圆柱体的压力。时小球对圆柱体的压力。解：在解：在处时，质点受力如图处时，质点受力如图o自自然然坐坐标标系系利用动能定理利用动能定理本讲稿第二十二页，共五十六页3.2 保守力作功与势能保守力作功与势能 以有心力为例以有心力为例Br+D D rro 1 1 2 2F1F2D D r2D D r1路径路径1 1路径路径2 2有心
10、力作功与路径无关有心力作功与路径无关!一、保守力与耗散力一、保守力与耗散力A本讲稿第二十三页，共五十六页rarbABFdroM万有引力：万有引力：C极坐标系极坐标系本讲稿第二十四页，共五十六页rarbABFdroMC引力作功与具体引力作功与具体路径无关！路径无关！作功只与质点的初、末位置有关。作功只与质点的初、末位置有关。若质点在引力的作用下，沿若质点在引力的作用下，沿BDA从从B回到回到A点，点，D如果质点沿如果质点沿ACBDA封闭路封闭路径一周，引力作功为：径一周，引力作功为：称为称为保守力保守力本讲稿第二十五页，共五十六页rarbABoMCD保守力保守力沿任意闭合路径的积分为零！沿任意闭
11、合路径的积分为零！可以证明：弹性力、力、可以证明：弹性力、力、静电场力等均静电场力等均 为保守力。为保守力。若某种力作功与具体路径有关，该种作用力称为若某种力作功与具体路径有关，该种作用力称为耗散力耗散力。如如摩擦力、爆炸力等摩擦力、爆炸力等本讲稿第二十六页，共五十六页二、势能二、势能 仍以引力为例仍以引力为例按照动能定理：按照动能定理：若质点在引力场中运动（只受引力用）若质点在引力场中运动（只受引力用）引力场引力场或或本讲稿第二十七页，共五十六页质点在引力场中运动时，引力场作功（或正负），质点在引力场中运动时，引力场作功（或正负），但是：但是：有一个不变物理量！有一个不变物理量！它与质点所处
12、空间点关。它与质点所处空间点关。质点的动能与其在引力场中的空间位置有关。质点的动能与其在引力场中的空间位置有关。同时，有一个与空间位置一个的量同时，有一个与空间位置一个的量 与动能与动能相对应！相对应！使其与动能的和保持变！使其与动能的和保持变！我们把我们把称为（引力）势能称为（引力）势能 ，通常用，通常用 Ep 表示。表示。质点动能有相应变化（或增大或减小）。质点动能有相应变化（或增大或减小）。本讲稿第二十八页，共五十六页由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有一由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有一 定的定的势能势能与质点所处位置有关。与质点所处位置有关。质点在引力场中运动
13、时，引力场作功（或正负），质点在引力场中运动时，引力场作功（或正负），但是：但是：有一个不变物理量！有一个不变物理量！它与质点所处空间点关。它与质点所处空间点关。质点的动能与其在引力场中的空间位置有关。质点的动能与其在引力场中的空间位置有关。同时，有一个与空间位置一个的量同时，有一个与空间位置一个的量 与动能与动能相对应！相对应！使其与动能的和保持变！使其与动能的和保持变！我们把我们把称为（引力）势能称为（引力）势能 ，通常用，通常用 Ep 表示。表示。质点动能有相应变化（或增大或减小）。质点动能有相应变化（或增大或减小）。本讲稿第二十九页，共五十六页当保守力场作正功时（当保守力场作正功时（A
14、0），），动能增大，动能增大，可以认为这是质点势能减小并转化为可以认为这是质点势能减小并转化为运动能量运动能量的故！的故！势能就是质点在保守力场中所具有的势能就是质点在保守力场中所具有的潜在的能量潜在的能量(Potential Energy)（Kinetic Energy）Conservative 有有“保存保存”的意思。的意思。Conservative force保守力保守力意味着意味着：在保守力场中，质点的动能可以：在保守力场中，质点的动能可以“势能势能”的形式的形式保存起来；也可以通过作功的方式再释放出来成为可对外保存起来；也可以通过作功的方式再释放出来成为可对外作功的作功的“动能动能”
15、。由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有一由此可以设想：质点处于保守力场中时，相应地具有一 定的定的势能势能与质点所处位置有关。与质点所处位置有关。本讲稿第三十页，共五十六页势能增量的负值！势能增量的负值！定义了势能的差值。定义了势能的差值。当保守力场作正功时（当保守力场作正功时（A0），），动能增大，动能增大，可以认为这是质点势能减小并转化为可以认为这是质点势能减小并转化为运动能量运动能量的故！的故！势能就是质点在保守力场中所具有的势能就是质点在保守力场中所具有的潜在的能量潜在的能量(Potential Energy)（Kinetic Energy）Conservative 有有“保
16、存保存”的意思。的意思。Conservative force保守力保守力意味着意味着：在保守力场中，质点的动能可以：在保守力场中，质点的动能可以“势能势能”的形的形式保存起来；也可以通过作功的方式再释放出来成为可式保存起来；也可以通过作功的方式再释放出来成为可对外作功的对外作功的“动能动能”。本讲稿第三十一页，共五十六页按照势能定义式：势能还可以有一个常量的差！按照势能定义式：势能还可以有一个常量的差！如引力势能：如引力势能：常量可任意选择！常量可任意选择！对引力情况，通常取无限远为势能零点。对引力情况，通常取无限远为势能零点。弹性势能：弹性势能：重力势能：重力势能：z=0处为势能零点。处为势
17、能零点。x=0处为势能零处为势能零点。点。势能增量的负值！势能增量的负值！定义了势能的差值。定义了势能的差值。本讲稿第三十二页，共五十六页 空间某点的势能空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。能零点时保守力作的功。势能的大小只有相对的意义，相对于势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点势能零点而而言。势能零点可以任意选取。言。势能零点可以任意选取。势能是相互作用有保守力的系统的属性。势能是相互作用有保守力的系统的属性。说明说明 设空间设空间 点为点为势能零点势能零点，则空间任意一点，则空间任意一点 的势的势能为：能为：本讲稿第三十三
18、页，共五十六页例例3-8 轻弹簧原长轻弹簧原长l0，劲度系数为，劲度系数为k，下端悬挂质量为，下端悬挂质量为m的的重物。已知弹簧重物在重物。已知弹簧重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了点达到平衡，此时弹簧伸长了x0，现取，现取x 轴向下为正，原点位于：轴向下为正，原点位于：(1)弹簧原长位置弹簧原长位置,(2)力力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置分别计算重物在任一位置 P 时系统的总势能。时系统的总势能。解：解：(1)以弹簧原长点以弹簧原长点O 为坐标原为坐标原点，系统总势能：点，系统总势能：xmO O
19、Px0 x本讲稿第三十四页，共五十六页(2)若以重力与弹性力合力的平衡若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有：位置为原点，则有：任意位置任意位置 x 处的系统总势能：处的系统总势能：xmO OPx0 x本讲稿第三十五页，共五十六页三、保守力与势能的关系三、保守力与势能的关系1.积分关系积分关系2.微分关系微分关系本讲稿第三十六页，共五十六页例例3-9 已知地球半径已知地球半径 R，物体质量，物体质量 m，处在地面，处在地面 2R 处。处。求势能求势能:（1）地面为零势能点；（）地面为零势能点；（2）无限远处为零势能）无限远处为零势能点。点。解：解：本讲稿第三十七页，共五十六页3.3 功能原
20、理功能原理 能量守恒定律能量守恒定律 一、质点系动能定理一、质点系动能定理设设质点系质点系由由N个质点组成个质点组成 mi (i=1,2,3,N)速度为速度为 受力为：受力为：外力外力 内力内力 按质点动能定理：对任一质点按质点动能定理：对任一质点 mi 有有 初态初态 末态末态 本讲稿第三十八页，共五十六页对每个质点对每个质点都适用！都适用！对整个质点系对整个质点系质点系的动能定理。质点系的动能定理。一般情况下，内力作功总和一般情况下，内力作功总和 不等于零。不等于零。初态初态 末态末态 本讲稿第三十九页，共五十六页一对力的功一对力的功分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反分别作用在两个物
21、体上的大小相等、方向相反的力，我们称之为的力，我们称之为“一对力一对力”。f1=-f2 f2 2 1一对力通常是作用力与反作用力，但也可以不是。如图示一对力通常是作用力与反作用力，但也可以不是。如图示m1 yB2 f1 f2dr1dr2r21m2xB1 A1z A2or1r2 m2相对于相对于m1的元位移。的元位移。令：令：(1)表示初位形，即表示初位形，即 m1 在在A1，m2在在A2；(2)表示末位形，即表示末位形，即 m 在在B1，m2在在B2。一对力一对力本讲稿第四十页，共五十六页一般情况下，一般情况下，不为零！不为零！本讲稿第四十一页，共五十六页讨论讨论1.A对与参考系选取无关。对与
22、参考系选取无关。2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。一对滑动摩擦力的功恒小于零。（摩擦生热是一对滑动（摩擦生热是一对滑动 摩擦力作功的结果）。摩擦力作功的结果）。3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，一对力的功必为零。一对力的功必为零。Sm f地面地面S f以地面为参考系：以地面为参考系：以滑块为参考系：以滑块为参考系：NNv1Mv12光滑光滑m21v2v2本讲稿第四十二页，共五十六页如若将质点系内各质点相互作用的如若将质点系内各质点相互作用的内力内力分成保守内力分成保守内力和非保守内力和非保守内力则内力做的总功则内力做的总功 也可以作相应分解
23、：也可以作相应分解：质点系的动能定理可改写为质点系的动能定理可改写为 二、二、功能原理（功能原理（work-energy theorem）（1 1）保守力）保守力Conservative Forcec（2）非保守力）非保守力nonconservative Forcenc该式称为该式称为功能原理功能原理依势能定义，内保守力依势能定义，内保守力作功可表示成质点系势能差：作功可表示成质点系势能差：代表质点系的机械能代表质点系的机械能设设本讲稿第四十三页，共五十六页本讲稿第四十四页，共五十六页按功能原理，要改变一系统的机械能按功能原理，要改变一系统的机械能 ，可通过外力对，可通过外力对系统作功，也可利
24、用系统的非保守内力作功；系统作功，也可利用系统的非保守内力作功；三、三、能量转换和守恒定律能量转换和守恒定律系统内部非保守内力作功都会使系统的机械能发生变化系统内部非保守内力作功都会使系统的机械能发生变化前者是外界与系统间的能量交换，后者则是系统内部前者是外界与系统间的能量交换，后者则是系统内部机械能与非机械能之间的转换。机械能与非机械能之间的转换。对于孤立系统对于孤立系统功能原理功能原理实验事实证明：实验事实证明：在孤立系统中机械能增加在孤立系统中机械能增加or减少减少时，就有等量的非机械能减少时，就有等量的非机械能减少or增加增加，从而保持系从而保持系统的总能量（机械能与非机械之和）不变。
25、统的总能量（机械能与非机械之和）不变。能量转换和守恒定律能量转换和守恒定律本讲稿第四十五页，共五十六页当外力对系统不作功；系统内也无非保守内力作功当外力对系统不作功；系统内也无非保守内力作功（或内力作功总和为零）时：（或内力作功总和为零）时：在孤立系统中非保守内力不作功时，系统中的动能在孤立系统中非保守内力不作功时，系统中的动能与势能可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互与势能可以彼此转化，各质点的机械能也可以相互交换，但系统的总机械能为恒量交换，但系统的总机械能为恒量.机械能守恒定律机械能守恒定律四、机械能守恒定律四、机械能守恒定律(law of conservation of mechan
26、ical energy)由功能原理：由功能原理：注意注意本章讨论的动能定理、功能原理、机械能守恒本章讨论的动能定理、功能原理、机械能守恒等都是针对某惯性系的结论！等都是针对某惯性系的结论！本讲稿第四十六页，共五十六页解：解：(a)原长原长(b)初态初态(c)末态末态系统系统AB地球地球初态和末态初态和末态“定义定义”如图示，用一弹簧将质量分别为如图示，用一弹簧将质量分别为 和和 的上的上下两块水平木板下两块水平木板A和和B相连，相连，B板放在地面上板放在地面上试求：对试求：对A需加多大压力需加多大压力F，才能因突然撤，才能因突然撤去它使去它使A跳起过程中提拉起跳起过程中提拉起B?例例3-10本
27、讲稿第四十七页，共五十六页(c)末态末态从初态到末态从初态到末态的能量转化。的能量转化。初态和末态的初态和末态的总动能为零。总动能为零。初态：初态：末态：末态：根据机械能守恒根据机械能守恒(a)原长原长(b)初态初态本讲稿第四十八页，共五十六页 例例3-11 3-11 劲度系数为劲度系数为k k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连一质量为端连一质量为m的物体，物体与桌面间摩擦系数为的物体，物体与桌面间摩擦系数为 ，若，若向右以恒力向右以恒力 拉原静止在平衡位置的该物体，求物体到达拉原静止在平衡位置的该物体，求物体到达最远位置时系统的势能多大？最远位置时系统的势能多大
28、？解：解：开始及到达最远位置时，物体速度开始及到达最远位置时，物体速度为零，系统机械能变化为：为零，系统机械能变化为：在整个运动过程中，在整个运动过程中，有弹性力、摩擦力、有弹性力、摩擦力、及外力及外力F参与作功。参与作功。利用功能原理：利用功能原理：本讲稿第四十九页，共五十六页例例3-12 如图所示，一质量为如图所示，一质量为m，长为，长为l的柔索放在桌面上，的柔索放在桌面上，柔索跨过滑轮下垂，滑轮很小，其质量不计，柔索与桌面间柔索跨过滑轮下垂，滑轮很小，其质量不计，柔索与桌面间摩擦系数为摩擦系数为。试求：。试求：（1）柔索下垂长度至少为多大时，柔索开始下滑？）柔索下垂长度至少为多大时，柔索
29、开始下滑？（2）当柔索全部离开桌面时，柔索的速度多大？）当柔索全部离开桌面时，柔索的速度多大？解解:(1)附加条件：附加条件：本讲稿第五十页，共五十六页(2)利用功能原理利用功能原理机械能变化：机械能变化：设桌面上长度设桌面上长度(1x)摩擦力摩擦力由功能原理由功能原理本讲稿第五十一页，共五十六页例例3-13 光滑水平面上放有质量为光滑水平面上放有质量为m1的沙箱，由左方飞来的沙箱，由左方飞来质量为质量为m2的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进的弹丸从箱左侧击入，在沙箱中前进l 距离后停距离后停止。在这段时间中沙箱向右运动了距离止。在这段时间中沙箱向右运动了距离s，此后沙箱带着，此后沙箱带着弹丸以
30、匀速弹丸以匀速 v 运动。求运动。求(1)沙箱对弹丸的平均阻力沙箱对弹丸的平均阻力F；(2)弹丸初速弹丸初速v0；(3)沙箱沙箱-弹丸系统损失的机械能。弹丸系统损失的机械能。(2)对弹丸，应用动能定理：对弹丸，应用动能定理：(1)对沙箱对沙箱,应用动能定理：应用动能定理：解：解：s+l s本讲稿第五十二页，共五十六页(3)机械能变化：机械能变化：一对非保守内力一对非保守内力(耗散力耗散力)做做负功，使系统动能减少。负功，使系统动能减少。s+l s本讲稿第五十三页，共五十六页例例3-14 计算第一、第二宇宙速度。计算第一、第二宇宙速度。第一宇宙速度第一宇宙速度已知：地球半径为已知：地球半径为R，
31、质量为，质量为M，卫星质，卫星质量为量为m。要使卫星在距地面。要使卫星在距地面h高度绕地球作高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。匀速圆周运动，求其发射速度。解：解：设发射速度为设发射速度为v1，绕地球的运动速度为，绕地球的运动速度为v。机械能守恒：机械能守恒：万有引力提供向心力：万有引力提供向心力：RMm本讲稿第五十四页，共五十六页得：得：第一宇宙速度第一宇宙速度本讲稿第五十五页，共五十六页第二宇宙速度第二宇宙速度宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度。宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度。(1)脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。(2)脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。由机械能守恒：由机械能守恒：得：得：本讲稿第五十六页，共五十六页