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1、2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 设集合A=0,1,3，集合B=2,3,4，则AB( ) A.3B.0,1,3,3,4C.0,1,2,4D.0,1,2,3,42. 设aR，则“a1”是“a2a”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 函数f(x)=(x+1)0|x|x的定义域为( ) A.(,0)B.(,1)C.(,1)(1,0)D.(,0)(0,+)4. 函数y=4xx2+1的图象大致为( ) A.B.C.D.5. 已知命题p：“x00，x0+t1=0”，若p为真命题，则实数t的取值范围是( ) A
2、.1,+B.,1C.1,+)D.(,16. 若不等式4x+1x+20的解集相同，则a，b的值为( ) A.a=8，b=10B.a=4，b=9C.a=1，b=9D.a=1，b=27. 下列命题中，正确的是( ) A.若ab，cd，则acbdB.若acbc，则abC.若ac2bc2，则ab，cd，则acbd8. 已知函数fx的定义域为R，fx是偶函数，f4=2，fx在,0上是增函数，则不等式f4x12的解集为( ) A.34,54B.,3454,+C.,54D.34,+二、多选题 已知函数fx是一次函数，满足ffx=9x+8，则fx的解析式可能为( ) A.fx=3x+2B.fx=3x2C.fx=
3、3x+4D.fx=3x4 下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.x=x12B.6y2=y12y0 若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域内的任意x，有f(x)+f(x)=0；(2)对于定义域内的任意x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)x1x20，则称函数f(x)为“理想函数”给出下列四个函数是“理想函数”的是( ) A.f(x)=x2B.f(x)=x3C.f(x)=x1xD.f(x)=x2，x0，x2，x0，b0，则下列结论正确的有( ) A.a2+b2a+b22B.若1a+4b=2，则a+b92C.若ab+b2=2，则a+3b4D.若ab0，则a+1bb+1a三、填空题
4、 集合A=a2,2a2+5a,12，且3A，则a=_ 已知9a=3，lnx=a，则x=_ 已知x1，x2是函数fx=x22k+1x+k2的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数k的取值范围是_. 已知正实数a，b满足a+b=1，则(1)ab的最大值是_；(2)1a+2+1b+2的最小值是_ 四、解答题 已知A=x|2x4，B=x|m+1x2m1. (1)若m=2，求A(RB)； (2)若AB=，求m的取值范围. 计算： (1)1.513+80.2542+(323)6(23)23； (2)lg12lg58+lg12.5log89log278 已知p：A=x|x25x+60，q：B=x|x2a+
5、a2x+a30,a1. (1)若a=2，求集合B； (2)如果q是p的必要条件，求实数a的取值范围 已知函数f(x)=xx2+1 (1)判断并证明函数f(x)的奇偶性； (2)判断当x(1,1)时函数f(x)的单调性，并用定义证明； (3)若f(x)定义域为(1,1)，解不等式f(2x1)+f(x)a，解得a1或a1是a2a的充分不必要条件.故选A.3.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法【解析】由0指数幂的底数不等于0，分母中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求得x的取值集合得答案【解答】解：要使原函数有意义，则x+10，|x|x0，解得x0时，f(x)0，故排除B.故选A.5.【答案】
6、B【考点】全称命题与特称命题【解析】根据题目所给信息可得命题p为真命题，进而即可得到t的取值范围.【解答】解：由x0+t1=0，得x0=1t.已知命题p:“x00，x0+t1=0”为真命题，即1t0，解得t1，则实数t的取值范围为(,1).故选B.6.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法根与系数的关系【解析】先求出分式不等式的解集，进而即可得到另一个不等式的根的情况，利用韦达定理进行求解即可.【解答】解：已知不等式4x+1x+20，即(4x+1)(x+2)0，解得2x14.又不等式4x+1x+20的解集相等，则不等式ax2+bx20的解集为2x14，则方程ax2+bx2=0的两根分别为x1=
7、2，x2=14.由根与系数的关系，得x1x2=2a=12，x1+x2=ba=94，解得a=4，b=9.故选B.7.【答案】C【考点】不等式的基本性质【解析】根据特殊值法判断A，D，根据不等式的性质判断B，C即可【解答】解：令a=1，b=1，c=1，d=5，显然A，D不成立，对于B：若c0，得：a2，即f(4x1)f(4)，且xR，则|4x1|4，解得34x54.故选A.二、多选题【答案】A,D【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】利用待定系数法求解，设fx=kx+b，由题意可知ffx=kkx+b+b=k2x+kb+b=9x+8，从而得k2=9kb+b=8，进而求出k和b的值【解答】解：由题
8、意，设fx=kx+b，则ffx=kkx+b+b=k2x+kb+b=9x+8，即k2=9，kb+b=8，解得k=3,b=2 或k=3，b=4,所以fx=3x+2或fx=3x4.故选AD【答案】C,D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】根据题目所给信息利用根式与分式指数幂互化的法则，逐一进行筛选即可.【解答】解：对于选项A，x=x12x12，故选项A错误；对于选项B，6y2=y13(y0时，3(x)234=|x|2334=x12，故选项D正确.故选CD.【答案】B,D【考点】函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断函数新定义问题【解析】由“理想函数”的定义可知：若f(x)是“理想函数”
9、，则f(x)为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数一一判断即可【解答】解：对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(x)=0，即f(x)=f(x)，故函数f(x)是奇函数.对于定义域上的任意x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)x1x20，即(x1x2)f(x1)f(x2)0， 当x1f(x2)，即函数f(x)是单调递减函数，故f(x)为定义域上单调递减的奇函数A，f(x)=x2在定义域R上是偶函数，所以不是“理想函数”，故选项A不符合题意；B，f(x)=x3在定义域R上是奇函数，且在R上单调递减，所以是“理想函数”，故选项B符合题意；C，f(x)=x1x在定义域(,0)，(0,+)
10、上分别单调递增，所以不是“理想函数”，故选项C不符合题意；D，f(x)=x2，x0，x2，x0，b0，由基本不等式，得a2+b22ab，即2a2+b2a+b2，即2(a2+b2)(a+b)2=a+b，故a2+b2a+b22，当且仅当a=b时取等号，故A选项错误；B，因为a0，b0，121a+4b=1，所以a+b=12(a+b)(1a+4b)=12(5+ba+4ab)12(5+2ba4ab)=92，当且仅当1a+4b=2，ba=4ab，即a=32，b=3时取等号，故B选项正确；C，由a0，b0，ab+b2=a+bb=2，由基本不等式，得a+3b=a+b+2b22ba+b=4，当且仅当ab+b2=
11、2，a+b=2b，即a=b=1时取等号，故C选项正确；D，若ab0，则1b1a0，此时a+1bb+1a成立，故D选项正确.故选BCD三、填空题【答案】32【考点】元素与集合关系的判断【解析】利用3A，求出a的值，推出结果即可【解答】解：集合A=a2,2a2+5a,12，且3A，所以a2=3或2a2+5a=3，解得a=1或a=32.当a=1时，a2=2a2+5a=3，不符合题意，舍去.所以a=32故答案为：32【答案】e【考点】对数的运算性质【解析】由指数的运算性质化简等式右边，等式两边化为同底数的对数后可得x的值【解答】解：由9a=3，得a=12， lnx=12=lne，解得x=e.故答案为：
12、e.【答案】k|0k2【考点】函数的零点【解析】（1）由已知,关于x的方程的两个根一个大于1，一个小于1，可得f(1)0，由此构造关于k的不等式，解不等式，即可得到k的取值范围【解答】解：x1，x2是函数fx=x22k+1x+k2的两个零点且一个大于1，一个小于1，f(1)0，即1(2k+1)+k20，解得0k2.故答案为：k|0k2.【答案】14,45【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）由基本不等式可求解本题;【解答】解：(1)因为a+b=1，所以由基本不等式，aba+b22=14，当且仅当a=b时等号成立，所以ab的最大值是14；(2)因为a+b=1，所以a+2+b+2=5，
13、所以1a+2+1b+2=15(a+2+b+2)1a+2+1b+2=152+b+2a+2+a+2b+2152+2b+2a+2a+2b+2=45,当且仅当b+2a+2=a+2b+2，即a=b=12时等号成立,所以1a+2+1b+2的最小值为45.故答案为：14；45.四、解答题【答案】解：(1)当m=2时，B=x|1x3，所以RB=x|x3.又A=x|2x4，所以A(RB)=x|3x4.(2)当B=时，2m1m+1，解得m4或 2m1m+1,2m12,解得23m32.综上所述，m的取值范围是(,32).【考点】交、并、补集的混合运算集合关系中的参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当m
14、=2时，B=x|1x3，所以RB=x|x3.又A=x|2x4，所以A(RB)=x|3x4.(2)当B=时，2m1m+1，解得m4或2m1m+1,2m12,解得23m1， B=a,a2. q是p的必要条件，可得a2，a23，解得3a2.【考点】一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】【解答】解：(1)当a=2时，x2a+a2x+a3=x26x+8.由x26x+80，解得2x4，即B=x|2x4，故B=2,4.(2)由题意可知，A=x|x25x+60， A=2,3又B=x|x2a+a2x+a30,a1， B=a,a2. q是p的必要条件，可得a2，a23，解得3a2.【答案】解：
15、(1)函数f(x)为奇函数. 证明如下： 函数定义域为R，又f(x)=x(x)2+1=xx2+1=f(x)， f(x)=xx2+1为奇函数.(2)函数f(x)在(1,1)上单调递增. 证明如下：任取x1，x2(1,1)，且x1x2，则f(x1)f(x2)=x1x12+1x2x22+1=x1(x22+1)x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=(x2x1)(x1x21)(x12+1)(x22+1). x1，x2(1,1)，且x10，x1x210，x22+10， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， f(x)在(1,1)上单调递增.(3)由(1)可知，f(x)为奇函数， f(2
16、x1)+f(x)0等价于f(2x1)f(x)=f(x)，由(2)可知，f(x)在(1,1)上单调递增， 2x1x,12x11,1x1,解得0x13， 不等式的解集为x|0x13.【考点】函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明不等式的基本性质函数奇偶性的性质【解析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可判断；（2）任取x1，x2(1,1)，且x1x2，通过作差可判断f(x1)与f(x2)的大小，根据单调性的定义即可作出判断；（3）利用函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式，注意考虑函数的定义域；【解答】解：(1)函数f(x)为奇函数. 证明如下： 函数定义域为R，又f(x
17、)=x(x)2+1=xx2+1=f(x)， f(x)=xx2+1为奇函数.(2)函数f(x)在(1,1)上单调递增. 证明如下：任取x1，x2(1,1)，且x1x2，则f(x1)f(x2)=x1x12+1x2x22+1=x1(x22+1)x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=(x2x1)(x1x21)(x12+1)(x22+1). x1，x2(1,1)，且x10，x1x210，x22+10， f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)， f(x)在(1,1)上单调递增.(3)由(1)可知，f(x)为奇函数， f(2x1)+f(x)0等价于f(2x1)f(x)=f(x)，由(2)可
18、知，f(x)在(1,1)上单调递增， 2x1x,12x11,1x1,解得0x13， 不等式的解集为x|0x25时，不等式ax258+50+16(x2600)+15x有解，即当x25时，a150x+16x+15有解由于150x+16x2150xx6=10，当且仅当150x=x6，即x=30时等号成立，所以a10.2，所以，当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时商品的每件定价为30元【考点】一元二次不等式的应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】(1)设每件定价为x元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，
19、解不等式可得每件最高定价；(2)由题意，x25时，不等式ax258+50+16(x2600)+15x有解，等价于x25时，a150x+16x+15有解，利用基本不等式，我们可以求得结论【解答】解：(1)设每件定价最多为t元.由题意，得(8t2510.2)t258，整理，得t265t+10000，解得25t40，所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元(2)由题意可知，当x25时，不等式ax258+50+16(x2600)+15x有解，即当x25时，a150x+16x+15有解由于150x+16x2150xx6=10，当且仅当150x=x6，即x=30时等号成立，所以a10.2，所
20、以，当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时商品的每件定价为30元【答案】解：(1)由题意，设fx=ax2+bx+ca0.fx+1fx=2x+1，即a(x+1)2+b(x+1)+cax2bxc=2ax+a+b=2x+1，2a=2，a+b=1，解得a=1，b=2.又f2=15，即4a+2b+c=15，解得c=15， fx=x2+2x+15.(2)由(1)可知，fx=x2+2x+15，则g(x)=(12m)xf(x)=x2(2m+1)x15，故对称轴为x=m+12. 函数gx在区间0,2上不是单调函数， 0m+122， m(12,32)
21、.由可知，函数gx的对称轴为x=m+12.当m+120时，即m12时，gxmin=g0=15；当0m+122，即12m32时，gxmin=gm+12=m2m614；当m+122，即m32时，gxmin=g2=4m13.综上所述，g(x)min=15，m12，m2m614，12m32，4m13，m32.【考点】函数解析式的求解及常用方法二次函数的性质二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：(1)由题意，设fx=ax2+bx+ca0.fx+1fx=2x+1，即a(x+1)2+b(x+1)+cax2bxc=2ax+a+b=2x+1，2a=2，a+b=1，解得a=1，b=2.又f2=15，即4a+2b+c=15，解得c=15， fx=x2+2x+15.(2)由(1)可知，fx=x2+2x+15，则g(x)=(12m)xf(x)=x2(2m+1)x15，故对称轴为x=m+12. 函数gx在区间0,2上不是单调函数， 0m+122， m(12,32).由可知，函数gx的对称轴为x=m+12.当m+120时，即m12时，gxmin=g0=15；当0m+122，即12m32时，gxmin=gm+12=m2m614；当m+122，即m32时，gxmin=g2=4m13.综上所述，g(x)min=15，m12，m2m614，12m32，4m13，m32.第17页 共20页 第18页 共20页