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1、2020-2021学年内蒙古某校高一（上）第二次月考数学试卷（理科）一、单选题（共12题；共60分）1. 把1485转化为+k360(0b，则下列不等式一定成立的是（ ） A.|a|b|B.ln(ab)0C.a2b2D.2a2b3. 已知是第二象限的角，tan=12，则cos等于（ ） A.55B.15C.255D.454. 下列区间，包含函数f(x)=lnx1x23零点的是（ ） A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5. 函数y=log12(x23x+2)的递增区间是（ ） A.(,1)B.(2,+)C.(,32)D.(32，+)6. 求函数y=2xx1的值域（ ） A.
2、0,+)B.178,+)C.54,+)D.158,+)7. 函数f(x)=x2+ln|x|2x2的图象大致为（ ） A.B.C.D.8. 幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么a1b=( ) A.0B.1C.12D.29. 设函数f(x)=2x，x0，1,x0，则满足f(x+1)0，g(x)=f(x)+x2a若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A.1,12B.(,12C.1,+)D.(,011. 函数y=l
3、nax2+2x1的值域为R，则实数a的取值范围是( ) A.0,+)B.1,0)(0,+)C.(,1)D.1,1)12. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2，对任意的xt,t+2不等式f(x+t)2f(x)恒成立，那么实数t的取值范围是（ ） A.2,+)B.2,+)C.(0,2D.0,2二、填空题（共4题；共20分） 若集合A=x|x23x+20，B=x|xa，若AB，则最小的整数a为_ 设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_ 已知函数f(x)=ln(1+x2x)+1，f(a)4，则f(a)_ 已知关于x的函数y=loga(2ax)在(0,
4、1)上是减函数，则a的取值范围是_ 三、解答题（共6题；共70分） （1）已知P(1,22)是角终边上一点，求sin，cos，tan的值； （2）已知tantan1=1，求下列各式的值：sin3cossin+cos；sin2+sincos+2cos2 已知全集为R，函数f(x)=log(x2)的定义域为集合A，集合B=x|x2x60 （1）求AB； （2）若C=x|1m0 （1）求a的值； （2）判断函数f(x)在(1,+)的单调性，并写出证明过程； （3）当x3,4时，不等式f(x)2x2+m恒成立，求实数m的取值范围 某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每
5、毫升血液中的含药量y(g)与服药后的时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线其中OA是线段，曲线段AB是函数ykat（t1，a0，k，a是常数）的图象 （1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式； （2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2(g)时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6:00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？ （3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后在过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少g？（精确到0.1g） 已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx，(kR)为偶函数(1)求k的值；(2)若方程f(x)=log4(a2xa)有且只有一个
6、根，求实数a的取值范围 对于函数f(x)，若存在实数对(a,b)，使得等式f(a+x)f(ax)b对定义域中的任意x都成立，则称函数f(x)是“(a,b)型函数” （1）若函数f(x)2x是“(a,b)型函数”且a+log12b1，求出满足条件的实数对(a,b)； （2）已知函数h(x)=42xx+1，函数g(x)是“(a,b)型函数对应的实数对(a,b)为(1,4)，当x0,1时，g(x)x2m(x1)+1(m0)若对任意x10,2时，都存在x20,1，使得g(x1)h(x2)，试求m的取值范围参考答案与试题解析2020-2021学年内蒙古某校高一（上）第二次月考数学试卷（理科）一、单选题（
7、共12题；共60分）1.【答案】D【考点】终边相同的角【解析】根据所给的角是一个负角，用一个360的整倍数的负角，且负角度绝对值比所给的负角度绝对值大，再加上一个周角内的正角，得到结果【解答】解：1485=1800+315=5360+315.故选D.2.【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】利用特殊值法可判断选项A，B，C；由指数函数的单调性可判断选项D【解答】对于A，取a=1，b=2，|a|b|，故A错误；对于B，取a=1，b=2，可得ab=1，则ln(ab)=0，故B错误；对于C，取a=1，b=2，a2b，所以2a2b，故D正确3.【答案】C【考点】同角三角函数间的基本关系【解析】根据
8、tan=sincos，以及sin2+cos21即可求出答案【解答】解： tan=12=sincos， 2sincos又 sin2+cos21，是第二象限的角， cos=255故选C.4.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】分别计算f(1)，f(2)，f(3)，根据零点判定定理即可进行判断【解答】因为f(1)=530，f(2)ln2760，故区间(2,3)包含函数f(x)的零点，故选：C5.【答案】A【考点】对数函数的单调区间【解析】由x23x+20得x2，由于当x(,1)时，f(x)=x23x+2单调递减，由复合函数单调性可知y=log0.5(x23x+2)在(,1)上是单调递增的，在
9、(2,+)上是单调递减的【解答】解：由x23x+20得x2，当x(,1)时，f(x)=x23x+2单调递减，而0120，f(12)=14ln40的图象如图：满足f(x+1)f(2x)，可得：2x0x+1或2x0时，可由0保障内层函数的值域能取到全体正实数【解答】解： 函数y=lnax2+2x1的值域为R， 当a=0时，只需保证x12，即可使得函数y=lnax2+2x1的值域为R；当a0时，a0,4+4a0,解得a0，综上知实数a的取值范围是0,+)，故选A12.【答案】A【考点】函数奇偶性的性质【解析】由当x0时，f(x)=x2，函数是奇函数，可得当x0时，f(x)=x2，从而f(x)在R上是
10、单调递增函数，且满足2f(x)=f(2x)，再根据不等式f(x+t)2f(x)=f(2x)在t,t+2恒成立，可得x+t2x在t,t+2恒成立，即可得出答案【解答】解： f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=x2 当x0，f(x)=(x)2， f(x)=x2，即f(x)=x2， f(x)=x2，x0x2，x2，从而得到答案【解答】集合A=x|x23x+20=x|1x2，B=x|x2，即最小的整数a为3，【答案】2【考点】扇形面积公式弧度制的应用弧度与角度的互化【解析】设扇形的圆心角的弧度数为，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，求出l和r，由弧
11、度的定义求即可【解答】解：S=12(82r)r=4，r24r+4=0，r=2，l=4，|=lr=2故答案为：2【答案】2【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由函数的解析式分析可得f(x)+f(x)2，即有f(a)+f(a)2，又由f(a)4，分析可得答案【解答】根据题意，f(x)=ln(1+x2x)+1，则f(x)=ln(1+x2+x)+1，则f(x)+f(x)2，即有f(a)+f(a)2，又由f(a)4，则f(a)2；【答案】(1,2【考点】复合函数的单调性【解析】由题意可得，a12a10，（1），或0a12a10（1），或0a12a0y2ax是增函数(2)，解（1）求得10得，
12、函数f(x)=log(x2)的定义域A=x|x2，x2x60，(x3)(x+2)0，得B=x|x2或x3， AB=x|x3， RB=x|2x3，Cx|2x3，(i)当C=时，满足需求，此时1mm，解得m12；(ii)当C时，要Cx|2x3，则1mm1m2m3，解得12m3；由(i)、(ii)得，实数m的取值范围是：(,3)【考点】交集及其运算交、并、补集的混合运算【解析】（1）求出函数f(x)的定义域，化简集合B，计算AB；（2）根据集合Cx|2x0得，函数f(x)=log(x2)的定义域A=x|x2，x2x60，(x3)(x+2)0，得B=x|x2或x3， AB=x|x3， RB=x|2x3
13、，Cx|2x3，(i)当C=时，满足需求，此时1mm，解得m12；(ii)当C时，要Cx|2x3，则1mm1m2m3，解得12m0，得(x1)(ax+1)0，有x1或x1a，根据奇函数的定义域关于原点对称，有1a1，解得a=1函数f(x)在(1,+)上单调递增证明如下：对任意的x1，x2(1,+)，且x1x2，由f(x1)f(x2)log2(x11)(x1+1)log2(x21)(x2+1)+(x1x2)=log2(x11)(x1+1)(x2+1)(x21)+(x1x2)(*)由(x11)(x2+1)(x1+1)(x21)=2(x1x2)0，所以有0(x11)(x1+1)(x2+1)(x21)
14、1，有log2(x11)(x1+1)(x2+1)(x21)0，又因为x1x20，有(*)式为负，因此f(x1)f(x2)0，即，f(x1)2x2+m恒成立，有mf(x)+2x2，由（2）知f(x)在(1,+)上单调递增，又因为2x2在(1,+)上单调递增，就有f(x)+2x2在(1,+)上单调递增，当x3,4时，f(x)+2x2在3,4上单调递增要使mf(x)+2x2恒成立，只需mf(3)+232，解得，m2x2+m恒成立，求出a的表达式，利用函数恒成立求解a的范围即可【解答】由x1ax+10，得(x1)(ax+1)0，有x1或x1a，根据奇函数的定义域关于原点对称，有1a1，解得a=1函数f
15、(x)在(1,+)上单调递增证明如下：对任意的x1，x2(1,+)，且x1x2，由f(x1)f(x2)log2(x11)(x1+1)log2(x21)(x2+1)+(x1x2)=log2(x11)(x1+1)(x2+1)(x21)+(x1x2)(*)由(x11)(x2+1)(x1+1)(x21)=2(x1x2)0，所以有0(x11)(x1+1)(x2+1)(x21)1，有log2(x11)(x1+1)(x2+1)(x21)0，又因为x1x20，有(*)式为负，因此f(x1)f(x2)0，即，f(x1)2x2+m恒成立，有mf(x)+2x2，由（2）知f(x)在(1,+)上单调递增，又因为2x2
16、在(1,+)上单调递增，就有f(x)+2x2在(1,+)上单调递增，当x3,4时，f(x)+2x2在3,4上单调递增要使mf(x)+2x2恒成立，只需mf(3)+232，解得，m20【答案】当0t1时，y8t；当t1时，把A(1,8)、B(7,1)代入ykat，得ka=8ka7=1，解得a=22k=82，故y=8t,(0t1)82(22)t,(t1)设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则t182(22)t=2，解得t5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11:00服药；第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：y1=82(22)8=22g含第二次服药量为：y2=82(22
17、)3=4g所以此时两次服药剩余的量为22+44.7g故该病人每毫升血液中的含药量为4.7g【考点】指数函数的实际应用【解析】（1）由图象知，0t0，k，a是常数）即可得到函数的解析式；（2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可；（3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量【解答】当0t1时，y8t；当t1时，把A(1,8)、B(7,1)代入ykat，得ka=8ka7=1，解得a=22k=82，故y=8t,(0t0即：令2x=t0(1a)t2+at+1=0，(1)ata0,(2)函数y=(1a)t2+at+1的图
18、象过定点(0,1)，(1,2)如图所示：若方程(1)仅有一正根，只有如图的三种情况，可见：a1，即二次函数y=(1a)t2+at+1的开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式(2)，当二次函数y=(1a)t2+at+1的开口向上，只能是与x轴相切的时候，此时a1或a=222【考点】根的存在性及根的个数判断函数奇偶性的性质【解析】(I)根据偶函数可知f(x)=f(x)，取x=1代入即可求出k的值；(II)根据方程f(x)=log4(a2xa)有且只有一个实根，化简可得4x+1a2xa=4x2=2x有且只有一个实根，令t=2x0，则转化成新方程有且只有一个正根，结合函数的图象讨论a的取值，即可求
19、出实数a的取值范围【解答】解：(I)由题意得f(x)=f(x)，即log4(4x+1)+k(x)=log4(4x+1)+kx，化简得log44x+14x+1=2kx，从而4（2k+1）x=1，此式在xR上恒成立， k=12(II)由题意，原方程化为4x+1a2xa=4x2=2x且a2xa0即：令2x=t0(1a)t2+at+1=0，(1)ata0,(2)函数y=(1a)t2+at+1的图象过定点(0,1)，(1,2)如图所示：若方程(1)仅有一正根，只有如图的三种情况，可见：a1，即二次函数y=(1a)t2+at+1的开口向下都可，且该正根都大于1，满足不等式(2)，当二次函数y=(1a)t2
20、+at+1的开口向上，只能是与x轴相切的时候，此时a1或a=222【答案】由题意若函数f(x)2x是“(a,b)型函数”则2a+x2axb即4ab代入a+log12b1得a+log124a1，即a2a1得a1，b=14，所求实数对为(1,14)由题意得：g(x)的值域是h(x)值域的子集，易知h(x)在0,1内的值域为1,4，只需使当x0,2时，1g(x)4恒成立即可，g(1+x)g(1x)4，即g(x)g(2x)4，而当x0,1时，2x1,2，故由题意得，要使当x0,2时，都有1g(x)4，只需使当x0,1时，1g(x)4恒成立即可，即1x2m(x1)+14在0,1上恒成立，若x1，显然不等式在0,1成立，若x1，则可将不等式转化为mx2x1mx23x1，显然当m0时，不等式mx2x1成立，令u(x)=x23x1=x12x1+2，x0,1则u(x)在x0,1上单调递增，则u(x)的最小值为u(0)3， 此时m3，综上00时，不等式mx2x1成立，令u(x)=x23x1=x12x1+2，x0,1则u(x)在x0,1上单调递增，则u(x)的最小值为u(0)3， 此时m3，综上0m3，综上所述，所求m的取值范围是(0,3第17页 共20页 第18页 共20页