《2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第六节正弦定理和余弦定理及解三角形课时规范练理含解析新人教版202106182163.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第六节正弦定理和余弦定理及解三角形课时规范练理含解析新人教版202106182163.doc（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第六节第六节 正弦定理和余弦定理及解三角形正弦定理和余弦定理及解三角形A 组组基础对点练基础对点练1在ABC 中，若sin Aacos Bb，则 B 的值为()A30B45C60D90解析：由正弦定理知，sin Asin Acos Bsin B，sin Bcos B，B45.答案：B2在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a sin Ab sin Bc sin C，则ABC 的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定解析：根据正弦定理可得 a2b2c2.由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab0，故 C 是钝角，即ABC 是钝角三角形答案：C3ABC 的
2、内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a 5，c2，cos A23，则 b()A 2B 3C2D3解析：由余弦定理，得 4b222b cos A5，整理得 3b28b30，解得 b3 或 b13(舍去).答案：D4(2021湖南长沙模拟)在ABC 中，A4，b2sin C4 2 sin B，则ABC 的面积为()A1B2C3D4解析：因为 b2sin C4 2 sin B，所以 b2c4 2 b，即 bc4 2，故 SABC12bc sin A2.答案：B5已知锐角ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，23cos2Acos2A0，a7，c6，则 b()A10B9C8
3、D5解析：化简 23cos2Acos2A0，得 23cos2A2cos2A10，解得 cosA15.由余弦定理，知 a2b2c22bc cos A，代入数据，解方程，得 b5.答案：D6(2020广东广州调研)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b 7，c4，cos B34，则ABC 的面积为()A3 7B3 72C9D92解析：由余弦定理 b2c2a22ac cos B，得 716a26a，解得 a3，cos B34，sinB74，SABC12casin B1243743 72.答案：B7(2021河南三市联考)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C
4、的对边，sin AsinB1 3，c2cos C 3，则ABC 的周长为()A33 3B2 3C32 3D3 3解析：因为 sin Asin B1 3，所以 b 3 a，由余弦定理得 cos Ca2b2c22aba2（3a）2c22a 3a32，又 c 3，所以 a 3，b3，所以ABC 的周长为 32 3.答案：C8ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2b cos Ba cos Cc cos A，则 B_解析：由正弦定理可得 2sin B cos Bsin A cos Csin C cos Asin(AC)sin B，所以 cosB12.又因为 0B，所以 B3.答案：
5、39(2019高考全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c，B3，则ABC 的面积为_解析：由余弦定理得 b2a2c22ac cos B.又b6，a2c，B3，364c2c222c212，c2 3，a4 3，SABC12ac sin B124 3 2 3 326 3.答案：6 310设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 b3，c1，A2B，则 cos B的值为_解析：因为 A2B，asin Absin B，b3，c1，所以a2sin B cos B3sin B，可得 a6cos B，由余弦定理可得 a6a2192a，所以 a2 3，所
6、以 cos Ba633.答案：3311(2020四川成都模拟)已知三角形 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sin2A 3 cos 2A，且角 A 为锐角(1)求角 A 的大小；(2)若 a5，b8，求 c 的值解析：(1)由题意，sin 2A 3 cos 2A，即 tan 2A 3.所以 2A3或 2A43.因为角 A 为锐角，所以 A6.(2)由(1)可知 A6，a5，b8，由余弦定理，2bc cos Ac2b2a2，可得 c28 3 c390，解得 c4 3 3 或 4 3 3.B 组组素养提升练素养提升练1已知锐角ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a
7、，b，c.若 B2A，则a sin Ab的取值范围是()A36，32B34，32C12，32D36，12解析：因为 B2A，所以 sin Bsin 2A2sin A cos A，由正弦定理得 ba sin Bsin A2a cos A，所以ab12cos A，所以a sin AbsinA2cos A12tan A.因为ABC 是锐角三角形，所以0A2，0B2A2，0C3A2，解得6A4，所以33tan A1，所以3612tan A12.即a sin Ab的取值范围是36，12.答案：D2 已知在ABC 中，B2A，ACB 的平分线 CD 把三角形分成面积比为 43 的两部分，则 cos A_解
8、析：在ADC 中，由正弦定理得ACsin ADC47ABsin ACDAC47ABsin ADCsin ACD，同理，在BCD 中，有BCsin BDC37ABsin BCDBC37ABsin BDCsin BCD，又 sin ADCsin BDC，sin ACDsin BCD，所以有AC47ABBC37ABAC43BC，由正弦定理得 sin B43sin A，又 B2A，所以 sin B2sin A cos A，所以 cos A23.答案：233(2020福建泉州模拟)已知 a，b，c 分别是ABC 中角 A，B，C 的对边，ac sin A4sinC4c sin A.(1)求 a 的值；(
9、2)圆 O 为ABC 的外接圆(O 在ABC 内部)，OBC 的面积为33，bc4，判断ABC的形状，并说明理由解析：(1)由正弦定理可知，sin Aa2R，sin Cc2R，则 ac sin A4sin C4c sin Aa2c4c4ac.因为 c0，所以 a2c4c4aca244a(a2)20，可得 a2.(2)设 BC 的中点为 D，则 ODBC，所以 SOBC12BCOD.又因为 SOBC33，BC2，所以 OD33，在 RtBOD 中，tan BODBDOD12BCOD133 3.又 0BOD180，所以BOD60，所以BOC2BOD120.因为 O 在ABC 内部，所以A12BOC
10、60，由余弦定理得 a2b2c22bc cos A.所以 4b2c2bc(bc)23bc.又 bc4，所以 bc4，所以 bc2，所以ABC 为等边三角形4(2021福建福州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足(2bc)cosAa cos C.(1)求角 A 的大小；(2)若 a3，求ABC 的周长的最大值解析：(1)由(2bc)cos Aa cos C 及正弦定理，得(2sin Bsin C)cos Asin A cos C，所以 2sin B cos Asin C cos Asin A cos C，所以 2sin B cos Asin(CA)sin B.因为
11、B(0，)，所以 sin B0.因为 A(0，)，cos A12，所以 A3.(2)由(1)得 A3，由正弦定理得bsin Bcsin Casin A3322 3，所以 b2 3 sin B，c2 3 sin C，ABC 的周长 l32 3 sin B2 3 sinB3，32 3 sin B2 3sin B cos3cos B sin333 3 sin B3cos B36sinB6，因为 B0，23，所以当 B3时，ABC 的周长取得最大值，最大值为 9.A 组组基础对点练基础对点练1 已知 A，B 两地间的距离为 10 km，B，C 两地间的距离为 20 km，现测得ABC120，则 A，C
12、 两地间的距离为()A10 kmB10 3 kmC10 5 kmD10 7 km解析：如图所示，由余弦定理可得AC210040021020cos 120700，AC10 7(km).答案：D2(2021江西临川模拟)如图所示，为了测量某湖泊两侧 A，B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A，B 不共线的一点 C(ABC 的角 A，B，C 所对的边分别记为 a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量 A，C，b；测量 a，b，C；测量 A，B，a，则一定能确定 A，B 间的距离的所有方案的序号为()ABCD解析：对于可以利用正弦定理确定唯一的 A，B 两点间的距离，对于直接利用余弦定理即可确定 A
13、，B 两点间的距离答案：D3某船开始看见灯塔在南偏东 30方向，后来船沿南偏东 60的方向航行 15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A5 kmB10 kmC5 3 kmD5 2 km解析：作出示意图(如图)，点 A 为该船开始的位置，点 B 为灯塔的位置，点 C 为该船后来的位置，所以在ABC 中，有BAC603030，B120，AC15，由正弦定理，得15sin 120BCsin 30，即 BC1512325 3，即这时船与灯塔的距离是 5 3 km.答案：C4(2021宁夏银川一中模拟)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选
14、定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出 A，B 两点间的距离为()A50 2 mB50 3 mC25 2 mD25 22m解析：由正弦定理得ABsin ACBACsin B，ABACsin ACBsin B50221250 2，故 A，B 两点间的距离为 50 2 m.答案：A5某位居民站在离地 20 m 高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为 60，小高层底部的俯角为 45，那么这栋小高层的高度为()A20133mB20(1 3)mC10(2 6)mD20(2 6)m解析：如图所示，设 AB 为阳台的高度，CD 为小高层的高度，AE 为水平线由题
15、意知 AB20 m，DAE45，CAE60，故 DE20 m，CE20 3 m，所以 CD20(1 3)m.答案：B6(2020广西五校联考)一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是()A10 2海里B10 3海里C20 3海里D20 2海里解析：画出示意图如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海里，CAB30，ABC4065105，ACB45，根据正弦定理得BCsin 30ABsin 45
16、，解得 BC10 2(海里).答案：A7台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动，离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为()A0.5 小时B1 小时C1.5 小时D2 小时解析：根据题意画出相应的图形，如图所示BEBF30 km，ABD 为等腰直角三角形且 AB40 km，由勾股定理得 ADBD20 2 km，由 BDAD，可得 EDDF，在 RtBED 中，由勾股定理得 ED BE2BD210 km，所以 EF2ED20 km，因此 B 城市处于危险区内的时间为 20201(小时).答案：B8如图所示
17、，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75处，且与它相距 8 2 n mile.此船的航速是_ n mile/h.解析：设航速为 v n mile/h，在ABS 中，AB12v，BS8 2 n mile，BSA45，由正弦定理，得8 2sin 3012vsin 45，所以 v32.答案：329(2021江西九江模拟)如图所示，在四边形 ABCD 中，已知 ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则 BC 的长为_解析：在ABD 中，设 BDx，则 BA
18、2BD2AD22BDADcos BDA，即 142x2102210 xcos 60，整理得 x210 x960，解得 x116，x26(舍去).在BCD 中，由正弦定理得BCsin CDBBDsin BCD，所以 BC16sin 135sin 308 2.答案：8 210.(2020河北衡水模拟)如图所示，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30，塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15角，小王向前走了 1 200 m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸成 60角，则电视塔 CD 的高度为_解析：在ACM 中，MCA601545，AMC180
19、60120，由正弦定理得AMsin MCAACsin AMC，即1 20022AC32，解得 AC600 6.在 RtACD 中，因为 tan DACDCAC33，所以 DCAC tan DAC600 6 33600 2(m).答案：600 2 m11(2020四川成都诊断)如图所示，在平面四边形 ABCD 中，已知 A2，B23，AB6.在 AB 边上取点 E，使得 BE1，连接 EC，ED.若CED23，EC 7.(1)求 sin BCE 的值；(2)求 CD 的长解析：(1)在BEC 中，由正弦定理，知BEsin BCECEsin B，因为 B23，BE1，CE 7，所以 sin BCE
20、BEsin BCE3272114.(2)因为CEDB23，所以DEABCE，所以 cos DEA 1sin2DEA 1sin2BCE 13285 714.因为 A2，所以AED 为直角三角形又 AE5，所以 EDAEcosDEA55 7142 7.在CED 中，CD2CE2DE22CEDEcos CED7282 7 2 7 1249，所以 CD7.12已知海岛 B 在海岛 A 北偏东 45方向上，A，B 相距 10 海里，物体甲从海岛 B 以 2海里/小时的速度沿直线 AB 向海岛 A 移动，同时物体乙从海岛 A 沿着海岛 A 北偏西 15方向以 4 海里/小时的速度移动(1)问经过多长时间，
21、物体甲在物体乙的正东方向；(2)求甲从海岛 B 到达海岛 A 的过程中，甲、乙两物体的最短距离解析：(1)如图，设经过 x 小时，物体甲在物体乙的正东方向，则甲与 A 的距离为 102x，乙与 A 的距离为 4x，AD22(102x)，cos 152（5x）4xcos(4530)，x52 35(2 3)，经过 5(2 3)小时，物体甲在物体乙的正东方向(2)设经过 x 小时，甲、乙两物体的距离为 d 海里由余弦定理得 cos 60（4x）2（102x）2d224x（102x）12，d228x280 x100，0 x5.函数 y28x280 x100 的图象的对称轴 x107(0，5，当 x10
22、7时，d 最小，dmin10 217海里B 组组素养提升练素养提升练1 数书九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的方法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为 实 一 为 从 隅，开 平 方 得 积 ”若 把 以 上 这 段 文 字 写 成 公 式，即 S 14c2a2c2a2b222.现有周长为 2 2 5 的ABC 满足 sin Asin Bsin C(2 1)5(2 1)，试用以上给出的公式求得ABC 的面积为()A34B32C54D52解析
23、：因为 sin Asin Bsin C(2 1)5(2 1)，所以由正弦定理得 abc(2 1)5(2 1).又 abc2 2 5，所以 a 2 1，b 5，c 2 1，则 ac211，c2a2b2651，故 S14c2a2c2a2b2221211434.答案：A2(2020陕西西安模拟)游客从某旅游景区的景点 A 处至景点 C 处有两条线路线路 1 是从 A 沿直线步行到 C，线路 2 是先从 A 沿直线步行到景点 B 处，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的119倍，甲走线路 2，乙走线路 1，最后他们同时到达 C 处经测量，AB
24、1 040 m，BC500 m，则 sin BAC 等于_解析：依题意，设乙的速度为 x m/s，则甲的速度为119x m/s，因为 AB1 040，BC500，所以ACx1 040500119x，解得 AC1 260，在ABC 中，由余弦定理可知cos BACAB2AC2BC22ABAC1 04021 2602500221 0401 26084911213，所以 sin BAC 1cos2BAC 112132513.答案：5133如图所示，在ABC 中，ABC90，AB 3，BC1，P 为ABC 内一点，BPC90.(1)若 PB12，求 PA；(2)若APB150，求 tan PBA.解析
25、：(1)由已知得PBC60，所以PBA30.在PBA 中，由余弦定理得 PA23142 3 12cos3074，故 PA72.(2)设PBA，由已知得 PBsin.在PBA 中，由正弦定理得3sin 150sinsin（30），化简得3 cos4sin，所以 tan34，即 tan PBA34.4如图所示，现要在一块半径为 1 m，圆心角为3的扇形白铁片 AOB 上剪出一个平行四边形 MNPQ，使点 P 在弧 AB 上，点 Q 在 OA 上，点 M，N 在 OB 上，设BOP，平行四边形 MNPQ 的面积为 S.(1)求 S 关于的函数关系式；(2)求 S 的最大值及相应的角解析：(1)分别过 P，Q 作 PDOB 于点 D，QEOB 于点 E，则四边形 QEDP 为矩形由扇形半径为 1 m，得 PDsin，ODcos.在 RtOEQ 中，OE33QE33PD，MNQPDEODOEcos33sin，SMNPDcos33sinsinsincos33sin2，0，3.(2)S12sin236(1cos 2)12sin 236cos 23633sin2636，因为0，3，所以 266，56，sin2612，1.当6时，Smax36(m2).