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1、第二十一章一元二次方程21 1一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 次的整式方程叫做一元二次方程。2一元二次方程有四个特点：(1) 只含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2；(3) 是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为ax +bx+c=O(a O) 的形式， 则 个方程就为一元二次方程4 方程化为一般形式：ax 2+bx+c=O 时 ， a O 21 2降次解一元二次方程1一元二次方程的解法(1) 直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如x 2a (a 减O)，(xa) 2b (b 减
2、O) 类的关注微信公众号“捷思课堂”获取更多学习资料！第13页2一元二次方程 xa ，则 xa ； (xa) 2b ， xab ， xab 对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为x 2a 或(xa)2b 的形式，也可以用此法解(2) 因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解要清楚使乘积ab=O 的条件是 a=O 或 b=O，使方程 x(x -3) =O 的条件是 x= O 或 x-3= Ox 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x - 3) =O 有两个根，而不是一个根2(3) 配方法：任何一个形如xbx 的二次式，都可以通过加一
3、次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方， 把方程归结为能用直接开平方法来解的方程如解 x 26x7O 时，可把方程22x 26x676化为 x 26x7 ，22，即 (x3)22 ，从而得解注意： (1) ”方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1(2) 解一元二次方程时，一般不用此法，掌握 种配方法是重点(3) 公式法：一元二次方程 ax2bxcO (a O) 的根是 方程的系数a、b、c 确定的在 b 24acOx的前提下，bb22a4ac用公式法解一元二次方程的一般步骤：(D先把方程化为一般形式，即ax 2bxcO (a O) 的形式；正确地确定方程各项的
4、系数a、b、c 的值( 要注意它们的符号 ) ；计算 b24acO 时，方程没有实数根，就不必解了( 因负数开平方无意义 ) ； a、b、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根说明： 象直接开平方法、因式分解法只是适宜千特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法解题时要根据方程的特征灵活选用方法2一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：(D有两个不相等的实数根； 有两个相等的实数根； 没有实数根而根的情况，b2别式4ac 的值来确定因此b 24ac 叫做一元二次方程 ax 2bxcO 的根的判DO方程有两个不相等的实数根 D= O方程有两个相等的实数根 D O 时，抛物线向上开
5、口；当a O 时，抛物线向下开口。 a 越大，则抛物线的开口越小。4 一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。当 a 与 b 同号时 即ab O ，对称轴在y 轴左；当 a 与 b 异号时 即ab O ，对称轴在y 轴右。5 常数项 c 决定抛物线与y 轴交点。抛物线与y 轴交千 O， c 6 抛物线与 x 轴交点个数A=b 2-4ac O 时，抛物线与x 轴有 2 个交点。A= b 2-4ac=O 时，抛物线与x 轴有 1 个交点。A=b 2-4ac O 时，抛物线与x 轴没有交点。V 二次函数与一元二次方程特别地，二次函数 以下称函数y=ax 2;+bx+c ，当 y=O 时，
6、二次函数为关千x 的一元二次方程 以下称方程 ， 即 ax2;+bx+c=O此时，函数图象与x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。 1，二次函数配方为的形式，则()用函数观点看一元二次方程1如果抛物线yax 2bxc 与 x 轴有公共点， 公共点的横坐标是xO ，那么当 xxO 时，函数的值是O，因此 xxO就是方程 ax2bxcO 的一个根。2二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。 对 着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。实际问题与二次函数在日常生活、生产和科研中，求使材料
7、最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。第二十三章旋转23 1图形的旋转1图形的旋转 1 定义：在平面内， 一个圆形绕一个定点沿某个方向 顺时针或逆时针 转动一个角 ， 样的图形运动叫做旋转， 个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。图形的旋转本节我们重点了解旋转、平移性质，除外 有一个重点是点的对称变换。二、知识要点1、旋转： 一个图形绕着某点转动一个角 的变换叫做旋转。其中，叫做旋转中心，转动的角 叫做旋转角。2、旋转性质(D 旋转后的图形与原图形全等 对 线 段与形成的角叫做旋转角 各旋转角都相等3、平移： 一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做
8、平移。其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。4、平移性质(D 平移后的图形与原图形全等 两个图形的对 边连线的线段平行相等 等千平行距离 各组对 线段平行且相等5、中心对称与中心对称图形(D 中心对称：若一个图形绕着某个点旋转 18O，能够与另一个图形完全重合，则 两个图形关千 个点对称或中心对称。其中，点叫做对称中心、两个图形的对 点叫做关千中心的对称点。 中心对称图形：若一个图形绕着某个点旋转 18O，能够与原来的图形完全重合，则 个图形叫做中心对称图形。其中， 个点叫做该图形的对称中心。6、轴对称与轴对称图形(1) 、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则 两个
9、图形关千 条轴对称或它们成轴对称。其中， 条轴叫做对称轴。注：轴对称的性质：(D两个图形全等；对 点连线被对称轴垂直平分 2 轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则 个图形叫做轴对称图形。7、点的对称变换 1 、关千原点对称的点的特征两个点关千原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P x， y 关千原点的对称点为P -x ， -y 2 、关千 x 轴对称的点的特征两个点关千x 轴对称时，它们的坐标中，x相等， y的符号相反，即点P x， y 关千x轴的对称点为P x， -y 3 、关千 y 轴对称的点的特征两个点关千y 轴对称时，它们的坐标中，y相等， x的符号相反，即点P x
10、， y 关千y轴的对称点为P -x ， y 4 、关千直线y= x 对称两个点关千直线y=x 对称时，横坐标与 坐标与之前对换，即：P x， y 关千直线y= x 的对称点为P y， x 5 、两个点关千直线y=-x 对称时，横坐标与 坐标与之前完全相反，即：P x，y 关千直线y= x 的对称点为P -y ， -x 注： y= x 的直线是过一三象限的角平分线，y=-x的直线是过二四象限的角平分线。第二十四章圆24 1圆定义： 1 平面上到定点的距离等千定长的所有点组成的图形叫做圆。 2) 平面上一条线段，绕它的一端旋转36O，留下的轨迹叫圆。圆心： 1 如定义 1 中，该定点为圆心 2 如
11、定义 2 中，绕的那一端的端点为圆心。 3 圆任意两条对称轴的交点为圆心。 4 垂直千圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。注：圆心一般用字 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字d 。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字r 。圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的 2 倍，半径是直径的二分之一d=2r或 r= 二分之 d。圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。圆的周长：围成圆的曲线的长 叫做圆的周长，用字C 。圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直
12、径的 是一个 定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不 小数 无理数，用字 。计算时，通常取它的近似值， 3 14 。直径所对的圆周角是直角。9O的圆周角所对的弦是直径。圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。rA2 ，用字。一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。周长计算公式1 、已知直径： C= d 2、已知半径： C=2 r3、已知
13、周长： 4、圆周长的一半12周长( 曲线 )5、半圆的长： 12 周长 +直径面积计算公式：1、已知半径：= r 平方2、已知直径： = d2 平方 3 、已知周长： = (c2 ) 平方24 2点、直线、圆和圆的位置关系1点和圆的位置关系(D 点在圆内点到圆心的距离小千半径 点在圆上点到圆心的距离等千半径 点在圆外点到圆心的距离大千半径2过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。3外接圆和外心 过三角形的三个顶点可以做一个圆， 个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。4直线和圆的位置关系相交：直线和圆有两个公共点叫 条直线和圆相交， 条直线叫做
14、圆的割线。相切：直线和圆有一个公共点叫 条直线和圆相切， 条直线叫做圆的切线， 个点叫做切点。相离：直线和圆没有公共点叫 条直线和圆相离。5直线和圆位置关系的性质和判定如 果 的 半 径为r ，圆心 到直线 的距离为d，那么(D 直 线 和 相 交圆和圆定义：dr ；直 线 和 相切dr ；直 线 和 相离dr 。两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做 两个圆的外离。两个圆有唯一的公共点且除了 个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。两个圆有唯一的公共点且除了 个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切
15、。两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做 两个圆的内含。原理：圆心距和半径的数量关系：两圆外离=d R+r两圆外切=d=R+r两圆相交=R-rdd=R-r(Rr)两圆内含=dR-r(Rr)24 3正多边形和圆一、本章知识框架二、本章重点1圆的定义：(1) 线段 A绕着它的一个端点旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆(2) 圆是到定点的距离等千定长的点的集合2判定一个点 P是否在 上 设 的半径为 R， P= d，则有 dr 点 P在 外； d=r点 P 在 上 ；dr点 P 在 内 3与圆有关的角(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角圆心角的性质：圆心角的 数等千它
16、所对的弧的 数(2) 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角 圆 周 角 的 性 质 ： (D圆周角等千它所对的弧所对的圆心角的一半同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 9O的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角如果三角形一边上的中线等千 边的一半，那么 个三角形是直角三角形圆内接四边形的对角互补；外角等千它的内对角(3) 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角 弦切角的性质：弦切角等千它夹的弧所对的圆周角弦切角的 数等千它夹的弧的 数的一半4圆的性质：(1) 旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角 都和原来
17、图形重合；圆是中心对称图形， 对称中心是圆心在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距， 四组量中的任意一组相等，那么它所对 的其他各组分别相等(2) 轴对称：圆是轴对称图形， 过圆心的任一直线都是它的对称轴垂径定理及推 ：(1) 垂直千弦的直径平分 条弦，并且平分弦所对的两条弧(2) 平分弦( 不是直径 ) 的直径垂直千弦，并且平分弦所对的两条弧(3) 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧(4) 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦(5) 平行弦夹的弧相等5三角形的内心、外心、重心、垂心(1) 三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在
18、三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用”1 ” (2) 三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部， 直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用(3) 三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用 G (4) 垂心：是三角形三边高线的交点6切线的判定、性质：(1) 切线的判定：(D 过半径的外端并且垂直千 条半径的直线是圆的切线到圆心的距离d 等千圆的半径的直线是圆的切线(2) 切线的性质： (D圆的切线垂直千过切点的半径 过圆心作圆
19、的切线的垂线 过切点 过切点作切线的垂线 过圆心(3) 切线长：从圆外一点作圆的切线， 一点和切点之间的线段的长 叫做切线长(4) 切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等， 一点和圆心的连线平分两条切线的夹角7圆内接四边形和外切四边形(1) 四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等千内对角(2) 各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等8直线和圆的位置关系：直线和圆没有公共点直线和圆相离dR直线和 有唯一公共点直线和 有两个公共点直线和 相 切d=R直 线 和 相 交dR 9圆和圆的位置关系：的半径为 R、r(Rr) ，圆心距没
20、有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离设 半径为 R，点 到直线的距离为 d (1)(2)(3)设(1) dR+r (2) 没有公共点，且的每一个点都在外部内含dR-r(3) 有唯一公共点，除 个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切d= R+r (4) 有唯一公共点，除 个点外，的每个点都在内部内切d=R- r (5) 有两个公共点相交R-rdR+ r 1O两圆的性质：(1) 两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线(2) 相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线 过切点11. 圆中有关计算：圆的面积公式：，周长 C=2 R圆心角为 n、半径为 R的弧长圆心角为 n，半
21、径为 R，弧长为的扇形的面积 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、 来计算圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R， 线长为 的圆柱的体积为，侧面积为 2 R ，全面积为圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R， 线长为 ，高为 h 的圆锥的侧面积为 R，全面积为， 线长、圆锥高、底面圆的半径之间有注意： 1 圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长弧长圆面积扇形面积公式 2 扇形与弓形的联系与区别 2 扇形与弓形的联系与区别图面积知识点 4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所 ， 设圆锥的 线长为，底面圆的半径为r ，那么 个扇形的半径为，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的
22、全面积说明： 1 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 2 研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点 5、圆柱的侧面积圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所 ，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r ，高为 h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积知识小结：圆锥与圆柱的比较名称圆锥圆柱图形图形的形成过程 一个直角三角形旋转得到 的，如 Rt D A绕直线 旋转一周。 一个矩形旋转得到的，如矩形 ABCD绕直线 AB旋转一周。图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面侧面展开图的特征扇形矩形面积计算方法第二
23、十五章概率初步25 1随机事件与概率1 随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验：(1) 试验可以在相同的条件下重复地进行；2(2) 每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；(3) 每次试验前不能确定哪一个结果 出现试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用，其中的每一个结果用e ， e称为样本空间中的样本点，记作 e 2 随机事件在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件 ( 简称事件 ) 通常把必然事件( 记作) 与不可能事件 ( 记作)看作特殊的随机事件3 率与概率的定义(1) 率的定义设随机事
24、件A 在 n 次重复试验中发生了nA 次，则比值nA n 称为随机事件A 发生的 率，记作n ( A) ，即nA n ( A)n (2) 概率的统计定义在进行大量重复试验中，随机事件A 发生的 率具有 定性，即当试验次数n 大时， 率n (A) 在一个 定的值 (O 1) 近 动，规定事件A 发生的 率的 定值为概率，即(3) 古典概率的定义P( A)具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型 ：( )试验的样本空间是个有限集，不妨记作 e1,e2 , en ;( )在每次试验中，每个样本点e (1,2, n 出现的概率相同，即P( e1)P( e2)P( en) P( A)在古典概型中
25、，规定事件A 的概率为A中所含样本点的个数nA中所含样本点的个数n(4) 几何概率的定义如果随机试验的样本空间是一个区域( 可以是直线上的区间、平面或空间中的区域) ，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件A的概率为P( A)A的长 或面积、体积 样本空间的的长 或面积、体积225 2用列举法求概率1、当一次试验中，可能出现的结果是有限个，并且各种结果发生的可能性相等时，可以用被关注的结果在全部试验结果中所占的比分析出事件中该结果发生的概率，此时可采用列举法2、列举法就是把要数的对象一一列举出来分析求解的方法但有时一一列举出的情况数目 大，此时需要考虑如何去排除不合理的情况，
26、尽可能减少列举的问题可能解的数目 3、利用列 法或树形图法求概率的关键是：(D注意各种情况出现的可能性务必相同；其中某一事件发生的某一事件发生的次数概率；在考查各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏；各种情况出现的次数4、用列 法或树形图法求得的概率是理 概率，而实验估计值是 率，它通常受到实验次数的影响而产生波动，因此两 不一定一致，实验次数较多时， 率 定千概率，但并不完全等千概率。25 3用 率估计概率在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个随机事件出现的 率 该 定千该事件发生的概率。事件发生的 率与概率既有区别又有联系：事件发生的 率不一定相同，是个变数，而事
27、件发生的概率是个常数；但它们之间又有密切的联系，随着试验次数的增加， 率越来越 定千概率。在具体操作过程中，大家往往发现：虽然多次试验结果的 率逐渐 定千概率，但可能无 做多少次试验， 两 之间存在着一定的偏 。 该注意： 种偏 的存在是 常的，并且是正常的。另外， 千受到某些因素的影响，通过试验得到的估计结果往往不 理 ， 有可能出现 端情况，此时我们 正确地看 样的结果并 试着对结果进行合理的解释。对试验结果的 率与理 概率的偏 的理解也是形成随机观念的一个重要 节。在实际 用中，当试验次数越大时，出现 端情况的可能性就越小。因此，我们常常通过做大量重复试验来获得事件发生的 率，并用它作为概率的估计值。试验次数越多，得到的估计结果就越可靠。