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1、第1讲矢量基础本讲稿第一页，共三十七页主要内容主要内容l1.矢量的概念矢量的概念l2.矢量的加减法矢量的加减法l3.矢量的点积矢量的点积l4.矢量的叉积矢量的叉积l5.矢量的复杂运算矢量的复杂运算本讲稿第二页，共三十七页1)标量标量(Scalar)一个仅用一个仅用大小大小就能够完整描述的物理量就能够完整描述的物理量电压（电位）、温度、时间、质量等电压（电位）、温度、时间、质量等所有实数所有实数标量场标量场加法加法:C=A+B减法减法:D=A-Bl1.矢量的概念矢量的概念本讲稿第三页，共三十七页2)矢量（矢量（Vector)一个有一个有大小大小和和方向方向的物理量的物理量电场、磁场、力、速度、加
2、速度等电场、磁场、力、速度、加速度等矢量场矢量场也也称称向向量量：由由现现实实世世界界的的三三维维空空间间抽抽象象出出来来；空空间间任任何何一一点点P，均均可可用用有有序序独独立立的的3个个数数（P1，P2，P3）来确定（）来确定（O为起点），记为：为起点），记为：l1.矢量的概念矢量的概念本讲稿第四页，共三十七页3)矢量相等：若矢量相等：若l1.矢量的概念矢量的概念满足：满足：则可称：则可称：4)零矢量零矢量：矢量的三个独立有序数均为零。：矢量的三个独立有序数均为零。本讲稿第五页，共三十七页l1.矢量的概念矢量的概念5)矢矢量量的的数数乘乘：一一个个矢矢量量与与一一个个数数字字k相相乘乘，为
3、为三个独立有序数分别乘以三个独立有序数分别乘以k,表示为：表示为：6)矢矢量量的的加加法法（减减法法）：表表示示矢矢量量的的三三个个独独立立有有序数，分别相加（相减）。序数，分别相加（相减）。本讲稿第六页，共三十七页l1.矢量的概念矢量的概念7)笛卡尔坐标系：直角坐标系笛卡尔坐标系：直角坐标系矢径矢径F 矢量可以表示为：矢量可以表示为：单位矢量单位矢量本讲稿第七页，共三十七页l1.矢量的概念矢量的概念8)矢量的模：矢量的长度矢量的模：矢量的长度F 单位矢量的模：单位矢量的模：F 单位矢量：一个矢量与其模相除单位矢量：一个矢量与其模相除本讲稿第八页，共三十七页l1.矢量的概念矢量的概念9)矢量的
4、表示法矢量的表示法F 教科书：物理量符号，黑体符号。教科书：物理量符号，黑体符号。F 手写体：物理量顶部加箭头。手写体：物理量顶部加箭头。位置矢量位置矢量速度矢量速度矢量力力本讲稿第九页，共三十七页l2.矢量的加减法矢量的加减法1)矢量加法矢量加法平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则OO本讲稿第十页，共三十七页l2.矢量的加减法矢量的加减法1)矢量加法矢量加法六边形法则：三个矢量相加六边形法则：三个矢量相加O本讲稿第十一页，共三十七页l2.矢量的加减法矢量的加减法1)矢量加法矢量加法多边形法则：多个矢量相加多边形法则：多个矢量相加O本讲稿第十二页，共三十七页l2.矢量的加减法矢量的
5、加减法2)矢量数乘和加法的性质：矢量数乘和加法的性质：F矢量数乘矢量数乘F矢量加法矢量加法本讲稿第十三页，共三十七页l2.矢量的加减法矢量的加减法3)矢量的减法矢量的减法平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则OO差矢量的箭头指向被减矢量。差矢量的箭头指向被减矢量。本讲稿第十四页，共三十七页l2.矢量的加减法矢量的加减法3)矢量的减法矢量的减法O空间两点之间的距离空间两点之间的距离本讲稿第十五页，共三十七页l3.矢量的点积矢量的点积1)定定义义：两两个个矢矢量量的的点点积积是是一一个数量（个数量（标量积标量积）。）。O两矢量的点积可交换，具有对称性。两矢量的点积可交换，具有对称性。本讲
6、稿第十六页，共三十七页l3.矢量的点积矢量的点积l2)单位矢量的点积单位矢量的点积 直角坐标系中单位矢量的标量积。直角坐标系中单位矢量的标量积。本讲稿第十七页，共三十七页l3.矢量的点积矢量的点积l3)点积的计算公式点积的计算公式l性质性质：两个非零矢量点积为：两个非零矢量点积为0的的充要条件充要条件是矢量是矢量相互垂直（正交）。相互垂直（正交）。本讲稿第十八页，共三十七页l3.矢量的点积矢量的点积l4)两矢量的夹角余弦两矢量的夹角余弦O本讲稿第十九页，共三十七页l3.矢量的点积矢量的点积l5)方向余弦：矢径方向余弦：矢径 与坐与坐标轴之间夹角的余弦。标轴之间夹角的余弦。本讲稿第二十页，共三十
7、七页l3.矢量的点积矢量的点积l6)矢量点积的几何意义：矢量点积的几何意义：矢径矢径 向各单位矢的投影。向各单位矢的投影。本讲稿第二十一页，共三十七页l3.矢量的点积矢量的点积l7)矢量点积的物理意义：矢量点积的物理意义：广泛的应用广泛的应用。O常力常力变力变力本讲稿第二十二页，共三十七页l3.矢量的点积矢量的点积l8)点积的矩阵表示：矢量可以用点积的矩阵表示：矢量可以用列矩阵列矩阵表示表示。转置矩阵转置矩阵本讲稿第二十三页，共三十七页l3.矢量的点积矢量的点积l矢量点积运算公式：矢量点积运算公式：本讲稿第二十四页，共三十七页l4.矢量的叉积矢量的叉积l1)两个矢量的叉积是一种矢量型的作用（两
8、个矢量的叉积是一种矢量型的作用（矢量积矢量积）；定义为；定义为 等于等于 ，是一个矢量。，是一个矢量。q qO本讲稿第二十五页，共三十七页l4.矢量的叉积矢量的叉积l2)叉积的大小叉积的大小F 两矢量的叉积不可交换，具有反对称性。两矢量的叉积不可交换，具有反对称性。q qOl性性质质：两两个个非非零零矢矢量量叉叉积积为为0 0的的充充要要条条件件是是矢矢量量相相互互平行。平行。本讲稿第二十六页，共三十七页l4.矢量的叉积矢量的叉积l3)单位矢量的叉积单位矢量的叉积本讲稿第二十七页，共三十七页l4.矢量的叉积矢量的叉积l3)单位矢量的叉积单位矢量的叉积+-从从左左往往右右，相相邻邻两两个个单单位
9、位矢矢量量叉叉乘乘得得到到正正的的下下一一个个单单位位矢矢量量。从从右右往往左左，相相邻邻两两个个单单位位矢矢量量叉叉乘乘得到负的下一个单位矢量。得到负的下一个单位矢量。本讲稿第二十八页，共三十七页l4.矢量的叉积矢量的叉积l4)矢量叉积的一般计算式矢量叉积的一般计算式本讲稿第二十九页，共三十七页l4.矢量的叉积矢量的叉积l5)矢量叉积的几何意义矢量叉积的几何意义F 平行四边形（红色区平行四边形（红色区域）的域）的有向面积有向面积。q qO本讲稿第三十页，共三十七页l4.矢量的叉积矢量的叉积l6)矢量叉积的物理意义：广泛应用矢量叉积的物理意义：广泛应用F 力矩力矩q qOOF 旋转线速度旋转线
10、速度本讲稿第三十一页，共三十七页l5.矢量的复杂运算矢量的复杂运算F 意义：意义：三矢量构成的三矢量构成的平行六面体的体积平行六面体的体积 。F矢量混合积满足旋转法则矢量混合积满足旋转法则l1)矢量混合积矢量混合积：，是一个标量。，是一个标量。本讲稿第三十二页，共三十七页l5.矢量的复杂运算矢量的复杂运算l1)矢量混合积：矢量混合积：F 推论推论：三个非零矢量共三个非零矢量共面的面的充要条件充要条件是：是：本讲稿第三十三页，共三十七页l5.矢量的复杂运算矢量的复杂运算l2)矢量二重叉积：矢量二重叉积：，是一个矢量。，是一个矢量。F 叉积不满足结合律叉积不满足结合律本讲稿第三十四页，共三十七页l5.矢量的复杂运算矢量的复杂运算l3)Laplace公式：公式：证明：证明：将将 看作一个矢量，由矢量混合积看作一个矢量，由矢量混合积的旋转法则可以得到：的旋转法则可以得到：本讲稿第三十五页，共三十七页l5.矢量的复杂运算矢量的复杂运算l4)Lagrange公式：公式：证明：证明：由基本定义由基本定义本讲稿第三十六页，共三十七页l5.矢量的复杂运算矢量的复杂运算l矢量混合积的常用公式矢量混合积的常用公式本讲稿第三十七页，共三十七页