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1、第1节 向量极其线性运算1本讲稿第一页，共四十一页1、空间点的直角坐标2本讲稿第二页，共四十一页横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系右手系.几个基本概念3本讲稿第三页，共四十一页面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限4本讲稿第四页，共四十一页5本讲稿第五页，共四十一页2、空间两点间的距离6本讲稿第六页，共四十一页(2)、空间两点间的距离7本讲稿第七页，共四十一页空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：特殊地：若两点分别为若两点分别为8本讲稿第八页，共四十一页解解原结论成立原结论成立.9本讲
2、稿第九页，共四十一页向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：1、向量的概念或或或或或或10本讲稿第十页，共四十一页自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量.11本讲稿第十一页
3、，共四十一页1 加法：加法：平行四边形法则平行四边形法则特殊地：若特殊地：若分为同向和反向分为同向和反向三角形法则三角形法则2、向量的加减法12本讲稿第十二页，共四十一页向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减法减法13本讲稿第十三页，共四十一页3、向量与数的乘法14本讲稿第十四页，共四十一页数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系15本讲稿第十五页，共四十一页按照向量与数的乘积的规定，按照向量与
4、数的乘积的规定，上式表明：上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量与原向量同方向的单位向量.16本讲稿第十六页，共四十一页例例1 1 化简化简解解17本讲稿第十七页，共四十一页1、向量在轴上的投影与投影定理18本讲稿第十八页，共四十一页19本讲稿第十九页，共四十一页空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.
5、20本讲稿第二十页，共四十一页空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影21本讲稿第二十一页，共四十一页空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影22本讲稿第二十二页，共四十一页关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）证证23本讲稿第二十三页，共四十一页定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；24本讲稿第二十四页，共四十一页关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）25本讲稿第二十五页，共四十一页2、向量的坐标表达式26本讲稿第二
6、十六页，共四十一页27本讲稿第二十七页，共四十一页28本讲稿第二十八页，共四十一页(3)、向量运算的坐标表达式、向量运算的坐标表达式29本讲稿第二十九页，共四十一页30本讲稿第三十页，共四十一页非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.3、向量的模与方向余弦的坐标表示式31本讲稿第三十一页，共四十一页由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式32本讲稿第三十二页，共四十一页当当 时，时，向量方向余弦的坐标
7、表示式向量方向余弦的坐标表示式33本讲稿第三十三页，共四十一页方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量可用的方向余弦表示为特殊地：单位向量可用的方向余弦表示为34本讲稿第三十四页，共四十一页解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或35本讲稿第三十五页，共四十一页解解36本讲稿第三十六页，共四十一页对角线的长为对角线的长为37本讲稿第三十七页，共四十一页空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的（注意它与平面直角坐标系的区别区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）四、小结38本讲稿第三十八页，共四十一页向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）四、小结39本讲稿第三十九页，共四十一页向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.四、小结（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）40本讲稿第四十页，共四十一页41本讲稿第四十一页，共四十一页