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1、关于高一数学必修四平面向量应用举例第一页，讲稿共三十七页哦所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍所以，平行四边形两条对角线的平方和等于相邻两边的平方和的两倍.几何问题向量化几何问题向量化向量运算关系化向量运算关系化向量关系几何化向量关系几何化利用向量解决平面几何问题举例利用向量解决平面几何问题举例第二页，讲稿共三十七页哦用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问
2、题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。第三页，讲稿共三十七页哦例例2 2 如图，如图，ABCDABCD中，点中，点E E、F F分别是分别是AD AD、DCDC边的中点，边的中点，BEBE、BFBF分别与分别与ACAC交于交于R R、T T两点，两点，你能你能发现发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？ABCDEFRT利用向量利用向量解决
3、平面解决平面几何问题几何问题举例举例简述：简述：几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化 向量关系几何化向量关系几何化第四页，讲稿共三十七页哦 例例2如图，在如图，在ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD、DC边边的中点，的中点，BE、BF分别与分别与AC交于点交于点R、T两点两点.你能发现你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？之间的关系吗？解：解：由图可猜想：由图可猜想：AR=RT=TC.证明如下：证明如下：则由则由得得 又又而而 由向量基本定理得由向量基本定理得第五页，讲稿共三十七页哦同理可证：同理可证：于是于是故猜想：故猜想：AR=RT=TC 成立成立.第六页，讲稿
4、共三十七页哦 2.5.2 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例第七页，讲稿共三十七页哦探究（一）：探究（一）：向量在力学中的应用向量在力学中的应用思考思考1 1：如图，用两条成如图，用两条成120120角的等长角的等长的绳子悬挂一个重量是的绳子悬挂一个重量是10N10N的灯具，根据的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重力具有什么关系？每根绳子的拉力的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？是多少？120120O OC CB BA A10N10N|F1 1|=|=|F2 2|=10N|=10NF1 1+F2 2+G=0第八页，讲稿共三十七页哦
5、思考思考2 2：两个人共提一个旅行包，或在单两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？么关系？夹角越大越费力夹角越大越费力.第九页，讲稿共三十七页哦思考思考3 3：假设两只手臂的拉力大小相等，夹假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为角为，那么，那么|F1 1|、|G|、之间的关系如之间的关系如何？何？FF1F2G 上述关系表明，若重力上述关系表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于夹角一定，则拉力的大小是关于夹角的函数的函数.并且拉力大小和夹角大小成正比例关系并且
6、拉力大小和夹角大小成正比例关系.00，180)180)第十页，讲稿共三十七页哦探究（二）：探究（二）：向量在运动学中的应用向量在运动学中的应用思考思考1 1：如图，一条河的两岸平行，一艘如图，一条河的两岸平行，一艘船从船从A A处出发到河对岸，已知船在静水中处出发到河对岸，已知船在静水中的速度的速度|v1 1|1010/h/h，水流速度，水流速度|v2 2|2 2/h/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度的实际速度v的大小是多少？的大小是多少？A A第十一页，讲稿共三十七页哦思考思考2 2：如果船沿与上游河岸成如果船沿与上游河岸成6060方向行方向行驶，那么
7、船的实际速度驶，那么船的实际速度v的大小是多少？的大小是多少？v1v2v6060第十二页，讲稿共三十七页哦思考思考3 3：船应沿什么方向行驶，才能使航程船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？最短？v1v2 2vA AB BC C与上游河岸的夹角为与上游河岸的夹角为78.73.78.73.思考思考4 4：如果河的宽度如果河的宽度d d500m500m，那么船行，那么船行驶到对岸至少要几分钟？驶到对岸至少要几分钟？第十三页，讲稿共三十七页哦“向量法解决几何问题向量法解决几何问题”的两个角度：的两个角度：非坐标角度和坐标角度非坐标角度和坐标角度例例3.如图，正方形如图，正方形ABCD中，中，P是对角线
8、是对角线BD上的一点，上的一点，PECF是矩形，是矩形，用向量证明：用向量证明：（1）PA=EF（2）PA EFABCDPEF第十四页，讲稿共三十七页哦1、已知：、已知：AD、BE、CF是是ABC的三条中线；的三条中线；求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点2、已知已知ABC的三个顶点的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心，则重心G的坐标为的坐标为_3、用向量法证明：三角形三条高线交于一点、用向量法证明：三角形三条高线交于一点第十五页，讲稿共三十七页哦1、已知：、已知：AD、BE、CF是是ABC的三条中线；的三条中线；求证：求证：AD、BE、CF交于一点交
9、于一点证明：如图证明：如图AD、BE相交于点相交于点G，联结，联结DEABCDEGF易知易知GDEGAB，DEAB12所以，所以，BGBE23CGCB+BG CB+BE23CB+(CA-CB)2312(CB+CA)13第十六页，讲稿共三十七页哦1、已知：、已知：AD、BE、CF是是ABC的三条中线；的三条中线；求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点因此因此C、G、F三点在同一直线上三点在同一直线上所以，所以，AD、BE、CF交于一点交于一点所以所以CG CF，23(CBCA)13即即CG又因为又因为CF(CBCA)12ABCDEGF第十七页，讲稿共三十七页哦2、已知、已知ABC的三个顶点
10、的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则重心，则重心G的坐标为的坐标为_(，)x1+x2+x33y1+y2+y33OGOA AG OA AD23OA(ABAC)13OA(OBOAOCOA)13OAOBOC3解：设原点为解：设原点为O，则，则第十八页，讲稿共三十七页哦3 3、用向量法证明：三角形三条高线交于一点、用向量法证明：三角形三条高线交于一点ABCDEHF证明：设证明：设H是高线是高线BE、CF的交点，的交点，且设且设ABa，ACb，AHh，则有则有BHha，CHhb，BCba所以所以(ha)b(hb)a 0化简得化简得 h(ab)0AHBC因为因为BHAC，CH
11、AB所以，三角形三条高线交于一点所以，三角形三条高线交于一点第十九页，讲稿共三十七页哦三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示外外重重第二十页，讲稿共三十七页哦三角形四心的向量表示三角形四心的向量表示内内垂垂第二十一页，讲稿共三十七页哦例例1、已知、已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的是平面上不共线的三个点，动点三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心点拨：由点拨：由得出得出 由平行四边形法则和共线定理可得由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过一定经过ABC的重心。的重心。
12、C第二十二页，讲稿共三十七页哦变式变式1、已知、已知P是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线是平面上不共线的三个点，点的三个点，点O满足满足则则O点一定是点一定是ABC的（的（）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心点拨：点拨：由由得出得出 故故O是是ABC的重心。的重心。C第二十三页，讲稿共三十七页哦变式变式2、已知、已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不共是平面上不共线的三个点，动点线的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心第二十四页，讲稿共三十
13、七页哦点拨：在点拨：在ABC中，由正弦定理有中，由正弦定理有令令则则由平行四边形法则和共线定理可得由平行四边形法则和共线定理可得AP一定经过一定经过ABC的重心。的重心。C第二十五页，讲稿共三十七页哦例例2、已知已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的是平面上不共线的三个点，动点三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心第二十六页，讲稿共三十七页哦点拨：取点拨：取BCBC的中点的中点D D，则，则由已知条件可得由已知条件可得又因为又因为所以所以所以所以DPDP是是BCBC的垂直平分线
14、，所以的垂直平分线，所以P P点的轨迹一定经过点的轨迹一定经过ABCABC的外心。的外心。A第二十七页，讲稿共三十七页哦外心的向量表示外心的向量表示结论结论2：ABC所在平面一定点所在平面一定点O，动点，动点P满足满足 P点轨迹经过点轨迹经过ABC的外心的外心结论结论1：O是三角形的外心是三角形的外心 或或第二十八页，讲稿共三十七页哦例例3、已知已知O是平面上一定点，是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线是平面上不共线的三个点，动点的三个点，动点P满足满足则则P点的轨迹一定通过点的轨迹一定通过ABC的（的（）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心第二十九页，讲稿共三十七页哦点
15、拨：由已知等式可知点拨：由已知等式可知在等式的两边同时乘以在等式的两边同时乘以即即故点故点P P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC的垂心。的垂心。D第三十页，讲稿共三十七页哦变式变式3、已知、已知O是平面上一点，是平面上一点，A,B,C是平面上不共线的三是平面上不共线的三个点，点个点，点O满足满足则则O点一定是点一定是ABC的（的（）A 外心外心 B 内心内心 C 重心重心 D 垂心垂心点拨：点拨：同理可得同理可得D第三十一页，讲稿共三十七页哦垂心的向量表示垂心的向量表示结论结论1 1：O O是是ABCABC的垂心的充要条件是的垂心的充要条件是结论结论2、动点、动点P满足满足P点的轨迹经
16、过点的轨迹经过ABC的垂心的垂心第三十二页，讲稿共三十七页哦例例4 4、已知已知O O是平面上一点是平面上一点,A A、B B、C C是平面上不共线的三是平面上不共线的三个点个点,(a,b,c(a,b,c是是ABCABC的的A,B,CA,B,C所对的三边所对的三边)点点O O满足满足则则O O点一定是点一定是ABCABC的（的（）A A 外心外心 B B 内心内心 C C 重心重心 D D 垂心垂心点拨点拨：由已知条件可得：由已知条件可得同理可得同理可得则则O O点一定是点一定是ABCABC的内心的内心B第三十三页，讲稿共三十七页哦 例例5 5、已知非零向量已知非零向量 与与 满足满足且且 ，
17、则，则ABCABC为（为（）A A 三边均不相等的三角形三边均不相等的三角形 B B直角三角形直角三角形 C C等腰非等边三角形等腰非等边三角形 D D等边三角形等边三角形点拨：点拨：从从 可知可知 的平分线垂的平分线垂直对边直对边BCBC，故，故ABCABC为等腰三角形；为等腰三角形；可知可知cosA=cosA=，所以，所以 =60 =60，故故ABCABC为等边三角形。为等边三角形。从从D第三十四页，讲稿共三十七页哦例例6 6、已知已知O O是平面上一点是平面上一点,A A、B B、C C是平面上不共线的三是平面上不共线的三个点个点,点点O O满足满足则则O O点一定是点一定是ABCABC的（的（）A A 外心外心 B B 内心内心 C C 重心重心 D D 垂心垂心则则O O点一定是点一定是ABCABC的内心的内心四心逐个四心逐个突破突破B第三十五页，讲稿共三十七页哦ABCO证证：设设例例7、已知已知O为为ABC所在平面内一点，且所在平面内一点，且满满足足:问：问：O是是ABC的的_心。心。化简：化简：同理：同理：从而从而 垂心垂心第三十六页，讲稿共三十七页哦感感谢谢大大家家观观看看第三十七页，讲稿共三十七页哦