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1、动态系统的最优控制动态系统的最优控制方法方法第一页，讲稿共四十二页哦 最优控制理论是现代控制理论的核心，20世纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。所谓最优控制系统，是在一定的具体条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标达到最优。本章重点讨论了最优控制系统常用的方法：变分法、极小值原理和线性二次型优化三种方法及在典型系统设计中的应用。概述概述最优控制：在系统的状态方程和约束给定的情况下，寻找最优控制律，使 系统的性能指标达到最优。一、概述一、概述第二页，讲稿共四十二页哦问题的提出2.2.初态和终态：初态和终态：(最优控制的四个要素最优控制的四个要素)1.1.状态方程：状态方程：
2、3.3.容许控制容许控制 ：目标集目标集二、问题的提出L L为状态控制过程中对工作品质的要求为状态控制过程中对工作品质的要求一般表示一般表示:对终端状态的要求对终端状态的要求4 4.性能指标性能指标：第三页，讲稿共四十二页哦性能指标的类型性能指标的类型三三.性能指标的类型性能指标的类型积分型性能指标积分型性能指标:末值型性能指标末值型性能指标:复合型性能指标：四四.主要数学方法主要数学方法 解析法 数值法 梯度型法第四页，讲稿共四十二页哦泛函与变分的基本概念泛函与变分的基本概念一一.泛函与变分的基本概念泛函与变分的基本概念1.泛函与变分的基本概念(1)泛函(2)2)函数的变分函数的变分第五页，
3、讲稿共四十二页哦(3)泛函的连续性：(4)(4)线性泛函：线性泛函：线性泛函线性泛函第六页，讲稿共四十二页哦(5)泛函的变分最优控制中的变分法最优控制中的变分法第七页，讲稿共四十二页哦泛函变分的求法定理：定理：性质：性质：最优控制中的变分法最优控制中的变分法5.第八页，讲稿共四十二页哦例例解解:最优控制中的变分法最优控制中的变分法第九页，讲稿共四十二页哦泛函的极值最优控制中的变分法最优控制中的变分法二、泛函的极值第十页，讲稿共四十二页哦无约束条件的泛函极值问题-横截条件横截条件定理：设设-欧拉方程第十一页，讲稿共四十二页哦固定始端和终端固定始端和终端无约束条件的泛函极值问题 (1)固定始端和终
4、端固定始端和终端则横截横截条件为：tx(t)tft0(2)固定始端和自由终端固定始端和自由终端则横截横截条件为：tx(t)tft0第十二页，讲稿共四十二页哦自由始端和固定终端自由始端和固定终端无约束条件的泛函极值问题 (4)自由始端和自由终端自由始端和自由终端(3)自由始端和固定终端自由始端和固定终端横截横截条件为：横截横截条件为：tx(t)tft0tx(t)tft0第十三页，讲稿共四十二页哦例例 已知已知解：解：求求无约束条件的泛函极值问题 例例第十四页，讲稿共四十二页哦有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题定理：设欧拉方程欧拉方程定理横截条件横截条件第十五页，讲稿共四十二
5、页哦例已知:有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题例例第十六页，讲稿共四十二页哦设设解解:有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题则：则：解解第十七页，讲稿共四十二页哦为常数为常数 有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题解得：解得：这里这里由由得：得：续续第十八页，讲稿共四十二页哦由边界条件：由边界条件：有约束条件下的泛函数极值问题有约束条件下的泛函数极值问题由由得：得：即：即：续续第十九页，讲稿共四十二页哦变分法求解最优控制问题设状态方程其中，求构造构造Harmilton函数：函数：式中：式中：拉格朗日乘子分量拉格朗日乘子分量第二十页，讲稿
6、共四十二页哦变分法求解最优控制问题下面分两种情况进行讨论:对于最优控制问题对于最优控制问题一、末端时刻一、末端时刻固定固定,任意任意(终端自由终端自由)求最优解的必要条件求最优解的必要条件.下面分两种情况进行讨论:求最优解的必要条件求最优解的必要条件第二十一页，讲稿共四十二页哦末端固定终端自由末端固定终端自由定理定理:对于最优控制问题对于最优控制问题一、末端时刻一、末端时刻固定固定,任意任意(终端自由终端自由)最优解的必要条件最优解的必要条件:正则方程满足1.变分法求解最优控制问题第二十二页，讲稿共四十二页哦变分法求解最优控制问题其中：Harmilton函数函数2.2.边界条件边界条件横截条件
7、横截条件3.3.极值条件续续第二十三页，讲稿共四十二页哦变分法求解最优控制问题证明证明:构造增广泛函证明证明第二十四页，讲稿共四十二页哦变分法求解最优控制问题续续第二十五页，讲稿共四十二页哦例设系统试求使变分法求解最优控制问题其中给定，求解：解：例题例题第二十六页，讲稿共四十二页哦变分法求解最优控制问题续续第二十七页，讲稿共四十二页哦变分法求解最优控制问题当续续第二十八页，讲稿共四十二页哦末端固定终端受约末端固定终端受约二、末端时刻二、末端时刻固定固定,受约束受约束定理：对于min（终端受约束）（终端受约束）其中正则方程1.满足其中：变分法求解最优控制问题第二十九页，讲稿共四十二页哦2.边界条
8、件：横截条件：3.极值条件：变分法求解最优控制问题续续第三十页，讲稿共四十二页哦极小值原理 例一阶系统 极小值原理由前苏联学者庞德里亚金于极小值原理由前苏联学者庞德里亚金于19561956年提出，它由变年提出，它由变分法引申而来。分法引申而来。定理：设定常系统只要求：固定时，求的必要条件：第三十一页，讲稿共四十二页哦1.正则方程正则方程其中其中定理：设定常系统只要求：固定时，求的必要条件：极小值原理 正则方程正则方程2.横截条件横截条件3.极小值条件极小值条件边界条件边界条件第三十二页，讲稿共四十二页哦极小值原理 已知系统求：例例题例题解：线性定常系统，固定，自由，受约束由协态方程使Hmin得
9、：得：第三十三页，讲稿共四十二页哦极小值原理解得：续续第三十四页，讲稿共四十二页哦由由当当 求出求出 时时 的初态的初态极小值原理续续第三十五页，讲稿共四十二页哦线性二次型问题的最优控制一一.问题的提出问题的提出设系统设系统其中其中其中第三十六页，讲稿共四十二页哦线性二次型问题的最优控制（续）二次型指标中各项的物理含义：二次型指标中各项的物理含义：表示对过程的要求，对每个状态分量的要求由Q阵来控制表示对控制能力的要求，即在整个控制过程中，消耗能量最少表示对终点状态的要求，对每个状态分量的要求由F阵来控制第三十七页，讲稿共四十二页哦线性二次型问题的最优控制（续）线性二次型最优控制问题指：线性系统
10、，性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数的积分及二次型末值项状态调节器：状态调节器：输出调节器：输出调节器：输出跟踪调节器：输出跟踪调节器：第三十八页，讲稿共四十二页哦有限时间时变状态调节器有限时间时变状态调节器二二.有限时间时变状态调节器有限时间时变状态调节器(tf 固定固定)设线性时变系统状态空间描述为：设线性时变系统状态空间描述为：线性二次型问题的最优控制线性二次型问题的最优控制性能泛函性能泛函式中式中第三十九页，讲稿共四十二页哦最优性能指标其中满足下列黎卡提矩阵微分方程边界条件最优轨迹满足：线性二次型问题的最优控制线性二次型问题的最优控制续续第四十页，讲稿共四十二页哦三.无限时间最优状态调节器系统常数阵A，B要求（A，B）能控，常值阵Q，R寻求最优控制tf+线性二次型问题的最优控制线性二次型问题的最优控制第四十一页，讲稿共四十二页哦最优性能指标：定理：存在，且唯一。其中其中为对称正定常值阵，且满足如下黎卡提矩阵代数方程为对称正定常值阵，且满足如下黎卡提矩阵代数方程线性二次型问题的最优控制定理定理第四十二页，讲稿共四十二页哦