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1、第十二讲常微分方程和差分方程现在学习的是第1页，共60页基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.线性方程线性方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构相关定理相关定理二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容微分方程微分方程现在学习的是第2页，共60页微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程
2、高阶方程分离变量法分离变量法变量代换法变量代换法常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法降降降降阶阶阶阶作作变变换换现在学习的是第3页，共60页基本概念基本概念一阶方程一阶方程n n阶常系数线性阶常系数线性方程方程二阶方程二阶方程一、主要内容一、主要内容差分方程差分方程特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式的形式及特解形式及特解形式代入法代入法特征特征 根法根法待定系数法待定系数法线性方程线性方程解的结构解的结构相关定理相关定理特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式的形式及特解形式及特解形式特征方程法特征方程法待定系数
3、法待定系数法现在学习的是第4页，共60页差分方程解题思路差分方程解题思路一阶方程一阶方程二阶方程二阶方程代入法代入法特征根法特征根法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法现在学习的是第5页，共60页1.1.微分基本概念微分基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解数称为微分方程的解
4、 现在学习的是第6页，共60页通解通解如果如果微分方程的解中含有独立的任意常数，并微分方程的解中含有独立的任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题现在学习的是第7页，共60页(1)可分离变量的微分方程可分离变量的微分方
5、程解法解法分离变量法分离变量法2.2.一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法(2)齐次方程齐次方程解法解法作变量代换作变量代换现在学习的是第8页，共60页(3)一阶线性微分方程一阶线性微分方程上述方程称为齐次的上述方程称为齐次的上述方程称为非齐次的上述方程称为非齐次的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为（用分离变量法）（用分离变量法）非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为（用常数变易法）（用常数变易法）现在学习的是第9页，共60页3.3.可降阶的高阶微分方程的解法可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得现在
6、学习的是第10页，共60页特点特点 型型解法解法代入原方程代入原方程,得得.线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构:现在学习的是第11页，共60页（2 2）二阶非齐次线性方程解的结构）二阶非齐次线性方程解的结构:现在学习的是第12页，共60页现在学习的是第13页，共60页.二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其
7、通解的方法称为其通解的方法称为特征方程法特征方程法.现在学习的是第14页，共60页特征方程为特征方程为现在学习的是第15页，共60页.二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法待定系数法.现在学习的是第16页，共60页现在学习的是第17页，共60页差分的定义差分的定义7.差分方程基本概念现在学习的是第18页，共60页现在学习的是第19页，共60页差分方程与差分方程的阶差分方程与差分方程的阶定义定义1现在学习的是第20页，共60页定义定义2现在学习的是第21页，共60页为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性
8、，往为了反映某一事物在变化过程中的客观规律性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附往根据事物在初始时刻所处状态，对差分方程所附加的条件加的条件.通解中任意常数被初始条件确定后的解通解中任意常数被初始条件确定后的解.初始条件初始条件差分方程的特解差分方程的特解差分方程的解差分方程的解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解阶数相同的差分方程的解.差分方程的通解差分方程的通解现在学习的是第22页，共60页n阶常系数齐次线性差分方程的标准形式阶常系数齐次线性差分方程的标准形式n阶常系数非齐次线性差分方程的标准形式阶常系数非齐次线
9、性差分方程的标准形式8.常系数线性差分方程解的结构现在学习的是第23页，共60页n阶常系数齐次线性差分方程解的结构阶常系数齐次线性差分方程解的结构现在学习的是第24页，共60页（是任意常数）是任意常数）现在学习的是第25页，共60页现在学习的是第26页，共60页9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解现在学习的是第27页，共60页现在学习的是第28页，共60页现在学习的是第29页，共60页特征方程特征方程特征根特征根现在学习的是第30页，共60页10.一阶常系数非齐次线性差分方程的求解现在学习的是第31页，共60页现在学习的是第32页，共60页(1)(2)综上讨论综上讨论现在学习的是第33页，共6
10、0页现在学习的是第34页，共60页二、典型例题二、典型例题例例1 1解解原方程可化为原方程可化为现在学习的是第35页，共60页代入原方程得代入原方程得分离变量分离变量两边积分两边积分所求通解为所求通解为现在学习的是第36页，共60页例例2 2解解原式可化为原式可化为原式变为原式变为对应齐次方通解为对应齐次方通解为一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程伯努利方程伯努利方程现在学习的是第37页，共60页代入非齐次方程得代入非齐次方程得原方程的通解为原方程的通解为利用常数变易法利用常数变易法现在学习的是第38页，共60页例例3 3解解代入方程，得代入方程，得故方程的通解为故方程的通解为现在学习的是第3
11、9页，共60页例例4 4解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为现在学习的是第40页，共60页原方程的一个特解为原方程的一个特解为故原方程的通解为故原方程的通解为现在学习的是第41页，共60页由由解得解得所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为现在学习的是第42页，共60页例例5 5解解特征方程特征方程特征根特征根对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为设原方程的特解为设原方程的特解为现在学习的是第43页，共60页由由解得解得现在学习的是第44页，共60页故原方程的通解为故原方程的通解为由由即即现在学习的是第4
12、5页，共60页例例6 6解解（）由题设可得：（）由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得现在学习的是第46页，共60页例例1.求下列方程的通解提示提示:(1)故为分离变量方程:通解(2)这是一个齐次方程，令 y=u x,化为分离变量方程:现在学习的是第47页，共60页方程两边同除以 x 即为齐次方程,令 y=u x,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为现在学习的是第48页，共60页例例2.求下列方程的通解:提示提示:(1)令 u=x y,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为现在学习的是第49页，共60页令 y=u t(齐次方程)令 t
13、=x 1,则可分离变量方程求解化方程为现在学习的是第50页，共60页例例3.设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2003考研)(2)求出F(x)的表达式.解解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:现在学习的是第51页，共60页(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是 现在学习的是第52页，共60页原方程化为,即则故原方程通解提示提示:令现在学习的是第53页，共60页例例2.且满足方程提示提示:则问题化为解初值问题:最后求得现在学习的是第54页，共60页思考思考:设提示提示:对积分换元,则有解初值问题
14、:答案:现在学习的是第55页，共60页的解.例例3.设函数内具有连续二阶导(1)试将 xx(y)所满足的微分方程 变换为 yy(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件 数,且解解:上式两端对 x 求导,得:(1)由反函数的导数公式知(2003考研考研)现在学习的是第56页，共60页代入原微分方程得 (2)方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0,从而得的通解:现在学习的是第57页，共60页由初始条件 得故所求初值问题的解为 现在学习的是第58页，共60页备用题备用题 有特而对应齐次方程有解微分方程的通解.解解:故所给二阶非齐次方程为方程化为1.设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程现在学习的是第59页，共60页故再积分得通解复习复习:一阶线性微分方程 通解公式:现在学习的是第60页，共60页