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1、多元线性回归与多元逐步回归现在学习的是第1页，共34页例例 子子一个应变量与多个自变量间的关系儿童身高与年龄、性别的关系儿童身高与年龄、性别的关系肺活量与年龄、性别、身高、体重肺活量与年龄、性别、身高、体重以及胸围的呼吸差等因素的关系以及胸围的呼吸差等因素的关系多元线性回归如构成线性依存关系现在学习的是第2页，共34页第一节第一节 多元线性回归多元线性回归第二节多元逐步回归第二节多元逐步回归第三节第三节 多元线性回归的注意事项多元线性回归的注意事项现在学习的是第3页，共34页第一节第一节 多元线性回归多元线性回归（multiple linear regression）现在学习的是第4页，共34
2、页多元线性回归的数据格式多元线性回归的数据格式现在学习的是第5页，共34页一、多元线性回归方程(multiplelinearregressionequation)常数项，表示当所有自变量为0时应变量Y的总体平均值的估计值表示除以外的其它自变量固定不变的情况下，每改变一个测量单位时所引起的应变量Y的平均改变量bj为偏回归系数（partialregressioncoefficient)现在学习的是第6页，共34页两个自变量与应变量的散点图两个自变量与应变量的散点图现在学习的是第7页，共34页两个自变量与应变量的拟合面两个自变量与应变量的拟合面bj 为为 xj方向的斜率方向的斜率现在学习的是第8页，
3、共34页1.求偏回归系数求偏回归系数bj及及b0根据最小二乘法根据最小二乘法(method of least square)(method of least square)原理求出原理求出b bj j,即即得到得到bj现在学习的是第9页，共34页 2.2.2.2.例例例例 子子子子例例11.1 2011.1 20名糖尿病人的血糖、胰岛素及生长素的测定值列于下表中，试建立血糖名糖尿病人的血糖、胰岛素及生长素的测定值列于下表中，试建立血糖对于胰岛素及生长素的二元线性回归方程对于胰岛素及生长素的二元线性回归方程。现在学习的是第10页，共34页对于本例有对于本例有:采用最小二乘法即可求出常数项采用最小
4、二乘法即可求出常数项b b0 0和偏回归系数和偏回归系数b b1 1、b b2 2。其中其中现在学习的是第11页，共34页对表对表11-211-2的数据资料由的数据资料由SASSAS统计软件可得到如下统计软件可得到如下表表11-311-3的主要结果。的主要结果。由此得到回归方程为由此得到回归方程为现在学习的是第12页，共34页二、回归方程的假设检验二、回归方程的假设检验1.1.模型检验模型检验其中：自由度为总n1，回归k，剩余nk1现在学习的是第13页，共34页X2X1YModel SSTotal SSResidual SS现在学习的是第14页，共34页由表由表11-4可知，可知，F21.54
5、，P0.05。从而，拒绝。从而，拒绝H0，可以认为，可以认为和和不全为不全为0，即所求回归方程有统计学意义。，即所求回归方程有统计学意义。对于例对于例11.111.1的模型检验的模型检验H H0 0：H H1 1：和和不全为不全为0 0 0.050.05对表对表11-311-3的数据资料，由的数据资料，由SASSAS统计软件可得到如下表统计软件可得到如下表11-411-4的模型检验结果。的模型检验结果。现在学习的是第15页，共34页偏回归系数的检验（1 1）F F检验检验j=1,2,k之中，之中，U U 为为XjXj 的偏回归平方和的偏回归平方和,即即U U=SS SS回归回归SSSS回归回归
6、(-(-j j)Fj服从F(1,n-k-1)分布现在学习的是第16页，共34页表表11-511-5例例11.111.1数据的偏回归系数数据的偏回归系数F F检验表检验表方程内方程内自变量自变量平方和平方和F FP PSSSS回归回归SSSS回归回归-SSSS回归回归(-j)(-j)SSSS残差残差X1,X2X1,X2116.6116.646.02546.025X2X266.27566.27550.35250.35218.59818.5980.00.050.05在在 0.050.05水平上，可以认为胰岛素对血糖的线性回归关系有统计学意义，而生长素对水平上，可以认为胰岛素对血糖的线性回归关系有统计
7、学意义，而生长素对血糖的线性回归关系无统计学意义。所以应剔除血糖的线性回归关系无统计学意义。所以应剔除X X2 2，只建立，只建立X X1 1与与Y Y的线性回归方程。的线性回归方程。现在学习的是第17页，共34页(2)(2)t t 检验检验j=1,2,k，P=0.0005；在在0.050.05水平下，认为血糖与胰岛素的线性回归关系水平下，认为血糖与胰岛素的线性回归关系有统计学意义，而与生长素的线性回归关系无统计学意义。有统计学意义，而与生长素的线性回归关系无统计学意义。结论与结论与 F F 检验一致检验一致。，P=0.4110。现在学习的是第18页，共34页三、标准化回归系数三、标准化回归系
8、数三、标准化回归系数三、标准化回归系数（stastastastan n n ndardized partial regression coefficient)dardized partial regression coefficient)dardized partial regression coefficient)dardized partial regression coefficient)式中，式中，S Sj j及及S Sy y 分别为自变量分别为自变量X Xj j 及因变量及因变量Y Y 的标准差。的标准差。可以利用标准化偏回归系数的大小可以利用标准化偏回归系数的大小 来反映各自变量的
9、贡献大小。来反映各自变量的贡献大小。现在学习的是第19页，共34页复相关系数（复相关系数（复相关系数（复相关系数（multiple correlationmultiple correlationmultiple correlationmultiple correlation coefficientcoefficientcoefficientcoefficient）又称多元相关系数或全相关系数，表示回归方程中的全部自变量又称多元相关系数或全相关系数，表示回归方程中的全部自变量 X X共共 同对应变量同对应变量Y Y的相关密切程度。复相关系数取值总为正值，在的相关密切程度。复相关系数取值总为正值，
10、在0 0与与1 1之间，简记为之间，简记为R R。如果只有一个自变量，此时。如果只有一个自变量，此时 四、四、复相关系数与决定系数复相关系数与决定系数现在学习的是第20页，共34页2 2决定系数决定系数(coefficient of determination(coefficient of determination）复相关系数的平方又称决定系数，记为复相关系数的平方又称决定系数，记为 ，用以反映线，用以反映线性回归方程能在多大程度上解释应变量性回归方程能在多大程度上解释应变量Y Y的变异性的变异性。回归方程的拟合程度越好，残差平方和就越小，决定系数回归方程的拟合程度越好，残差平方和就越小，决
11、定系数 越接近越接近1 1，决定系，决定系数数 越接近越接近1 1现在学习的是第21页，共34页 第二节多元逐步回归第二节多元逐步回归 （multiple stepwise regression）现在学习的是第22页，共34页1.多元逐步回归的基本思想多元逐步回归的基本思想多元逐步回归（多元逐步回归（multiple stepwise regressionmultiple stepwise regression）有三种筛选自变量的方法有三种筛选自变量的方法 ：1 1向后法（向后法（Backward selectionBackward selection）先建立一个全因素的回归方程，然后每先建立
12、一个全因素的回归方程，然后每次剔除一个偏回归平方和最小且无统计学意义的自变量，直到不能剔除时为止，次剔除一个偏回归平方和最小且无统计学意义的自变量，直到不能剔除时为止，此法的计算量大，有时不能实现。此法的计算量大，有时不能实现。2 2向前法（向前法（forward selectionforward selection）方程由一个自变量开始，每次引入一个偏回方程由一个自变量开始，每次引入一个偏回归平方和最大，且具有统计学意义的自变量，由少到多，直到无具有统计意义归平方和最大，且具有统计学意义的自变量，由少到多，直到无具有统计意义的因素可以引入为止。用此法建立的方程有时不够精炼。的因素可以引入为止
13、。用此法建立的方程有时不够精炼。3.3.逐步法（逐步法（stepwise selecfionstepwise selecfion）取上述两种方法的优点，在向前引入每一个取上述两种方法的优点，在向前引入每一个新自变量之后都要重新对前已选入的自变量进行检查，以评价其有无继续保留在方新自变量之后都要重新对前已选入的自变量进行检查，以评价其有无继续保留在方程中的价值。为此引入和剔除交替进行，直到无具有统计学意义的新变量可以引入程中的价值。为此引入和剔除交替进行，直到无具有统计学意义的新变量可以引入也无失去其统计学意义的自变量可以剔除时为止。也无失去其统计学意义的自变量可以剔除时为止。现在学习的是第23
14、页，共34页2.多元逐步回归的基本原理多元逐步回归的基本原理 每一步只引入或剔除一个自变量。自变量是否被引入或剔除则取决于其偏回归每一步只引入或剔除一个自变量。自变量是否被引入或剔除则取决于其偏回归平方和的平方和的F F检验或校正决定系数。检验或校正决定系数。如方程中已引入了如方程中已引入了(m m-1)-1)个自变量，在此基础上考虑再引入变量个自变量，在此基础上考虑再引入变量X Xj j 。记引入记引入X Xj j 后方程（即含后方程（即含m m个自变量）的回归平方和为个自变量）的回归平方和为SSSS回归回归，残差为，残差为SSSS残差；残差；之前含之前含(m m-1)1)个自变量（不包含个
15、自变量（不包含X Xj j ）方程的回归平方和为）方程的回归平方和为SSSS回归回归(-(-j j)，则，则X Xj j 的偏回归平方的偏回归平方和为和为 U U=SS SS回归回归SSSS回归回归(-(-j j)，检验统计量为：，检验统计量为：Fj 服从F (1,n-m-1)分布如果如果FjF(1,n-m-1)，则，则 Xj选入方程；否则，不入选。选入方程；否则，不入选。从方程中剔除无统计学作用的自变量，过程则相反，但检验一样。从方程中剔除无统计学作用的自变量，过程则相反，但检验一样。现在学习的是第24页，共34页3.多元逐步回归的检验水平多元逐步回归的检验水平 在进行逐步回归前，首先应确定
16、检验水平，以作为引入或剔在进行逐步回归前，首先应确定检验水平，以作为引入或剔除变量的标准。检验水平可以根据具体情况而定，一般可将除变量的标准。检验水平可以根据具体情况而定，一般可将 F F 值定在值定在 为为0.050.05、0.100.10或或0.200.20水平上。对于回归方程的选入水平上。对于回归方程的选入和剔除水平往往选择和剔除水平往往选择 选入选入 剔除剔除。选择不同的选择不同的F F 值值(或或 水平水平)，其回归方程的结果可能不一致，其回归方程的结果可能不一致，一般可选不同的一般可选不同的F F 值值(或或 值值)作调试。至于何种结果是正确的，作调试。至于何种结果是正确的，必须结
17、合医学的实际意义来确定必须结合医学的实际意义来确定。现在学习的是第25页，共34页4.多元逐步回归事例多元逐步回归事例 对例对例11.211.2采用逐步法筛选自变量，选入水准为采用逐步法筛选自变量，选入水准为 0.10,0.10,剔除水准为剔除水准为0.150.15，SAS SAS 软件计算过程及相应结果见表软件计算过程及相应结果见表11-811-8至至 表表11-1111-11。现在学习的是第26页，共34页现在学习的是第27页，共34页现在学习的是第28页，共34页多元逐步回归方程为：多元逐步回归方程为：现在学习的是第29页，共34页第三节第三节多元线性回归的注意事项多元线性回归的注意事项
18、现在学习的是第30页，共34页1.1.1.1.应用条件应用条件应用条件应用条件（1 1）线性依存关系线性依存关系 应变量与自变量间具有线性依存应变量与自变量间具有线性依存关系。关系。（2 2）正态性正态性 应变量原则上是连续型可测正态变量，应变量原则上是连续型可测正态变量，其预测值与实际观测值的差值（即残差）服从正态分布，其预测值与实际观测值的差值（即残差）服从正态分布，当样本量较大时可以忽略正态性的要求。当样本量较大时可以忽略正态性的要求。（3 3）独立性）独立性 观察单位之间是独立的，即应变量的观测观察单位之间是独立的，即应变量的观测值相互独立。值相互独立。现在学习的是第31页，共34页2
19、.2.样本含量样本含量 一般应使样本量是自变量个数的一般应使样本量是自变量个数的一般应使样本量是自变量个数的一般应使样本量是自变量个数的 5 5 5 5 倍以上。倍以上。3.3.自变量的数量化自变量的数量化 注意名义变量的数量化。注意名义变量的数量化。现在学习的是第32页，共34页4.4.筛选自变量的检验水平筛选自变量的检验水平 要考虑入选变量的实际意义。要考虑入选变量的实际意义。5.5.多重共线性多重共线性 可采用主成分分析或因子分析等方法构建新的自变可采用主成分分析或因子分析等方法构建新的自变量后再进行多元线性回归来消除多重共线性。量后再进行多元线性回归来消除多重共线性。现在学习的是第33页，共34页谢谢 谢谢 ！现在学习的是第34页，共34页