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1、关于函数的单调性定义第一页，讲稿共二十一页哦问题提出问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下他经过测试，得到了以下一些数据：一些数据：时间间时间间隔隔 t刚记刚记忆忆完完毕毕20分分钟钟后后60分分钟钟后后8-9小小时时后后1天天后后2天天后后6天天后后一个一个月后月后记忆记忆量量y(百分比百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量以上数据表明，记忆量y y是时间是时间间隔间隔t t的函数的函数.艾宾浩斯根据这艾宾浩斯
2、根据这些数据描绘出了著名的些数据描绘出了著名的“艾宾浩艾宾浩斯遗忘曲线斯遗忘曲线”,”,如图如图.123tyo20406080100第二页，讲稿共二十一页哦思考思考1:1:当时间间隔当时间间隔t t逐渐增逐渐增 大你能看出对应的函数值大你能看出对应的函数值y y有什么变化趋势？通过这个有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待试验，你打算以后如何对待刚学过的知识刚学过的知识?思考思考2 2:“艾宾浩斯遗忘曲线艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123第三页，讲稿共二十
3、一页哦画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律：1、从左至右图象上升还是下降、从左至右图象上升还是下降 _?2、在在区区间间 _上上，随随着着x的的增增大大，f(x)的的值值随随着着 _ f(x)=x(-,+)增大增大上升上升第四页，讲稿共二十一页哦1、在在区区间间 _ 上上，f(x)的的值值随随着着x的的 增增 大大 而而 _2、在在区区间间 _ 上上，f(x)的的值值随随着着x的的增增大大而而 _ f(x)=x2(-,0(0,+)增大增大减小减小画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律：图象在图象在y轴左侧轴左侧”下降下降“图象在
4、y轴右侧”上升“第五页，讲稿共二十一页哦x-4-3-2-101234f(x)=x216941014916第六页，讲稿共二十一页哦思考：思考：如图为函数如图为函数f(X)在定义域在定义域I内某个内某个区间区间D上的图象，对于该区间上上的图象，对于该区间上任意两个自变量任意两个自变量x1和和x2，当，当x1x2 时，时，f(x1)与与f(x2)的大小关系如何的大小关系如何？思考思考:我我们们把具有上述特点的函数称把具有上述特点的函数称为为增函数，增函数，那么怎那么怎样样定定义义“函数函数f(x)f(x)在区间在区间D D上是增函数上是增函数”？yxox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)对于函数
5、定义域对于函数定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自上的任意两个自变量的值变量的值x1,x2，若当，若当x1 x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)则称函数则称函数f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数.第七页，讲稿共二十一页哦考察下列两个函数考察下列两个函数:xyoxoy二者有何共同特征？二者有何共同特征？f(x)=-xf(x)=x2(x0)第八页，讲稿共二十一页哦思考：思考：如图为函数如图为函数f(X)在定义域在定义域I内某个区内某个区间间D上的图象，对于该区间上任意上的图象，对于该区间上任意两个自变量两个自变量x1和和x2，当，当x1x2 时，时，f(x1)与与f(x2)的大
6、小关系如何的大小关系如何？思考思考:我我们们把具有上述特点的函数称把具有上述特点的函数称为为减函数，减函数，那么怎那么怎样样定定义义“函数函数f(x)f(x)在区间在区间D D上是减函数上是减函数”？对于函数定义域对于函数定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自上的任意两个自变量的值变量的值x1,x2，若当，若当x1 f(x2)则称函数则称函数f(x)在区间在区间D上是减函数上是减函数.xyox1x2f(x1)f(x2)y=f(x)第九页，讲稿共二十一页哦一、函数单调性定义一、函数单调性定义 一一般般地地，设设函函数数y=f(x)的的定定义义域域为为I，如如果果对对于于定定义义域域I内内的
7、的某某个个区区间间D内内的的任任意意两两个个自自变变量量x1，x2，当当x1x2时时，都都有有f(x1)f(x2)，那那么么就就说说f(x)在在区区间间D上是上是增函数增函数 1增函数增函数第十页，讲稿共二十一页哦一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数减函数 2减函数减函数 第十一页，讲稿共二十一页哦 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区在这一区间具有（严格的）间具有（严格的）单调性
8、单调性，区间，区间D叫做叫做y=f(x)的的单调区间单调区间.二二函数的单调性定义函数的单调性定义第十二页，讲稿共二十一页哦（1）对对于于某某函函数数，若若在在区区间间(0，+)上上，当当x1时时，y1；当当 x2时时，y3，能能否否说说在在该该区区间上间上 y 随随 x 的增大而增大呢的增大而增大呢?问题：问题：xy21013思考思考第十三页，讲稿共二十一页哦（2 2）若若x1，2，3，4，时，相应地，时，相应地 y1，3，4，6，能否说在区间能否说在区间(0，+)上上，y 随随x 的增大而增大的增大而增大呢？呢？xy10342第十四页，讲稿共二十一页哦（3）若有）若有n个正数个正数x1 x
9、2x3 xn，它们，它们的函数值满足的函数值满足:y1 y2y3 yn能否就能否就说在区间说在区间(0，+)上上y随着随着x的增大，而增大的增大，而增大呢？呢？若若x取无数个呢取无数个呢?x xy yx10 x2x3xny1y2y3yn第十五页，讲稿共二十一页哦思考思考:一般地，若函数一般地，若函数 在区间在区间A A、B B上是上是单调函数，那么单调函数，那么 在区间在区间 上是单调函上是单调函数吗？数吗？注意：注意：1、函函数数的的单单调调性性是是在在定定义义域域内内的的某某个个区区间间上上的的性性质质，是函数的是函数的局部性质局部性质；2、必须是对于区间必须是对于区间D内的内的任意任意两
10、个自变量两个自变量x1，x2；当；当x1x2时，时，总有总有f(x1)f(x2)分别分别是增函数和减函数是增函数和减函数.第十六页，讲稿共二十一页哦yoxoyxyoxyoxyox在 增函数在 减函数在 增函数在 减函数在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在(-,+)是增函数在(-,0)和(0,+)是增函数yox第十七页，讲稿共二十一页哦例1、下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数解：函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中其中y=f(x)在区间在
11、区间-5,-2),1,3)是减函数，是减函数，在区间在区间-2,1),3,5 上是增函数。上是增函数。第十八页，讲稿共二十一页哦 例例2、物理学中的玻意耳定律、物理学中的玻意耳定律 告诉告诉我们，对于一定量的气体，当其体积我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压减小时，压强强p将增大。试用函数的单调性证明之。将增大。试用函数的单调性证明之。证明：证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+)上的任意两个实数，且V1V2，则由V1，V2(0，+)且V10,V2-V1 0又k0,于是 所以，函数 是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.取值定号变形作差结论结论第十九页，讲稿共二十一页哦三三判断函数单调性的方法步骤判断函数单调性的方法步骤 1 任取任取x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 下下结结论论（即即指指出出函函数数f(x)在在给给定定的的区区间间D上上的的单单调性）调性）利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单调性上的单调性的一般步骤：的一般步骤：第二十页，讲稿共二十一页哦感谢大家观看27.09.2022第二十一页，讲稿共二十一页哦