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1、关于线性方程组的迭代法(2)现在学习的是第1页，共28页引言引言线性方程组解法在数值分析中占有极其重要的地线性方程组解法在数值分析中占有极其重要的地线性方程组解法在数值分析中占有极其重要的地线性方程组解法在数值分析中占有极其重要的地位。位。位。位。线性方程组解法大致分为两类：迭代法和直接线性方程组解法大致分为两类：迭代法和直接法法现在学习的是第2页，共28页一、一、Jacobi迭代法迭代法1.Jacobi迭代法举例迭代法举例例：例：求解方程组求解方程组其中其中精确解是精确解是x*=(1.1,1.2,1.3)T现在学习的是第3页，共28页解：解：将原方程组改写为将原方程组改写为则迭代公式为：则迭
2、代公式为：若选若选 x(0)=(0,0,0)T,则迭代则迭代9次有次有x(9)=(1.09994,1.19994,1.29992)T这就是这就是Jacobi迭迭代法！代法！现在学习的是第4页，共28页2.Jacobi迭代法一般形式迭代法一般形式由方程组由方程组的系数矩阵的系数矩阵A非奇异，不妨设非奇异，不妨设 aii0，方程组，方程组变形为变形为现在学习的是第5页，共28页对应上述的方程组，可得迭代公式为对应上述的方程组，可得迭代公式为其中其中 x(k)为第为第 k 次迭代向量次迭代向量.Jacobi迭代迭代法的一般公法的一般公式式现在学习的是第6页，共28页3.Jacobi迭代法的矩阵形式迭
3、代法的矩阵形式将方程组记为将方程组记为 Ax=b其中其中A非奇异且非奇异且aii 0(I=1,2,n).将将A分裂为分裂为 A=+D+其中其中 现在学习的是第7页，共28页由此可将变形过程用矩阵表示为由此可将变形过程用矩阵表示为 Dx=-(L+U)x+b即即 x=D-1b-(L+U)x =D-1(-L-U)x+D-1b简记为简记为 x=Gx+f故故Jacobi迭代公式的矩阵形式为迭代公式的矩阵形式为现在学习的是第8页，共28页二、二、Gauss-Seidel迭代法迭代法1.Gauss-Seidel迭代法举例迭代法举例例：例：求解方程组求解方程组精确解是精确解是x*=(1.1,1.2,1.3)T
4、现在学习的是第9页，共28页解：解：将原方程组改写为将原方程组改写为则迭代公式为：则迭代公式为：若选若选 x(0)=(0,0,0)T,则迭代则迭代6次有次有x(6)=(1.09999,1.19999,1.30000)T这就是这就是Gauss-Seidel迭代法迭代法:认为最新计算认为最新计算出的分量可能出的分量可能比旧的分量要比旧的分量要好些！好些！现在学习的是第10页，共28页2.Gauss-Seidel迭代法一般形式迭代法一般形式对应于变形方程组对应于变形方程组G-S迭代公式可写为：迭代公式可写为：其中其中 x(k)为第为第 k 次迭代向量次迭代向量.现在学习的是第11页，共28页3.Ga
5、uss-Seidel迭代法的矩阵形式迭代法的矩阵形式将方程组记为将方程组记为 Ax=b其中其中A非奇异且非奇异且aii 0(I=1,2,n).将将A分裂为分裂为 A=+D+其中其中 现在学习的是第12页，共28页由此可将方程组的变形过程用矩阵表示为由此可将方程组的变形过程用矩阵表示为 Dx=-(L+U)x+b这这G-S迭代可表示为迭代可表示为 Dx(k+1)=-Lx(k+1)-Ux(k)+b整理得整理得 x(k+1)=D1(bLx(K+1)Ux(k)x(k+1)=-(D+L)1Ux(k)+(D+L)1b故故G-S迭代公式的矩阵形式为迭代公式的矩阵形式为现在学习的是第13页，共28页注：注：1.
6、对对有有些些问问题题Gauss-Seidel迭迭代代法法确确实实比比Jacobi迭代法收敛得快迭代法收敛得快;2.但但也也有有Gauss-Seidel迭迭代代法法比比Jacobi迭迭代代法收敛得慢法收敛得慢;3.甚甚 至至 还还 有有Jacobi迭迭 代代 法法 收收 敛敛，而而Gauss-Seidel迭代法发散的情形。迭代法发散的情形。现在学习的是第14页，共28页三、超松弛法三、超松弛法1.超松弛法的一般形式超松弛法的一般形式为为了了加加速速迭迭代代过过程程的的收收敛敛，我我们们通通过过引引入入参参数数，在在Gauss-Seidel迭代的基础上得到一种新的迭代法。迭代的基础上得到一种新的迭
7、代法。将前一部的结果将前一部的结果 与高斯与高斯赛德尔方法的赛德尔方法的迭代值迭代值 适当加权平均，期望获得更好的适当加权平均，期望获得更好的近似值近似值现在学习的是第15页，共28页或合并表示为或合并表示为迭代迭代加速加速具体计算公式如下：具体计算公式如下：现在学习的是第16页，共28页（i=1,2,n）可以把可以把 x 看作看作G-S迭代的修正项，迭代的修正项，即第即第 k 次近似解次近似解 x(k)以此项修正后得到新的以此项修正后得到新的近似解近似解 x(k+1)=x(k)+x 松弛法是松弛法是将将x 乘上一个参数因子乘上一个参数因子作为修作为修正项而得到新的近似值，正项而得到新的近似值
8、，其具体公式为：其具体公式为：记记其中其中x(k+1)由由G-S方法算出。于是有方法算出。于是有现在学习的是第17页，共28页x(k+1)=x(k)+x即即按上式计算方程组近似解序列的方法称为按上式计算方程组近似解序列的方法称为松弛法，松弛法，1时，称为超松弛法，简称时，称为超松弛法，简称SOR法法现在学习的是第18页，共28页2.超松弛迭代法举例超松弛迭代法举例例：例：用超松弛法求解下列方程组，取用超松弛法求解下列方程组，取=1.4精确解是精确解是x*=(3,2,1)T现在学习的是第19页，共28页解：解：将原方程组改写为将原方程组改写为则迭代公式为：则迭代公式为：现在学习的是第20页，共2
9、8页3.超松弛迭代法的矩阵形式超松弛迭代法的矩阵形式用分解式用分解式 A=D+，则可写为，则可写为迭代公式也可写为：迭代公式也可写为：即即显然对任何显然对任何值，值，(D+L)非奇异，故非奇异，故现在学习的是第21页，共28页这就是松弛迭代法的矩阵表示。这就是松弛迭代法的矩阵表示。注：注：(1)松弛法是松弛法是G-S法的一种加速方法；法的一种加速方法；(2)具有计算公式简单，程序设计容易；具有计算公式简单，程序设计容易；(3)但需要选择较好的加速因子。但需要选择较好的加速因子。现在学习的是第22页，共28页举例举例 用松弛法解方程组用松弛法解方程组其精确解为其精确解为 x*=(-1,-1,-1
10、,-1)T现在学习的是第23页，共28页解：解：取取(0)=0，建立相应的迭代公式，并选，建立相应的迭代公式，并选 取不同的取不同的值值，迭代次数如下表：，迭代次数如下表：松弛因子满足误差|x(k)x*|2102的迭代次数1.0221.1171.2121.3111.414现在学习的是第24页，共28页松弛因子满足误差|x(k)x*|2102的迭代次数1.5171.6231.7331.8531.9109接上页接上页从表中可以看出，对本例从表中可以看出，对本例=1.3是最佳松弛是最佳松弛因子。因子。现在学习的是第25页，共28页例题选讲例题选讲5.1 迭代公式的设计机理迭代公式的设计机理矩阵分裂矩阵分裂构造迭代公式构造迭代公式任取初始向量任取初始向量x(0)，代入迭代公式，产代入迭代公式，产生向量序列生向量序列x(k)，当当k 充分大时，以充分大时，以x(k)作为方程组的近作为方程组的近似解，就是迭代法似解，就是迭代法.现在学习的是第26页，共28页雅可比迭代雅可比迭代 x=D-1(-L-U)x+D-1b Dx=(-L-U)x+b这里这里 MD,NL+U G-S迭代迭代 x(k+1)=-(D+L)1Ux(k)+(D+L)1b (D+L)x=Ux+b这里这里 MD+L,NU现在学习的是第27页，共28页感谢大家观看现在学习的是第28页，共28页