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1、关于切线的性质和判定第一页，讲稿共二十九页哦.Ol特点：特点：.O叫做直线和圆叫做直线和圆相离相离。直线和圆没有公共点，直线和圆没有公共点，l特点：特点：直线和圆有唯一的公共点，直线和圆有唯一的公共点，叫做直线和圆叫做直线和圆相切相切。这时的直线叫这时的直线叫切线切线，唯一的公共点叫唯一的公共点叫切点切点。.Ol特点：特点：直线和圆有两个公共点，直线和圆有两个公共点，叫直线和圆叫直线和圆相交相交，这时的直线叫做圆的这时的直线叫做圆的割线割线。复习：直线与圆的位置关系复习：直线与圆的位置关系 一、用公共点的个数来区分一、用公共点的个数来区分.A.A.B切点第二页，讲稿共二十九页哦ldrl2、直线
2、和圆相切d rd=rd=rOl3、直线和圆相交d rd rd r第三页，讲稿共二十九页哦 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出 1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？方向是什么方向？2 2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？方向？情景导入第四页，讲稿共二十九页哦想一想 过圆过圆过圆过圆0 0 0 0内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？
3、过内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过内一点作直线，这条直线与圆有什么位置关系？过半径半径半径半径OAOAOAOA上一点（上一点（上一点（上一点（A A A A除外）能作圆除外）能作圆除外）能作圆除外）能作圆O O O O的切线吗？过点的切线吗？过点的切线吗？过点的切线吗？过点A A A A呢？呢？呢？呢？OOr rl l A A第五页，讲稿共二十九页哦经过半径的外端且垂于这条半径经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。的直线是圆的切线。条件：条件：(1)经过半径的外端；经过半径的外端；圆的切线判定定理：圆的切线判定定理：(2)垂直于过该点半径；垂直于过该点半径；OAllOA，且
4、，且l 经过经过O上上 的的A A点点直线直线l是是O的切线的切线符符号号语语言言表表达达第六页，讲稿共二十九页哦说明：说明：在此定理中，题设是在此定理中，题设是“经过半径的外端经过半径的外端”和和“垂直于垂直于这条半径这条半径”，结论为，结论为“直线是圆的切线直线是圆的切线”，两个条件缺一不，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，可，否则就不是圆的切线，下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：切线：定理辨析第七页，讲稿共二十九页哦判 断1.1.过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线
5、（过半径的外端的直线是圆的切线（）2.2.与半径垂直的直线是圆的切线（与半径垂直的直线是圆的切线（与半径垂直的直线是圆的切线（与半径垂直的直线是圆的切线（）3.3.过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）OOr rl lA AOOr rl lA AOOr rl lA A第八页，讲稿共二十九页哦1 1、如何判定一条直线是已知圆的切线？、如何判定一条直线是已知圆的切线？(1)(1)与圆与圆只有一个公共点只有一个公共点的直线是圆的切线；的直线是圆的切线；(2)(2)到圆心的到圆心
6、的距离等于半径距离等于半径的直线是圆的的直线是圆的切线；切线；(3)(3)过半径外端点且和半径垂直的过半径外端点且和半径垂直的直线直线是圆的切线；是圆的切线；(d=r(d=r)归纳：归纳：第九页，讲稿共二十九页哦例例1 直线直线直线直线ABAB经过经过经过经过 OO上的点上的点上的点上的点C,C,并且并且并且并且OA=OB,CA=CB,OA=OB,CA=CB,求证求证求证求证:直线直线直线直线ABAB是是是是 OO的切线的切线的切线的切线.证明证明:连接连接OCOA=OB,CA=CBOA=OB,CA=CBOABOAB是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形,OC,OC 是底边是底边是底
7、边是底边ABAB上的中线上的中线上的中线上的中线OCOCABABABAB是是是是 OO的切线的切线的切线的切线OCBA这种证明方法简记为：这种证明方法简记为：“证切线，连半径，证垂证切线，连半径，证垂直直”注意：注意：使用此方法时必使用此方法时必须已知直线与圆有一公须已知直线与圆有一公共点。共点。第十页，讲稿共二十九页哦练练习习1、如如图图4，AB是是O的的直直径径，ABC=45，AC=AB，AC是是O的切线吗？为什么？的切线吗？为什么？BACO解：解：AB=AC ACB=ABC=450 BAC=900 即即ABAC AB是是 O的直径的直径 AC是是 O的切线的切线变式练习第十一页，讲稿共二
8、十九页哦练习练习2、如图、如图:线段线段AB经过圆心经过圆心O，交，交 O于点于点A、C，BAD=B=30，边，边BD交圆于点交圆于点D。BD是是 O的切线吗？为什么？的切线吗？为什么？AOBCD解：解：BD是是 O的切线的切线连接连接OD OD=OA ODA=BAD=B=300 BOD=600 ODB=900 即：即：ODDB BD是是 O的切线的切线变式练习第十二页，讲稿共二十九页哦证明：连结证明：连结OPOP。ABAB为直径为直径 OB=OAOB=OA，BP=PCBP=PC，OPACOPAC。又又 PEACPEAC，PEOPPEOP。PEPE为为0 0的切线。的切线。练习练习3,ABC3
9、,ABC中，以中，以ABAB为直径的为直径的O O，交边，交边BCBC于于P P，BP=PC,PEACBP=PC,PEAC于于E E。求证求证:PE:PE是是O O的切线。的切线。OOA AB BC CE EP P变式练习第十三页，讲稿共二十九页哦例例2 2:已知：已知：已知：已知：O O O O为为为为BACBACBACBAC平分线上一点，平分线上一点，平分线上一点，平分线上一点，ODABODABODABODAB于于于于D,D,D,D,以以以以O O O O为圆心，为圆心，为圆心，为圆心，ODODODOD为为为为 半径作半径作半径作半径作O O O O。求证：求证：求证：求证：O O O O
10、与与与与ACACACAC相切。相切。相切。相切。OOA AB BC CE ED D证明：过证明：过O O作作OEACOEAC于于E E。AOAO平分平分BACBAC，ODABODAB OE OEODOD OD OD是是O O的半径的半径 ACAC是是O O的切线。的切线。第十四页，讲稿共二十九页哦小 结例例1 1与例与例2 2的证法有何不同的证法有何不同?(1)(1)如果已知直线经过圆上一点如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆则连结这点和圆心心,得到辅助半径得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记再证所作半径与这直线垂直。简记为：为：连半径连半径,证垂直证垂直。(2)(2)如果已知条件
11、中不知直线与圆是否有公共点如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半再证垂线段长等于半径长。简记为：径长。简记为：作垂直作垂直,证半径证半径。OOB BA AC COOA AB BC CE ED D第十五页，讲稿共二十九页哦.OOA AL L 如图：如果直线如图：如果直线如图：如果直线如图：如果直线L L是是是是 OO的切线的切线的切线的切线,切点为切点为切点为切点为A,A,那么那么那么那么半径半径半径半径OAOA与直线与直线与直线与直线L L是不是是不是是不是是不是一定垂直呢一定垂直呢一定垂直呢一定垂直呢?一定垂直
12、一定垂直一定垂直一定垂直切线的性质定理切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径直线直线L是是 O的的切线，切线，A是切点。是切点。LOA于于A点点简记为：简记为：“知切线，连半径，得垂直知切线，连半径，得垂直”第十六页，讲稿共二十九页哦探索切线性质探索切线性质假设假设ABAB与与CDCD不垂直不垂直,过点过点O O作一条直径垂直于作一条直径垂直于CD,CD,垂足为垂足为M,M,则则OMOA,OMOA,即圆心到直线即圆心到直线CDCD的距离的距离小于小于O O的半径的半径,因此因此,CD,CD与与O O相相交交.这与已知条件这与已知条件“直线与直线与O O相相切切”相
13、矛盾相矛盾.CDBOA所以所以ABAB与与CDCD垂直垂直.M第十七页，讲稿共二十九页哦例例3如图，如图，AB是是 O的直径的直径,C为为 O上一点，上一点，AD和过和过点点C的切线互相垂直，垂足为的切线互相垂直，垂足为D.求证：求证：AC平分平分 DABAODCB证明：连接证明：连接OCCD 是是 O的切线，的切线，OC CD.又又ADCD,OC/AD.ACO CAD.又又OC=OD,CAO ACO CAD CAO,故故AC平分平分DAB第十八页，讲稿共二十九页哦1，如图：如图：AC是是 O的切线，的切线，B=600。求。求CAD=?BACODAOCB 2，如图：以，如图：以O为圆心的同心圆
14、，大为圆心的同心圆，大圆的弦圆的弦AB是小圆的切线，是小圆的切线，C是切点，求是切点，求证：证：C是是AB的中点。的中点。第十九页，讲稿共二十九页哦 已已知知如如图图，ABC为为等等腰腰三三角角形形，O是是底底边边BC的的中中点点，O与腰与腰AB相切于点相切于点D。AC与与 O相切吗？为什么相切吗？为什么?E解：解：AC与与 O相切相切 连接连接OD,作作OEAC OEC=900 AB是是 O的切线的切线ODAB,ODB=900=OEC AB=AC B=C O是是BC的中点的中点OB=OC OBDOCE OD=OE AC与与 O相切相切第二十页，讲稿共二十九页哦课堂小结1.1.判定切线的方法有
15、哪些？判定切线的方法有哪些？直线直线l 与圆有唯一公共点与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线是圆的切线2.2.常用的添辅助线方法？常用的添辅助线方法？直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。（再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直连半径，证垂直）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（段，再证明这条垂线段等于圆的半径。（作垂直，证半径作垂直，证半径）l
16、是圆的切线是圆的切线l是圆的切线是圆的切线3.3.圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。圆的切线性质定理：圆的切线垂直于圆的半径。辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直连半径，得垂直”。第二十一页，讲稿共二十九页哦1.切线和圆只有一个公共点切线和圆只有一个公共点.2.切线和圆心的距离等于半径切线和圆心的距离等于半径.3.切线垂直于过切点的半径切线垂直于过切点的半径.4.经过圆心垂直于切线的直线必过切点经过圆心垂直于切线的直线必过切点.5.经过切点垂直于切线的直线必过圆心经过切点垂直于切线的直线必过圆心.切线的性质、可
17、归纳为切线的性质、可归纳为:已知直线满足已知直线满足a.过圆心过圆心,b.过切点过切点,c.垂直于切线垂直于切线中任意两个中任意两个,便得到第三个结论便得到第三个结论.总结：总结：第二十二页，讲稿共二十九页哦 已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，以腰DC的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切，梯形的上底 AD 与底 BC 是方程 x 210 x+16=0 的两根，求 E 的半径 r.F解解：连接EFx 210 x+16=0(X-2)(X-8)=0X1=2 X2=8BC=8 AD=2AB是O的切线EFABABBCEF/BC/ADE是DC的中点 EF是梯形ABCD的中位线EF=(AD+B
18、C)=5第二十三页，讲稿共二十九页哦切线的性质定理的应用切线的性质定理的应用例例.已知已知RtABCRtABC的斜边的斜边AB=8cm,AB=8cm,直角边直角边AC=4cm.AC=4cm.以点以点C C为圆心作圆为圆心作圆,当半径为多长当半径为多长时时,AB,AB与与C C相切相切解解:(1):(1)过点过点C C作作CDABCDAB于于D.D.AB=8cm,AC=4cm.AB=8cm,AC=4cm.A=60A=60因此因此,当半径长为当半径长为 cmcm时时,AB,AB与与C C相切相切.BACB=30B=30D 练一练练一练第二十四页，讲稿共二十九页哦1.AB1.AB1.AB1.AB是是
19、是是O O O O的弦的弦的弦的弦,C,C,C,C是是是是O O O O外一点外一点外一点外一点,BC,BC,BC,BC是是是是O O O O的切线的切线的切线的切线,AB,AB,AB,AB交过交过交过交过C C C C点的直径于点点的直径于点点的直径于点点的直径于点D,OACD,D,OACD,D,OACD,D,OACD,试判断试判断试判断试判断BCDBCDBCDBCD的形状的形状的形状的形状,并并并并 说明你的理由说明你的理由说明你的理由说明你的理由.巩固练习巩固练习第二十五页，讲稿共二十九页哦2、矩形的两边长分别为、矩形的两边长分别为2.5和和5，若以较长，若以较长一边为直径作半圆，则矩形
20、的各边与半圆相一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（切的线段最多有（）A、0条条 B、1条条 C、2条条 D、3条条D第二十六页，讲稿共二十九页哦3 3、已知如图、已知如图 ABCABC内接于内接于 O，过点，过点A A作直线作直线EFEF，ABAB为直径为直径,还需添加的条件是还需添加的条件是.使得使得EFEF是是 O的切线。的切线。FECOBA第二十七页，讲稿共二十九页哦O P1、已知：、已知：P为为 O外一外一点，以点，以OP为直径作圆为直径作圆交交 O于于A、B两点，连两点，连接接PA、PB那么那么PA、PB是是 O的的切线吗？切线吗？AB你一定能行你一定能行第二十八页，讲稿共二十九页哦感谢大家观看9/27/2022第二十九页，讲稿共二十九页哦