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1、SARS对经济指标的影响王海燕 徐昊天 吴德春摘 要本文针对SARS 疫情传播对经济指标影响的问题，建立灰色预测模型，得到03年预测数据，并与实际数据作比较，进而研究SARS疫情对该市各经济指标的影响及其程度。为研究SARS疫情对该市各经济指标的影响，我们作出了不同经济指标的散点图和数据列表，使得对问题的研究更直观。（1）SARS对零售业的影响为简化计算，我们以1997-2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。利用方程先预测出2003年零售额的年总值，根据各月综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月预测值。利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值有一定的相差但相差并不大
2、。从表三我们得出结论：SARS疫情的传播对零售业从4月份开始产生影响，5、6月份影响最大，10月份以后影响就很小了。 （2）SARS对海外旅游业的影响以1997-2002年每年同期的数据构造参考数列，可以得到1-12月的共12个预测方程，即可预测2003年各月的海外旅游人数。利用MATLAB软件求解，得到的预测值和实际值相差很大，说明从4月份开始SARS疫情就对旅游业产生影响，尤其5、6月份影响最大，但10月份以后影响就变小甚至没有影响了。 （3）SARS对综合服务业总额的影响 以1997-2002年年总值构造参考数列，得到一个预测各年总值的方程。利用方程先预测出2003年的年总值，再根据各月
3、综合服务业数额在年总值中所占比例求得各月的预测值。利用MATLAB软件求解，得到得预测值与实际值是很一致的。因此，我们得出结论：SARS疫情的传播对综合服务业没有影响。另外，本文对模型的误差进行了准确的分析，使得结论更加科学更加有说服力。虽然模型的建立都是采用了灰色预测法，但在具体的数据处理时，采用了不同的方法，使模型更加丰满，更有特色。关健词：经济指标；灰色预测；MATLAB；相对误差1 问题的提出背景知识与要解决的问题2003年SARS疫情席卷全球，对世界各国各地区各行业都造成一定的影响。我国部分行业的经济发展也受到了影响，特别是部分疫情比较严重的省市的相关行业所受到的影响是很明显的。经济
4、影响主要分为直接影响和间接影响，直接影响涉及到商品零售业、旅游业、综合服务业等，很多方面难以进行定量地评估。现仅就SARA疫情较重的某城市商品零售业、旅游业、综合服务业的影响进行定量评估分析。 现测得某市从1997年1月-2003年12月的商品零售额、接待海外旅游人数、综合服务收入的统计数据(见附表一，二，三)，试根据这些历史数据建立预测评估模型，评估2003年SARS疫情给该市商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。2 问题的分析一、问题的归属和拟采用的方法由该市19972003年商品零售业、旅游业、综合服务业的数据，运用灰色预测方法，建立预测评估模型，预测2003年正常情况下（也即无S
5、ARS影响）的数据值，进而评估2003年SARS疫情给该市商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响。我们可以先利用灰色预测方法建立预测评估模型，从而预测出2003年各月正常情况下商品零售业总额、接待海外旅游人数、综合服务业累计数额，并与实际数据相比较，进而确定SARS疫情给该市商品零售业、旅游业和综合服务业所造成的影响二、对问题的具体分析和处理办法1、对零售业是否受SARS影响的分析：由附表一，对该市1997-2002年的历史商品零售额（单位：亿元）进行分析，做出各年各月零售额散点图像(如下图一)初次判定SARS对零售业有影响。利用灰色预测理论预测该市2003年商品零售业总额，并与该市200
6、3年商品零售业实际总额比较，从而反映SARS疫情对该市2003年商品零售业的总体影响；然后根据历史平均比例可以计算出2003年该市各月份的预测商品零售业额，从而可以进一步分析SARS疫情给该市商品零售业各月份所造成的具体影响。图1、各年各月零售额散点图2、对旅游业是否受SARS影响的分析：由附表二，对该市1997-2002年接待海外旅游人数（单位：万人）进行分析，作出图像（如下图2），初步判断SARS对旅游业有较大的影响。利用灰色预测理论建立1-12月的预测方程，即可预测2003年每月接待海外旅游人数，并与该市2003年接待海外旅游实际人数比较，进一步分析SARS疫情对旅游业的影响。图2、各年
7、各月海外旅游人数散点图3、对综合服务业是否受SARS影响的分析：由附表三，对该市1997-2002年的综合服务业累计数额（单位：亿元）进行分析，作出图像（如下图3），初步判定SARS对综合服务业是没有影响的。为简化计算，我们把各年综合服务业总额向量作为参考数列，建立一个年总值的预测方程，然后根据所得预测值按比例即可求得各个月的预测值。题中所给只是1997-2003年2月到12月的数据，各年一月份的数据都是缺省的，这对模型的建立和分析并不会有很大影响，而且如果采用线性外插值法来补充数据又会造成一定的误差。所以，我们对原始数据不做修正。图3、各年各月综合服务业累计数额散点图3 模型的假设1、假设该
8、市商品零售业、旅游业、综合服务业出现较大的波动都是由SARS引起的，不考虑其他因素的影响；2、假设在疫情流行后，该市人口并未发生大量的流动； 3、假设不考虑该市有严重SARA传染者对经济的影响；4、假设这几年中没有发生通货膨胀和通货紧缩；5、所有数据均为原始数据，来源真实可靠。4 名词解释与符号说明一、名词解释1、SARS：SARS就是传染性非典型肺炎，全称严重急性呼吸综合征（英文全称是Severe Acute Respiratory Syndromes）；2、灰色预测：是基于灰色动态模型（Grey Dynamic Model），简称GM的预测。灰色预测它是指利用MG的模型对系统行为特征的发展
9、规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生的事件的未来时间分布情况做出研究等等。二、符号说明序号符号符号说明1表示第指标的参考数列2表示通过极比数列的累加数列3表示生成的均值数列4表示预测方程的发展系统5表示预测方程的灰作用量6表示第i个指标的原始数据的预测7表示第i个指标累加数列的预测8表示用第i个指标的极比9表示用第i个指标每月所占比例向量5 模型的建立与求解一、对零售业是否受SARS影响的分析与求解1、对问题的分析 利用灰色预测理论，根据该市1997-2002年商品零售业总额建立预测方程，进而预测该市2003年正常(也即无SARS疫情影响
10、）情况下每月的综合服务业总额，再将实际的服务业总额与预测数值进行比较，评估2003年SARS疫情对该市零售业所造成的影响。2、模型 建立预测方程通过计算得到1997年2002年该市商品零售业总额数列，记为：做一次累加生成数列:其中由再求均值数列其中取编程计算得到于是建立灰微分方程：其中称为灰导数，称为发展系统，称为白化背景值，称为灰作用量。将分别代入上式有：相应的白化微分方程为，称之为GM（1，1）模型。令，则上式可以写成矩阵形式，由最小二乘法，求使得达到最小值的于是有预测值从而解得于是得到预测数列为于是在正常情况下，2003年该市商品零售业总额应为亿元。 则测得结果数列与实际数列比较如下表所
11、示。其中残差数列为*100%,通过残差数列可以看出该预测模型具有一定的精度。表一：预测结果数列与实际数列比较表（单位：亿元）1051.42233.43535.14956.16549.88294.710211.41051.42228.83527.84961.16542.48287.110212.000.21%0.21%0.10%0.12%0.09%0.01%3、模型 该市2003年每个月商品零售额预测模型在SARS对该市2003年商品零售业总额的总体影响预测模型基础上，根据历史数据计算每个月的月份数据与年度总值的比值，从而预测出2003年各月正常情况下商品零售额，并与实际数据相比较，就可以确定S
12、ARS疫情对该市每个月商品零售业所造成的影响。设表示第年第个月商品零售额，则第个月的商品零售额占全年商品零售总额的比例为由matlab软件求得结果，我们得出结论：SARS疫情的传播对零售业从4月份开始产生影响，5、6月份影响最大，10月份以后影响就很小了。二、对旅游业是否受SARS影响的分析与求解1、对问题的分析 由附表二，对该市1997-2002年的历史接待海外旅游人数（单位：万人）进行分析，利用灰色预测理论预测该市2003年接待海外旅游人数，并与该市2003年接待海外旅游实际人数比较，从而反映SARS疫情对该市2003年旅游业的总体影响；然后根据历史平均比例可以计算出2003年该市各月份的
13、预测接待海外旅游人数，从而可以进一步分析SARS疫情给该市旅游业各月份所造成的具体影响。2、对问题的求解（1）数据的检验与处理首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数列做必要的检验处理。我们把各年各月接待海外旅游人数向量作为参考数列，经过级比判断得到，其中有数据不在要求范围内，需进行转换，得到根据下列公式计算数列的极比求得级比均落在了内，则可以作为模型GM(1，1)进行数据灰色预测。（2）建立模型对数列做一次累加， 求得再将根据公式进行均值生成由灰色预测理论， ，则上式可以写成矩阵形式，由最小二乘法，求使得达到最小值的（程序见附录程序1）得到：表-2 的估计值-0.0868-0.1002-
14、0.0896-0.0940-0.1029-0.1099-0.0842-0.0809-0.0386-0.0504-0.0324-0.09778.16896.389713.799817.207917.184715.622416.554520.671921.859624.006820.744512.8222于是有预测值 利用MATLAB软件求得：表-3 预测值1月2月3月4月5月6月9812.907811.891020.280724.888125.743724.36999914.078213.144322.181827.341128.533827.20090015.354814.529624.261
15、030.035831.626330.36070116.747216.060926.535132.996135.054033.88760218.265817.753529.022536.248238.853137.82420319.922119.624631.742939.820843.064142.21827月8月9月10月11月12月9823.366128.087124.653028.683723.356820.01229925.418830.453825.623230.166424.126022.06610027.651733.019926.631631.725724.920524.330
16、80130.080835.802227.679633.365725.741126.82790232.723338.819028.769035.090426.588829.58130335.598042.090029.901136.904327.464432.6173(4) 预测2003的海外旅游人数MATLAB编程计算求得：图-1 2003年各月海外旅游人数散点图3、结论由图-1可看出2003年正常情况下的预测值和实际值有些月份相差很大，我们可以得出结论：SARS在2003年的4月到8月使旅游人数比预期值下降。三、对综合服务业是否受SARS影响的分析与求解1、对问题的分析利用灰色预测方法，根据
17、1997-2002年这六年的数据建立预测方程，进而预测正常(也即无SARS疫情影响）情况下2003年每月的综合服务业总额，再将实际的服务业总额与预测数值进行比较，评估2003年SARS疫情对该市综合服务业所造成的影响。2、模型 建立预测方程（1）数据的检验与处理首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数列做必要的检验处理。为简化计算，我们把各年综合服务业总额向量作为参考数列：根据下列公式计算数列的极比求得均落在了内，则数列可以作为模型GM(1，1)进行数据灰色预测。（2）建立模型对数列做一次累加， 求得再将根据公式进行均值生成得到：由灰色预测理论， 如果存在，由最小二乘法则有：其中： 求得于
18、是得到预测值 并且利用MATLAB软件求得：也即预测得19972002年各年综合服务业总额分别为：图二、19972003年预测值与实际值由上图也可以看出来，预测还是很准确的，与实际值相差并不大。（3）预测2003的综合服务业总额MATLAB编程计算求得：即得到2003全年的综合服务业总额为12584.4131。这样我们就得到了9703年的全部预测值3、模型 预测各年每个月服务业总额我们根据历年来各个月服务业总额在全年中所占比例，来预测03年每月综合服务业总额数据。据19972003年的数据，可得到每月在全年总额中所占比例那么每月的预测值为用MATLAB求解得结果如下表：表三、19972003年
19、每月综合服务业总额预测表2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月1997100.9162.0226.3313.0386.6465.3557.4643.8725.0810.0934.01998122.1196.0273.6378.6467.5562.8674.1778.7876.9979.71129.61999139.6224.1313.0433.0534.7643.7771.0890.61002.91120.51291.92000159.7256.4358.0495.2611.6736.2881.91018.61147.11281.61477.72001182.6293.2409.4
20、566.4699.5842.11008.61165.11312.01465.81690.12002208.9335.4468.3647.9800.1963.11153.61332.61500.61676.51933.02003238.9383.6535.6741.0915.11101.61319.51524.11716.41917.62210.9将19972003年综合服务业总额预测值与实际值作图比较如下：图4、综合服务业总额预测值与实际值比较由图三也可以看出，我们模型的建立得很不错，预测的是比较准确的。4、结论由表三和图三可看出2003年正常情况下的预测值和实际值几乎是完全一致的，我们可以得
21、出结论：SARS对综合服务业是没有影响的。6 模型的误差分析误差分析 1、在研究SARS对海外旅游人数的影响时，我们对预测值进行检验。计算相对误差，求得1月2月3月4月5月6月980.03440.00160.02830.02500.03200.0369990.03930.00180.02530.03020.03580.0333000.03460.04410.02370.01590.01450.0249010.04560.03910.03000.02640.02120.0210020.03330.04020.02560.02540.03390.0380030.02930.01470.03500.
22、24322.31931.51757月8月9月10月11月12月980.03120.02050.01520.01700.01620.0258990.01600.01800.01250.00120.00220.0337000.02020.001870.00240.01130.02400.0315010.01930.01620.00350.01870.01590.0296020.02580.002050.00830.00760.00890.0291030.30450.15980.04870.04820.00360.0496由计算结果可以知道，除2003年各月的残差值外其他各值均0.1,所以达到较高要
23、求SARS在2003年的4月到8月使旅游人数比预期值下降3、在研究SARS对综合服务业总额的影响时，我们对预测值进行检验。计算相对误差，求得，都比较小，而且都是成立的，所以我们的预测是比较准确的，达到了较高的要求。把1997-2003年年总值的预测值与实际值做出散点图如下图5 1997-2003年预测值与实际值散点图从图中也可以看出，预测值与实际值几乎一致，说明我们的预测模型建立很不错。7 模型的评价模型的优缺点1、优点： （1）利用MATLAB和EXCEL软件对数据进行处理并作出各种图像表格，简便、直观、快捷、美观； （2）本文建立的模型与实际紧密联系，从而使模型实用性强； （3）在建立预测
24、模型时，选取各年总值作为参考数列，使得数据的处理和计算大大简化； （4）虽然模型的建立都是采用了灰色预测法，但在具体的数据处理的时，采用了不同的方法，使模型更加丰满，更有特色。2、 缺点： （1）所给数据有限，由建立的预测模型求得的预测值的准确性有一定的削弱； （2）在评估SARS对零售业和综合服务业的影响时，根据比例得到的每月预测值可能存在一定的误差，处理得不太完善。 （3）未考虑其他因素如自然灾害和社会稳定对经济指标的影响。参考文献1韩中庚.数学建模竞赛，北京:科学出版社,2007.5第一版；2谢兆鸿.数学建模技术，北京:中国水利电出版社,2003.9 第一版。附 录附录一、程序 程序1A
25、=83.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9;101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.5;92.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3 ; 105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 118.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9;139.3 129.5 122.5 124.5 135.7
26、130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7;137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9;%X0=(1051.4 1182.0 1301.7 1421.0 1593.7 1744.9);%X1=( 1051.4 2233.4 3535.1 4956.1 6549.8 8294.7);%y=(1642.4 2884.3 4245.6 5753.0 7422.3);B=-1642.4 ,1;-2884.3 ,1; - 4245.6 ,1; -5753.0 ,1
27、; -7422.3,1;YN= 1182.0 1301.7 1421.0 1593.7 1744.9; format longU=inv(B*B)*B*YNa=-0.09832142760,b=1017.07612711403for k=1:6 V(k+1)=(1051.4-b/a)*exp(-a*k)+b/a;endVx1 =1051.4 ;2233.4 ;3535.1 ;4956.1; 6549.8; 8294.7; 10211.4;X =1051.4; 2228.8; 3527.8; 4961.1; 6542.4; 8287.1 ;10212.0;for i=1:7E(i)=(X(i,1
28、)-x1(i,1)/x1(i,1)endE程序2Z11=9.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.69.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.910.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3 29.8 23.6 16.511.4 26.0 19.6 25.9 27.6 24.3 23.0 27.8 27.3 28.5 32.8 18.511.5 26.4 20.4 26.1 28.9 28.0 25.2 30.
29、8 28.7 28.1 22.2 20.713.7 29.7 23.1 28.9 29.0 27.4 26.0 32.2 31.4 32.6 29.2 22.915.4 17.1 23.5 11.6 1.78 2.61 8.8 16.2 20.1 24.9 26.5 21.8;%1997-2002的原始数据Z12=Z11(1:6,:)for i=1:5 B1(:,i)=Z12(:,i)./Z12(:,i+1);endB1 ; %判断是否在范围内a1=exp(-2/7), a2=exp(2/7)min(B1); max(B1);%经判断、第29、11行不在范围内需进行转换+27L2=Z12(2,
30、:)+ones(1,6)*27;L9=Z12(2,:)+ones(1,6)*27;L11=Z12(2,:)+ones(1,6)*27;Z=Z12(1,:);L2;Z12(3:8,:);L9;Z12(10,:);L11;Z12(12,:)%变换后的参考矩阵for i=1:5 B2(:,i)=Z(:,i)./Z(:,i+1);endB2 min(B2), max(B2)%此时Z2符合条件%进行一次累加Z1=Z(:,1),(sum(Z(:,1:2),(sum(Z(:,1:3),(sum(Z(:,1:4),(sum(Z(:,1:5),(sum(Z(:,1:6);%累加序列%生成均值for i=2:6
31、Z2(:,i-1)=0.5*Z1(:,i)+0.5*Z1(:,i-1);endZ2 %均值序列Yn1=Z12(1,2:6);C1=-Z2(1,:),ones(5,1);u1=(inv(C1*C1)*C1*Yn1)Yn2=Z12(2,2:6);C2=-Z2(2,:),ones(5,1);u2=(inv(C2*C2)*C2*Yn2)Yn3=Z12(3,2:6);C3=-Z2(3,:),ones(5,1);u3=(inv(C3*C3)*C3*Yn3)Yn4=Z12(4,2:6);C4=-Z2(4,:),ones(5,1);u4=(inv(C4*C4)*C4*Yn4)Yn5=Z12(5,2:6);C5
32、=-Z2(5,:),ones(5,1);u5=(inv(C5*C5)*C5*Yn5)Yn6=Z12(6,2:6);C6=-Z2(6,:),ones(5,1);u1=(inv(C6*C6)*C6*Yn6)Yn7=Z12(7,2:6);C7=-Z2(7,:),ones(5,1);u7=(inv(C7*C7)*C7*Yn7)Yn8=Z12(8,2:6);C8=-Z2(8,:),ones(5,1);u8=(inv(C8*C8)*C8*Yn8)Yn9=Z12(9,2:6);C9=-Z2(9,:),ones(5,1);u9=(inv(C9*C9)*C9*Yn9)Yn10=Z12(10,2:6);C10=-
33、Z2(10,:),ones(5,1);u10=(inv(C10*C10)*C10*Yn10)Yn11=Z12(11,2:6);C11=-Z2(11,:),ones(5,1);u11=(inv(C11*C11)*C11*Yn11)Yn12=Z12(12,2:6);C12=-Z2(12,:),ones(5,1);u12=(inv(C12*C12)*C12*Yn12)程序3%综合服务业累计数额t1=2:12;Z1=96 144 194 276 383 466 554 652 747 832 972111 169 235 400 459 565 695 805 881 1011 1139151 238
34、 335 425 541 641 739 866 975 1087 1238164 263 376 531 600 711 913 1038 1173 1296 1497182 318 445 576 708 856 1000 1145 1292 1435 1667216 361 504 642 818 979 1142 1305 1479 1644 1920241 404 584 741 923 1114 1298 1492 1684 1885 2218;%作出综合服务业不同的散点图plot(t1,Z1,-*);xlabel(月份);ylabel(综合服务业累计数额);title(各年各月综
35、合服务业累计数额散点图);legend(1997年,1998年,1999年,2000年,2001年,2002年,2003年);Z3=sum(Z1(1:6,:)%1997-2002年各年求总综合服务业累计数额%判断Z3是否为极比数列for i=2:6; Z4(i)=Z3(i-1)/Z3(i);endZ4a1=exp(-2/7),a2=exp(2/7)%极比数列全部落在a1,a2内。然后建立模型GM(1,1) %对极比数列Z3进行累加for i=1:6 Y1(i)=sum(Z3(:,1:i);endY1 %累加数列 %对Y1进行均值生成for i=2:6 Y2(i-1)=0.5*Y1(i)+0.5
36、*Y1(i-1);endY2 %均值数列C=sum(Y2), D=sum(Z3(2:6), E=sum(Y2.*Z3(2:6), F=sum(Y2.2)a=(C*D-5*E)/(5*F-C2), b=(D*F-C*E)/(5*F-C2) %求发展系统和灰作用量 %求预测值format longfor k=1:5; R1(k)=(5316-b/a)*exp(-a*k)+b/a;endR2=5316,R1 %对累加数列Y1的预测值 for k=1:5; R3(k)=R2(k+1)-R2(k);endR4=5316,R3 %对原始数据Z3的预测%检验预测值for i=1:6q(i)=abs(Z3(i
37、)-R4(i);r(i)=q(i)./Z3(i);endq, r %残差与相对误差s1=std(q) %残差方差s2=std(Z3) %原始数据方差C=s1/s2 %均方差比值p=2*normpdf(0.6745*s1,0,1)-1 %小误差概率%求出2003年的预测值Z031=(5316-b/a)*exp(-a*6)+b/a;Z03=Z031-R2(6) %03年预测值 R5=R4,Z03 %1997-2003年的总值的预测数据%1997-2003作图比较figure(2)t3=1:7; plot(t3,Z3,sum(Z1(7,:),r*,t3,R5,g+);title(原始数据与预测数据比
38、较);legend(原始数据,预测数据);%求各月数额在全年数额中所占比例for i=1:6 for j=1:11 M(i,j)=Z1(i,j)/R4(i); endend m=1/6*sum(M)%各月所占比例%对1997-2003各月的预测值F=R5*m%原始数据与预测数据作图比较figure(3)Z2=Z1;Z=(Z2(:);F1=F;F2=F1(:);t2=1:77;plot(t2,Z,r+,t2,F2,-gp); legend(原始数据,预测数据);xlabel(月份);ylabel(综合服务业累计数额);title(原始数据与预测数据比较);附录二、 附表附表1表1-1 商品的零售
39、额（单位：亿元）年代1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月199719981999200020012002200383.0 79.8 78.1 85.1 86.6 88.2 90.3 86.7 93.3 92.5 90.9 96.9101.7 85.1 87.8 91.6 93.4 94.5 97.4 99.5 104.2 102.3 101.0 123.592.2 114.0 93.3 101.0 103.5 105.2 109.5 109.2 109.6 111.2 121.7 131.3 105.0 125.7 106.6 116.0 117.6 1
40、18.0 121.7 118.7 120.2 127.8 121.8 121.9139.3 129.5 122.5 124.5 135.7 130.8 138.7 133.7 136.8 138.9 129.6 133.7137.5 135.3 133.0 133.4 142.8 141.6 142.9 147.3 159.6 162.1 153.5 155.9163.2 159.7 158.4 145.2 124.0 144.1 157.0 162.6 171.8 180.7 173.5 176.5附表2表1-2 接待海外旅游人数（单位：万人）年代1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月19971998199920002001200220039.4 11.3 16.8 19.8 20.3 18.8 20.9 24.9 24.7 24.3 19.4 18.69.6 11.7 15.8 19.9 19.5 17.8 17.8 23.3 21.4 24.5 20.1 15.910.1 12.9 17.7 21.0 21.0 20.4 21.9 25.8 29.3