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1、广州市培正中学2014-2015学年第二学期期末考试高二数学（理科）试题 （本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1设全集，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）A BC D2设为虚数单位,若复数是纯虚数,则实数（ ）A2 B或2 C或 D 3. 成等差数列是成立的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件4若空间中四条两两不同的直线满足则下面结论一定正确的是（ ）A B C既不垂直也不平行 D的位置关系不确定5若,且,则是
2、( ) A.第一、二象限角 B.第一、三象限角 C.第一、四象限角 D.第二、三象限角6若，则下列结论正确的是（ ）A BC D7执行如右图所示的程序框图，输出的值为（ ）A B. C. D. 8. 已知均为单位向量，它们的夹角为60，那么等于（ ） A. B.C.D. 4yyyyxxxxOOOO12112ABCD19若实数 满足，则关于的函数的图象形状大致是 ( ) 10. 设，满足约束条件，若目标函数（，）的最大值为12，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 11.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A B C D12. 定义在上的函数，如果
3、存在函数为常数，使得对一切实数都成立，则称为函数的一个“承托函数”。现有如下命题：对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；为函数的一个承托函数；定义域和值域都是的函数不存在承托函数。其中正确的命题是( ).A. B. C. D. 二填空题：本大题共4小题，每小题5分, 共20分。13.设等差数列的前项和为，若,则= 14. 的展开式的常数项是 （用数字作答）.15若不等式的解集是R，则实数的取值范围是 16已知椭圆E：的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标为(1，1)，则椭圆E的方程为 三.解答题：本大题共6题，满分70分解答须写出文字说明、证明过
4、程和演算步骤17（本题满分12分）已知分别是的角所对的边，且，。(1)若的面积等于，求；(2) 若，求的值18（本题满分12分）某楼盘开展套餐促销优惠活动，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠万元，选择套餐二的客户可获得优惠万元，选择套餐三的客户可获得优惠万元根据以往的统计结果绘出参与活动的统计图如图所示，现将频率视为概率（1）求某两客户选择同一套餐的概率；（2）若用随机变量表示某两客户所获优惠金额的总和，求的分布列和数学期望19（本题满分12分）已知四棱锥PABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点（1）求证：BDAE（2）若点E为PC的中点，求二面角DAEB的大小.20（本题满分
5、12分）数列前项和为，且（）（1）求数列的通项公式；（2）若，证明：21（本题满分12分）已知函数和 （1）当m=1时，求方程f (x) = g(x)的实根；（2）若对于任意的恒成立，求的取值范围；（3）求证：22.（本小题10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线：，直线：（为参数）.(1)写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（2）过曲线上任一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.广州市培正中学2014-2015学年第二学期期末考试高二数学（理科）参考答案一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 题号123456789101112答案BDB DCDCCBABA二填空题：本
6、大题共4小题，每小题5分, 共20分。13. 24； 14.60 15. 16. 三.解答题：本大题共6题，满分70分17（本题满分12分）解：（I）根据三角形面积公式可知：推得；又根据三角形余弦公式可知：推得。综上可得。 4分（）, 6分当时， 7分当时，,由余弦定理得，联立，得10分，综上或。 12分解二：, 6分当时， 7分当时，, 综上或。 12分18（本题满分12分）解：（1）记“某两客户选择同一套餐”为事件，则3分（2）由题意知某两客户可获得优惠金额的可能取值为、4分，9分所以的分布列为10分所以12分19（本题满分12分）解：(1)由三视图可知，四棱锥PABCD的底面是边长为1的
7、正方形，侧棱PC底面ABCD，且PC2. 1分连结AC，ABCD是正方形， BDAC. 2分PC底面ABCD，且BD平面ABCD， BDPC. 3分又ACPCC，BD平面PAC. 4分AE平面PAC. BDAE. 5分(2)解法1：在平面DAE内过点D作DFAE于F，连结BF.ADAB1，DEBE，AEAE，RtADERtABE，从而ADFABF，BFAE.DFB为二面角DAEB的平面角 7分在RtADE中，DF， BF. 9分又BD，在DFB中，由余弦定理得cosDFB， 11分DFB，即二面角DAEB的大小为 .12分解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴
8、建立空间直角坐标系则D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，6分从而(0,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0，1,1)Z#x设平面ADE和平面ABE的法向量分别为，由，取由，取9分设二面角DAEB的平面角为，则，11分，即二面角DAEB的大小为 .12分注：若取算出可酌情给分。20（本题满分12分）解：（1）因为，所以，两式相减，有，即，所以， .3分又因为当时，所以4分所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以7分（2）由（1）得 9分所以10分所以，即12分21（本题满分12分）解：（1）m=1时， 而x 0，所以方程即为 1分 令，则， 而
9、h(1)=0，故方程f(x)=g(x)有惟一的实根x=1. 4分（2）， 设，即 5分 若，则，这与题设矛盾6分若，方程的判别式，当，即时，在上单调递减，即不等式成立7分当时，方程有两正实根，设两根为，当单调递增，与题设矛盾，综上所述，。所以，实数m的取值范围是-8分（3）由（）知，当时，时，成立 不妨令， 所以， 10分 11分 累加可得 取n=1007，即得12分22.（本小题10分）解：（1）曲线C的参数方程为： （为参数）， 直线l的普通方程为： 5分 （2）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为，则+-，其中为锐角且.当时，取得最大值，最大值为；当时，取得最小值，最小值为. 10分- 9 -