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1、北京市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练立体几何一、填空、选择题1、（2015年北京高考）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A B C D2、（2014年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .3、（2013年北京高考）某四棱锥的三视图如图13所示，该四棱锥的体积为_图134、（昌平区2015届高三上期末）某四棱锥的三视图如图所示，其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是AB CD第（12）题图5、（朝阳区2015届高三一模）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体
2、积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 6、（东城区2015届高三二模）若一个底面是正三角形的三棱柱的正（主）视图如图所示，则其侧面积等于 （A） （B） （C） （D）7、（房山区2015届高三一模）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）ABCD8、（丰台区2015届高三一模）某几何体的三视图如图所示（右上），则该几何体的体积(A) 48(B) 32(C) 16(D) 9、（丰台区2015届高三二模）如图所示，某三棱锥的正视图、俯视图均为边长为2的正三角形，则其左视图面积为(A) 2(B) (C) (D) 10、（海淀区2015届高三一模）某三棱锥的正视图如图所示，则在下列
3、图中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是（ ） （A）（B）（C）（D）11、（石景山区2015届高三一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）A B C D 12、（西城区2015届高三二模）一个几何体的三视图中，正（主）视图和 侧(左)视图如图所示，则俯视图可以为（ ） （A） （B） （C） （D）13、设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，则B若，则 C若，则D若，则14、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）ABCD15、已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这
4、个几何体的体积为（）ABCD二、解答题1、（2015年北京高考）如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为，的中点（）求证：平面；（）求证：平面平面；（）求三棱锥的体积2、（2014年北京高考）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，、分别为、的中点.（）求证：平面平面；（）求证：平面；（）求三棱锥的体积.3、（2013年北京高考）如图15，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.图154、（昌平区2015届高三上期末）如图，在四棱锥中
5、，底面为平行四边形，为的中点，底面. （I）求证：平面;（II）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由. 5、（朝阳区2015届高三一模）ABCDA1B1C1如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点（）求证：平面；（）求证：直线平面；（）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由6、（东城区2015届高三二模）如图，在四棱锥中,平面平面，为上一点，四边形为矩形， ，,.（）若，且平面,求的值；（）求证：平面.7、（房山区2015届高三一模）如图，四棱锥中，侧面底面,底面是直角梯形，,是正三角形，为的中点.（）求
6、证：平面；（）求证：平面.8、（丰台区2015届高三一模）如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱中点. ，（）求证：/平面；（）求证：平面；（）在棱的上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由9、（丰台区2015届高三二模）如图所示，四棱锥的底面是直角梯形，底面，过的平面交于，交于（与不重合）（）求证：；（）求证：；（）如果，求此时的值10、（海淀区2015届高三一模）如图1，在梯形中，四边形是矩形. 将矩形沿折起到四边形的位置，使平面平面，为的中点，如图2.（）求证：；（）求证：/平面； （）判断直线与的位置关系,并说明理由11、（海淀区2015届高三二模）如图所示，在
7、四棱锥中，平面，又， 且.（）画出四棱准的正视图；（）求证：平面平面；（）求证：棱上存在一点，使得平面，并求的值. 12、（石景山区2015届高三一模）ACDEFB如图，已知AF平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，DAB，AB/CD，ADAFCD2，AB4 （）求证：AC平面BCE；（）求三棱锥ACDE的体积；（）线段EF上是否存在一点M，使得BMCE ?若存在，确定M点的位置；若不存在，请说明理由13、（西城区2015届高三二模）如图，在四棱锥中，平面, 平面，.（）求棱锥的体积；（）求证：平面平面；（）在线段上是否存在一点,使平面？若存在,求出的值；若不存在，说明
8、理由.14、如图,四棱锥P-ABCD中, BCAD,BC=1,AD=3,ACCD,且平面PCD平面ABCD.()求证:ACPD;()在线段PA上,是否存在点E,使BE平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.15、在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,点在线段上,且.()求证:;()求证:平面;()设平面平面=,试问直线是否与直线平行,请说明理由. 参考答案一、填空、选择题1、【答案】C【解析】试题分析：四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，.2、【答案】【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三
9、角形，棱锥的高为2，所以最长的棱长为.3、3解析 正视图的长为3，侧视图的长为3，因此，该四棱锥底面是边长为3的正方形，且高为1，因此V(33)13.4、D5、，6、D 7、C8、B9、C10、D11、C12、C13、【答案】C解：C中，当，所以，或当，所以，所以正确。14、【答案】B解：由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.15、【答案】A解：根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中ABCD是直角梯形，ABAD， AB=AD=2，BC=4，即PA平面ABCD，PA=2
10、。且底面梯形的面积为，所以.选A.二、解答题1、【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）.【解析】试题分析：本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问，在三角形ABV中，利用中位线的性质得，最后直接利用线面平行的判定得到结论；第二问，先在三角形ABC中得到，再利用面面垂直的性质得平面VAB，最后利用面面垂直的判定得出结论；第三问，将三棱锥进行等体积转化，利用，先求出三角形VAB的面积，由于平面VAB，所以OC为锥体的高，利用锥体的体积公
11、式计算出体积即可.试题解析：（）因为分别为AB，VA的中点，所以.又因为平面MOC，所以平面MOC.（）因为，为AB的中点，所以.又因为平面VAB平面ABC，且平面ABC，所以平面VAB.所以平面MOC平面VAB.（）在等腰直角三角形中，所以.所以等边三角形VAB的面积.又因为平面VAB，所以三棱锥C-VAB的体积等于.又因为三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，所以三棱锥V-ABC的体积为.2、解：（）在三棱柱中，底面所以又因为所以平面所以平面平面（）取中点，连结，因为，分别是，的中点，所以，且因为，且，所以，且所以四边形为平行四边形所以又因为平面，平面，所以平面（）因为，所以
12、所以三棱锥的体积3、证明：(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE，所以ABED为平行四边形，所以BEAD.又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，所以PACD.又因为ADPAA，所以CD平面PAD，所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF，所以CDEF，所以CD平面BEF，所以平面BEF平面PCD.4、证明：（I）在中， 又因为 ，所以
13、. 又因为 ,所以. 6分（II）存在.当为中点时，. 7分 证明：设的中点分别为，连结, 的中点， 所以. 的中点， 所以 , , 所以 四边形是平行四边形, 所以 . 因为 ， 所以 . 14分5、解：（）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，ABCDA1B1C1O所以,.所以底面因为底面，所以由已知可得，底面为正三角形因为是中点，所以因为，所以平面 5分（）证明：如图，连接交于点，连接显然点为的中点因为是中点， 所以 又因为平面，平面，所以直线平面 10分C1ABCDA1B1ME（）在内的平面区域（包括边界）存在一点，使 此时点是在线段上. 证明如下：过作交线段于，由（）可知平面，而平面，所以
14、又，所以平面又平面，所以 14分6、证明：（）连接交于点，连接.因为平面，平面平面，所以.因为，所以.因为，所以.所以. 6分 （）因为所以.所以.又平面平面，且平面平面,平面，所以.又,且,所以平面. 13分7、证明：（I）设为的中点,连结，为的中点，四边形是平行四边形 6分又平面，平面平面(II)， 又侧面底面，侧面底面,平面平面,又平面是正三角形，为的中点又,平面,平面平面平面 14分8、解：（）连结交于，连结在中，因为，分别为， 中点，所以/ 又因为平面，平面，所以/平面 4分（）因为侧棱底面，平面，所以又因为为棱中点， 所以因为，所以平面所以 因为为棱中点，所以又因为，所以在和中，所
15、以，即所以 因为，所以平面 10分（）当点为中点时，即，平面平面 设中点为，连结，因为，分别为，中点，所以/，且又因为为中点，所以/，且所以/， 因为平面，所以平面又因为平面，所以平面平面 14分9、证明：（）因为梯形，且，又因为平面，平面，所以平面 因为平面平面=， 所以 4分（）取的中点，连结因为，所以，且因为，且，所以是正方形 所以. 又因为为平行四边形，所以且所以 又因为底面，所以 因为，所以平面， 因为平面，所以 10分（）过作交于，连结 因为底面，所以底面所以又因为，所以平面， 所以 由（）知，所以在平面中可得是平行四边形所以， 因为是中点，所以为中点 所以 14分10、证明：（）
16、因为 四边形为矩形， 所以. 因为 平面平面，且平面平面，平面， 所以 平面. 3分 因为 平面， 所以 . 5分（）证明：因为 四边形为矩形， 所以 .因为 ， 所以 平面平面. 7分 因为 平面， 所以 平面. 9分（）直线与相交，理由如下： 10分取的中点，的中点，连接，.所以 ，且.在矩形中，为的中点，所以 ，且.所以 ，且.所以 四边形为平行四边形. 所以 ，. 12分因为 四边形为梯形， 为的中点，所以 ，.所以 四边形为平行四边形.所以 ，且.所以且.所以 是平行四边形.所以 ，即.因为 ，所以 四边形是以，为底边的梯形.所以 直线与相交. 14分11、（）解：四棱准的正视图如图
17、所示.3分（）证明：因为 平面，平面， 所以 . 5分因为 ，平面，平面， 所以平面. 7分因为 平面， 所以 平面平面. 8分（）分别延长交于点，连接，在棱上取一点，使得.下证平面.10分因为 ，所以 ，即.所以 . 所以 . 12分因为平面，平面，所以 平面. 14分12、（）过C作CNAB，垂足为N，因为ADDC，所以四边形ADCN为矩形所以ANNB2.又因为AD2，AB4，所以AC，CN，BC, 所以AC2+BC2AB2，所以ACBC； 2分因为AF平面ABCD，AF/BE所以BE平面ABCD，所以BEAC， 3分MNACDEFB又因为BE平面BCE，BC平面BCE，BEBCB所以AC
18、平面BCE 4分() 因为AF平面ABCD，AF/BE所以BE平面ABCD 8分（）存在，点M为线段EF中点，证明如下： 9分在矩形ABEF中，因为点M，N为线段AB的中点，所以四边形BEMN为正方形，所以BMEN； 10分因为AF平面ABCD，AD平面ABCD，所以AFAD.在直角梯形ABCD中，ADAB，又AFABA，所以AD平面ABEF，又CN/AD，所以CN平面ABEF，又BM平面ABEF所以CNBM； 12分又 CNENN，所以BM平面ENC，又EC平面ENC，所以BMCE. 14分13、（）解：在中，. 1分因为平面，所以棱锥的体积为. 4分（）证明：因为 平面，平面，所以. 5分
19、又因为，,所以平面. 7分 又因为平面， 所以平面平面. 8分（）结论：在线段上存在一点,且，使平面.9分 解：设为线段上一点, 且， 10分 过点作交于，则.ABCEDFFM 因为平面,平面， 所以. 又因为 所以，,所以四边形是平行四边形，则. 12分 又因为平面，平面，所以平面. 14分14、如图,四棱锥P-ABCD中, BCAD,BC=1,AD=3,ACCD,且平面PCD平面ABCD. ()求证:ACPD; ()在线段PA上,是否存在点E,使BE平面PCD?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. 解:()平面PCD平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD, ACCD , AC平面AB
20、CD , AC平面PCD, PD平面PCD , ACPD ()线段PA上,存在点E,使BE平面PCD, AD=3, 在PAD中,存在EF/AD(E,F分别在AP,PD上),且使EF=1, 又 BCAD,BCEF,且BC=EF, 四边形BCFE是平行四边形, BE/CF, , BE平面PCD, EF =1,AD=3, 15、解:(I)证明:(I) 因为是正三角形,是中点, 所以,即 又因为,平面, 又,所以平面 又平面,所以 ()在正三角形中, 在,因为为中点,所以 ,所以,所以 所以,所以 又平面,平面,所 以平面 ()假设直线,因为平面,平面, 所以平面 又平面,平面平面,所以 这与与不平行,矛盾 所以直线与直线不平行 25