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1、第2章 函数求函数的定义域【例1】(1)若函数y的定义域为R，则实数a的取值范围是_(2)已知函数f(x)的定义域为0,1，则函数f的定义域为_(1)(2)2,4(1)依题意，xR，解析式有意义，即对任意xR，都有ax24ax30成立，故方程ax24ax30无实根当a0时，30满足要求；当a0时，则有16a212a0，即0a时满足要求综上可知a.(2)由题意知，0x11，解得2x4.因此，函数f的定义域为2,4求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.(3)复合函
2、数问题：若f(x)的定义域为a，b，f(g(x)的定义域应由ag(x)b解出；若f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在a，b上的值域.,注意：f(x)中的x与f(g(x)中的g(x)地位相同；定义域所指永远是x的范围.1已知函数f(2x1)的定义域为0,1)，求f(13x)的定义域解由0x1，得12x11，所以，f(x)的定义域是1,1)由113x1，得00，则x的取值范围是_(2)函数y|2x1|的单调递增区间是_思路探究(1)将原不等式化为f(x1)f(2)，再利用函数的单调性将其转化为x12来解；(2)画出函数的图像求解(1)x0，即为f(x1)f(2)，又f(x)
3、是R上的减函数，则x12，解得x0，f(x)是A上的减函数对任意x1，x2A，当x1x2时，.(2)若f(x)是单调递增(减)函数，则f(x2)f(x1)x2x1(x2x1)；f(x2)f(x1)x2x1；f(x2)f(x1)x2x1).2(1)已知f(x)x，若0ab1，则下列各式中正确的是()Af(a)f(b)ffBfff(b)f(a)Cf(a)f(b)ffDff(a)ff(b)(2)已知函数y在(1,2)上单调递增，则实数a的取值范围是()A(0,1 B1,2C1，) D2，)(1)C(2)C(1)由0ab1，得0ab，又f(x)x是增函数，则f(a)f(b)ff.(2)依题意，解得a1
4、.函数的奇偶性探究问题1具有奇偶性的函数其定义域有何特点？提示：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，由奇函数的定义可知f(x)f(x)，故变量x，x均在定义域中，同理，对于偶函数，由f(x)f(x)可知，x，x也均在定义域内2既是奇函数，又是偶函数的函数不存在，对吗？提示：不对如函数y0(xR)，其图像既关于原点对称，又关于y轴对称，所以函数y0(xR)既是奇函数又是偶函数3定义在R上的奇函数f(x)，f(0)的值是多少？提示：f(0)0.【例3】(1)已知函数g(x)f(x)x是偶函数，且f(2)1，则f(2)()A2 B3C4 D5(2)若函数y的最大值为M，最小值为m，则Mm_.思路
5、探究(1)利用g(2)g(2)求解；(2)变形得y1，先判断y是奇函数，再利用奇函数的最大值与最小值之和为零求解(1)D(2)2(1)由g(x)f(x)x是偶函数，得g(2)g(2)，即f(2)(2)f(2)2，所以，f(2)f(2)4145.(2)y1，令f(x)，则f(x)是奇函数f(x)maxf(x)min0，Mm1f(x)max1f(x)min2f(x)maxf(x)min2.函数奇偶性的几个结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，那么f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(|x|)f(x).(3)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上
6、单调性相反.3(1)定义在R上的偶函数f(x)在0，)上是增函数，若f(a)f(b)，则一定可得()AabC|a|b| D0ab0(2)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g(x)x3x21，则f(1)g(1)等于()A3 B1C1 D3(1)C(2)C(1)由f(x)是偶函数，得f(|a|)f(a)，f(|b|)f(b)又f(a)f(b)，则f(|a|)f(|b|)又f(x)在0，)上是增函数则|a|b|.故选C.(2)f(1)g(1)(1)3(1)211，又f(1)f(1)，g(1)g(1)，则f(1)g(1)1.函数的最大(小)值已知函数f(x)ax2(2a
7、1)x3在区间上的最大值为1，求实数a的值解当a0时，f(x)x3，f(x)在上不能取得1，故a0.f(x)ax2(2a1)x3(a0)的对称轴方程为x0.(1)令f1，解得a，此时x0，因为a0，f(x0)最大，所以f1不合适(2)令f(2)1，解得a，此时x0.因为a0，x0，且距右端点2较远，所以f(2)最大，合适(3)令f(x0)1，得a(32)，验证后知只有a(32)才合适综上所述，a或a(32)应用分类讨论思想解决问题的关键是确定分类的标准，从而使分类不重不漏.其步骤：(1)确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理的分类；(3)逐个讨论；(4)归纳总结
8、，即对各类情况进行归纳，得出结论.4(1)对于任意xR，函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者，则f(x)的最小值是_(2)已知函数f(x)，对于其定义域的任意x，都有f(1)f(x)f(1)，则b_，c_.(1)2(2)23(1)如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)从图像观察可得函数f(x)的表达式：f(x)f(x)的图像是图中的实线部分，图像的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值是2.(2)依题意，f(1)是f(x)的最小值，f(1)是函数的最大值，所以，f(1)0，直线x1是抛物线yx2bxc的对称轴所以，f(3)0.所以，解得，- 7 -