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1、【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第9篇 第3节 变量间的相关关系与统计案例课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号相关关系1、4、8、10线性回归方程及其应用2、5、6、9、13、14独立性检验3、11、12综合应用7、15、16基础过关一、选择题1.下列关系属于线性负相关的是(C)(A)父母的身高与子女身高的关系(B)某农作物产量与施肥量的关系(C)汽车的质量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程(D)一个家庭的收入与支出解析:上述四项中,只有C项,汽车的重量越大,汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程越短是负相关关系.2.(2014黑龙江省哈尔滨市第三中学三模)已知x与y之
2、间的一组数据:x0123ym35.57已求得关于y与x的线性回归方程为=2.1x+0.85,则m的值为(D)(A)1(B)0.85(C)0.7(D)0.5解析:=(0+1+2+3)=1.5;=(m+3+5.5+7)=,故样本中心点为（1.5,）.由样本中心必在回归直线上可知,=2.11.5+0.85,解得m=0.5.3.(2014株洲模拟)通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动,得到列联表:男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2=,得K2=7.8.附表:P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表,得到的正确结论是(A
3、)(A)有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”(B)有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”(C)在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”(D)在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”解析:因为7.86.635,所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.4.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)(n2,x1,x2,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,n)都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为(D)(A)-1(B)0(C)(D)1解析:样本点都在
4、直线上时,其数据的估计值与真实值是相等的,故其相关系数为1.5.(2014合肥一中质量检测)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,所得数据如表:x681012y2356则y对x的线性回归方程为(C)(A)=2.3x-0.7(B)=2.3x+0.7(C)=0.7x-2.3(D)=0.7x+2.3解析:由题中表格,=9,=4,xiyi=158,=344,=0.7,=4-0.79=-2.3,回归直线方程为=0.7x-2.3.6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表:广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据表可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预报广告费
5、用为6万元时销售额为(B)(A)63.6万元(B)65.5万元(C)67.7万元(D)72.0万元解析:=3.5(万元),=42(万元),=-=42-9.43.5=9.1,回归方程为=9.4x+9.1,当x=6(万元)时,=9.46+9.1=65.5(万元).7.(2014晋江模拟)下列说法:将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;设有一个回归方程=3-5x,变量x增加一个单位时,y平均增加5个单位;线性回归方程=x+必过(,);在一个22列联表中,由计算得K2=13.079,则有99%的把握确认这两个变量间有关系.其中错误的个数是(B)(A)0(B)1(C)2(D)3本题
6、可以参考独立性检验临界值表:P(K2k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635解析:一组数据都加上或减去同一个常数,数据的平均数有变化,方差不变(方差是反映数据的波动程度的量),正确;回归方程中x的系数具备直线斜率的功能,对于回归方程=3-5x,当x增加一个单位时,y平均减少5个单位,错误;由线性回归方程的定义知,线性回归方程=x+必过点(,),正确;因为K2=13.0796.635,故有99%的把握确认这两个变量间有关系,正确.故选B.二、填空题8.已知施化肥量x与水稻产量y的
7、试验数据如表,则变量x与变量y是相关(填“正”或“负”).施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455解析:因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系,所以画出散点图如图所示: 通过观察图象可知变量x与变量y是正相关.答案:正9.考古学家通过始祖鸟化石标本发现:其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回归方程为=1.197x-3.660,由此估计,当股骨长度为50 cm时,肱骨长度的估计值为cm.解析:根据线性回归方程=1.197x-3.660,将x=50代入得y=56.19,则肱骨长度的估计值为56.19 cm.答案:56.1910.(
8、2014南开模拟)如图所示,有A,B,C,D,E5组数据,去掉组数据后,剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.解析:由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系,故去掉D.答案:D11.为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关,现随机抽取50名学生,得到22列联表:理科文科合计男131023女72027合计203050已知P(K23.841)0.05,P(K25.024)0.025.根据表中数据,得到K2=4.844,则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为.解析:由K24.8443.841.故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%.答案:5%三、解答题12.(2014高考辽宁卷)某
9、大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如表所示:喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品.现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附:2=,P(2k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解:(1)将22列联表中的数据代入公式计算,得2=4.762.由于4.7623.841,所以有95%的把握认为“南方学生和北方
10、学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间=(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a2,b3),(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2),(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3).其中ai表示喜欢甜品的学生,i=1,2.bj表示不喜欢甜品的学生,j=1,2,3.由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A=(a1,b1,b2),(a1,b1,b3),(a1,b2,b3),(a2,b1,b2)
11、,(a2,b1,b3),(a2,b2,b3),(b1,b2,b3).事件A由7个基本事件组成,因而P(A)=.能力提升13.(2014沈阳五模)经统计,用于数学学习的时间(单位:小时)与成绩(单位:分)近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表:x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回归方程为=x+,则点(,)与直线x+18y=100的位置关系是(B)(A)+18100(C)+18=100(D)+18与100的大小无法确定解析:=(15+16+18+19+22)=18,=(102+98+115+115+120)=110.
12、所以样本数据的中心点为(18,110).所以110=18+.即点(,)满足+18=110100.14.高三某班学生每周用于物理学习的时间x(单位:小时)与物理成绩y(单位:分)之间有如下关系:x24152319161120161713y92799789644783687159根据表可得回归方程的斜率为3.53,则回归直线在y轴上的截距为.(答案保留到0.1)解析:由已知可得=17.4,=74.9.设回归直线方程为=3.53x+,则74.9=3.5317.4+,解得13.5.答案:13.515.(2013高考重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄y
13、i(单位:千元)的数据资料,算得xi=80,yi=20,xiyi=184,=720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程y=bx+a中,b=,a=-b,其中,为样本平均值,线性回归方程也可写为=x+.解:(1)由题意知n=10,=8,=2,又-n=720-1082=80,xiyi-n=184-1082=24,由此得b=0.3,a=-b=2-0.38=-0.4,故所求回归方程为y=0.3x-0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b=0.30),故
14、x与y之间是正相关.(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.37-0.4=1.7(千元).探究创新16.电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布表(时间单位为:分):分组0,10)10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)频率0.10.180.220.250.20.05将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性.(1)根据已知条件完成下面的22列联表,据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?
15、非体育迷体育迷合计男女合计(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育迷”中有2名女性,若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.附:K2=P(K2k0)0.050.01k03.8416.635解:(1)由频率分布表可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而完成22列联表如表:非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算,得K2=3.030.因为3.0303.841,所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布表可知,“超级体育迷”有5人,从而一切可能结果所组成的基本事件空间为=(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),其中ai表示男性,i=1,2,3,bj表示女性,j=1,2.由10个基本事件组成,而且这些基本事件的出现是等可能的.用A表示“任选2人中,至少有1人是女性”这一事件,则A=(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),事件A由7个基本事件组成.P(A)=.10