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1、函数的奇偶性【考点综述】函数的奇偶性是函数的一个重要性质，正确掌握函数奇偶性的判断、运用奇偶性来判断函数的单调性和作用，是学生学习函数的一个重要内容一些数学选择题、填空题、计算题都会经常遇到函数的奇偶性问题，如何快速、巧妙地判断函数的奇偶性显得尤为重要【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：基本方法判定函数的奇偶性使用情景：函数表达式比较简单，定义域也容易求解解题模板：第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；第三步 得出结论例1 判定下列函数的奇偶性：（1） （2）（3）； （4）；【答案】（1）奇函
2、数； （2）偶函数； （3）既是奇函数也是偶函数； （4）既不是奇函数也不是偶函数解析】解题模板选择：本题中所给的函数解析式比较简单，故选取解题方法模板一基本方法判定函数的奇偶性进行解答解题模板应用：（1）第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；函数的定义域要求真数大于0，即，解得，函数的定义域函数的定义域关于原点对称，第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；，第三步 得出结论所以函数为奇函数（2）第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；由题意可得，所以且，所以，函数的定义域为，关于原点对称，第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不
3、是奇函数也不是偶函数；又，第三步 得出结论所以函数为偶函数（3）第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；由 得x21，即x1因此函数的定义域为1，1，关于原点对称第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；又f（1）f(1)f(1)0，第三步 得出结论所以f（x）既是奇函数又是偶函数（4）第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；函数f（x）的定义域是(，1)(1，)，第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；函数的定义域不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数【典型例题】1. 下列函数是偶函数的是（ ）A
4、. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用函数的奇偶性的定义，注意定义域是否关于原点对称，即可得到所求结论【详解】C定义域为定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数；D，定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数；B，是正比例函数，图象关于原点对称，则为奇函数；A的定义域为，满足，该函数为偶函数；故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，运用定义法解题，还涉及奇偶函数的性质，考查判断能力，属于基础题2. 设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A. 是偶函数B. 是奇函数C. 是奇函数D. 是奇函数【答案】C【解析】【分析】由题可得，再根据奇偶函数的定义依
5、次判断即可.【详解】是奇函数，是偶函数，对于A，故是奇函数，故A错误；对于B，故是偶函数，故B错误；对于C，故是奇函数，故C正确；对于D，故是偶函数，故D错误.故选：C.3. 已知函数，则A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】【详解】分析：讨论函数的性质，可得答案.详解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.4. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】
6、根据函数的定义域，对称性，偶函数定义进行判断.【详解】对于A,函数关于对称，函数为非奇非偶函数，故A错误；对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B错误；对于C,，则函数是偶函数，满足条件，故C正确；对于D,由得得，函数的定义为，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查偶函数的判断，首先需要考虑对称轴是否关于原点对称，再根据图象是否关于轴对称或利用定义判断.5. 设函数，则f(x)（ ）A. 是偶函数，且在单调递增B. 是奇函数，且在单调递减C. 是偶函数，且在单调递增D. 是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇
7、函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.解题方法模板二：利用函数的奇偶性求函数
8、的解析式使用情景：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式解题模板：第一步 首先设出所求区间的自变量；第二步 运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围；第三步 利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式例2 已知函数是定义在上的奇函数，当时，求出函数的解析式【答案】【解析】解题模板选择：本题中给出了函数在上的单调性，考查函数在对称区间的子区间上函数的解析式，故选取解题方法模板二利用函数的奇偶性求函数的解析式进行解答解题模板应用：第一步，首先设出所求区间的自变量x设x0，第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的x的取值范围：所以f(x)=x(
9、1x)，第三步，利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式：又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=f(x)=x(1x)，即f（x）=x(1x)，所以函数的解析式为【名师点睛】（1）已知函数的奇偶性求解析式的题目，一般是求哪个区间，则设未知数在哪个区间，然后化为已知区间求解；（2）本题是求函数在R上的解析式，一定不要忘记时，函数的值【典型例题】6. 已知函数在R上为奇函数，且时，则当时，_.【答案】【解析】【分析】设，则，根据时，求得，再利用函数在R上为奇函数求解.【详解】设，则，因为时，所以，又因为函数在R上为奇函数所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用奇偶性求对称区间上的解
10、析式问题，属于基础题.7. 已知函数yf(x)的图象关于原点对称，且当x0时，f(x)x22x3.则f(x)在R上的表达式为_【答案】【解析】【分析】根据函数是奇函数，即可求得；结合的解析式，即可求得时的解析式.【详解】因为是奇函数，且定义域为，故当时，；则当时，.故答案为：.【点睛】本题考查由函数的奇偶性，求函数的解析式，属基础题.8. 函数在上为奇函数，且当时，则当时，_【答案】【解析】【分析】令，则，代入到已知的解析式得到的解析式，再根据函数在上为奇函数，则，求得的解析式.【详解】令，则，又函数在上为奇函数，则，即，得，故当时，【点睛】本题考查了由函数的奇偶性求函数的解析式，属于基础题.
11、9. 若函数定义域为R，且其图像关于原点成中心对称，当时，则当时，_【答案】【解析】【分析】当时，再利用奇函数的定义即可得到答案.【详解】解：函数定义域为R，且其图像关于原点成中心对称，所以该函数是奇函数，当时，当时，又为奇函数，所以，所以当时，故答案为：.【点睛】本题主要考查利用奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的逻辑推理能力，另外需注意函数定义域中是否包含0；难度一般.10. 若在上的表达式为，且为奇函数，则时，等于_.【答案】【解析】【分析】先设，则，根据时，代入即可求解.【详解】设，则，因时，所以，故.故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求解析式，属于基础题.解题方法模板三
12、：分段函数的奇偶性使用情景：所给函数的解析式为分段函数，需要判定函数的奇偶性解题模板：解题模板A：利用传统的方法分类讨论确定函数的奇偶性第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；第三步 得出结论解题模板B：第一步 确定函数的定义域第二步 写出形式的分段函数第三步 确定函数的奇偶性例3 判断函数的奇偶性【答案】奇函数【解析】解题模板选择：本题中所需判定奇偶性的函数解析式是一个分段函数的形式，故选取解题方法模板三分段函数的奇偶性进行解答解题模板应用：解题模板A：利用传统的方法分类讨论确定函数的奇偶性第一步 确定函数的定
13、义域，判断其定义域是否关于原点对称；函数的定义域为，关于坐标原点对称；第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；当x0时，x0，f（x）=x2+3x4，f(x)=(x)2+3(x)+4=(x2+3x4)=f（x）当x0，f（x）=x2+3x+4，f(x)=(x)2+3(x)4=(x2+3x+4)=f（x）综上，f(x)=f（x）第三步 得出结论所以，f（x）为奇函数解题模板B：第一步 确定函数的定义域函数的定义域为，关于坐标原点对称；第二步 写出形式的分段函数，即，即，第三步 确定函数的奇偶性所以f(x)=f（x），所以f（x）为奇函数11. 已知奇函数则不等式的解集为
14、_.【答案】【解析】【分析】根据是奇函数确定a的值,利用的解析式,建立关于x的不等式组,从而解决问题.【详解】因为是奇函数且,所以,所以,所以不等式等价于或,所以,所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数及奇函数的性质,考查考生的运算求解能力,考查的核心素养是数学抽象、数学运算. 解含函数的不等式的解法：一是利用的解析式进行转化；二是首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后转化为具体的不等式（组）,此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.12. 若函数是奇函数，则ab_【答案】1【解析】【分析】利用奇函数所质，可得f（0）0，从而可求出a的值，再由可求出b的值，进而可求
15、出ab的值【详解】f（x）为奇函数，当x0时，f（0）0a0，f（1）110f(1)0又f(1)1b，b1ab1故答案为1【点睛】此题考查奇函数性质的应用，属于基础题13. 已知函数f(x)是奇函数，则a_【答案】1【解析】【分析】先求得，根据函数为奇函数，得到，即可求解.【详解】由题意，当时，则，可得，又因为函数为奇函数，所以，即，解得.故答案为：1.【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14. 设是定义在R上的偶函数，当时，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围是_【答案】【解析
16、】【分析】利用导数研究的单调性，作出函数的图象，有4个不同的实数根等价于或两个方程根的个数和为4，数形结合即可得到答案【详解】当时，易知当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，由复合函数单调性知，在上单调递减，作出函数的图象如图所示，因为，即或，要使方程有4个不同实根，只需或或或，解得或，所以实数的取值范围是故答案为：.【点睛】本题考查利用导数研究方程的根的个数，考查学生数形结合思想，转化与化归思想，是一道有一定难度的压轴填空题15. 设函数是定义在上的奇函数，且，则的值为_.【答案】.【解析】【分析】由已知函数解析式，结合奇函数的定义可知，代入即可求解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数
17、，且所以，则.故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答熟练应用函数的奇偶性，结合分段函数的分段条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力.解题方法模板四：用求商法判断函数的奇偶性使用情景：f(x)与f（x）的关系不容易确定的函数奇偶性的判定解题模板：第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；第二步 若是，则利用比值关系或来判断；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；第三步 得出结论例4 判断函数的奇偶性，【答案】奇函数【解析】解题模板选择：本题中函数的解析式比较复杂，不易确定与的关系，故选取解题方法模板四用求商法判断函数的奇偶性进行解答解题模板应用：第一步 确定函
18、数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；函数有意义，则，故，函数定义域为，定义域关于原点对称，第二步 若是，则利用比值关系或来判断；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；注意到：，第三步 得出结论即f(x)=f（x），故函数是奇函数解题方法模板五：根据函数奇偶性的规律判定使用情景：函数解析式比较复杂，由若干基本函数经过运算之后的函数判定奇偶性解题模板：第一步 确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断；第二步 结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性常见的结论包括：（1）几个奇函数的代数和是奇函数；几个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的代数和是非奇非偶函数（2
19、）奇函数的乘积或商是偶函数，偶函数的乘积或商是偶函数，奇函数与偶函数的乘积或商是奇函数常见基本函数的奇偶性：（1）一次函数y=kx+b(k0)，当b=0时，是奇函数，当b0时，是非奇非偶函数（2）二次函数y=ax2+bx+c(a0)，当b=0时，是偶函数；当b0时，是非奇非偶函数（3）反比例函数是奇函数（4）指数函数y=ax(a0且a1)是非奇非偶函数（5）对数函数y=logax(a0且a1，x0)是非奇非偶函数（6）三角函数y=sinx(xR)是奇函数，y=cosx(xR)是偶函数，是奇函数（7）常值函数f（x）=a，当a0时，是偶函数，当a=0时，既是奇函数又是偶函数例5 判断下列函数的奇
20、偶性：（1）；（2）；（3）【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数【解析】解题模板选择：本题中所给函数的解析式是几个具有奇偶性的基本函数的加减乘除的组合，故选取解题方法模板五根据函数奇偶性的规律判定进行解答解题模板应用：（1）第一步 确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断；所给的函数是3个幂函数之和；第二步 结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性由于函数均为奇函数，故函数是奇函数（2）第一步 确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断；所给的函数是两个基本函数之积；第二步 结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性由于
21、函数均是奇函数，故函数是偶函数（3）第一步 确定所给函数的结构特征，应用奇函数的性质进行判断；所给的函数是两个基本函数之和第二步 结合基本函数的奇偶性和函数奇偶性的相关结论确定所给函数的奇偶性由于函数是奇函数，函数是偶函数，故函数是非奇非偶函数【名师点睛】常见函数的奇偶性一定要熟练掌握，才能做到快速地判断出些函数的奇偶性，从而对解题会有很大帮助解题方法模板六：判定抽象函数奇偶性使用情景：所给的函数没有解析式，需要利用所给的条件判定函数的奇偶性解题模板：第一步 确定函数的定义域，猜想函数模型，从而确定函数的奇偶性方向；一般的函数模型包括：若f(mn)=f（m）f（n），可认为函数为幂函数f（x）
22、=xa(a的范围或数值需要其他条件确定)；若f(mn)=f（m）+f（n），可认为函数为对数函数f（x）=logax(a的范围或数值需要其他条件确定)；若f(m+n)=f（m）f（n），可认为函数为指数函数f（x）=ax(a的范围或数值需要其他条件确定)；若f(m+n)=f（m）+f（n），可认为函数为正比例函数f（x）=kx；若，可认为函数为正切函数f（x）=tanx；若，可认为是余弦函数第二步 利用所猜想的函数模型，使用赋值法结合所给的条件得出与的关系；第三步 得出结论例6 已知定义在上的函数满足：对任意，有，试确定函数的奇偶性【答案】奇函数【解析】解题模板选择：本题中所给的函数为抽象函数
23、，故选取解题方法模板六判定抽象函数的奇偶性进行解答解题模板应用：第一步 确定函数的定义域，猜想函数模型，从而确定函数的奇偶性方向；函数的定义域为R，关于坐标原点得出，利用所给的关系式猜想函数为正比例函数，故结论目标为证明函数为奇函数第二步 利用所猜想的函数模型，使用赋值法结合所给的条件得出与的关系；令，令，第三步 得出结论则函数是奇函数【典型例题】16. 设是定义在上的函数，且对任意，恒有.（1）求的值；（2）求证：为奇函数；（3）若函数是上的增函数，已知,且，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）证明见详解；（3）【解析】【分析】（1）通过令，即可得到的值；（2）先判断定义域，然后考虑令，
24、根据题设条件得到，即可完成证明；（3）利用条件将变形为两个函数值之间的大小关系，利用函数的单调性列出不等式求解出实数的范围.【详解】（1）令，所以，所以；（2）因为的定义域为关于原点对称，令，所以，所以，所以是奇函数；（3）令，所以，又因为，所以，所以，又因为函数是上的增函数，所以，所以，即.【点睛】本题考查抽象函数的求值、奇偶性证明以及根据函数单调性解不等式，难度一般.抽象函数在求值或者证明时，一般选用“令值”的方式，将抽象的等式关系转变为待求的值或者待证明的问题.17. 已知函数的定义域为，值域为，在上恒成立，且对任意，都有（1）求的值，并证明为奇函数；（2）若时，且，证明为上的增函数，并
25、解不等式【答案】（1）1，证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）令可求得，通过可代换出，再求，结合即可证明为奇函数（2）任取，则，再结合的性质进行代换，即可求证； 等价于，解得，考虑到，故可代换为，根据函数增减性即可求得取值范围【详解】（1）令，得，又函数的值域为，为奇函数（2）任取，当时，又函数的值域为，即为上的增函数由，即，化简得，又为上的增函数，故的解集为【点睛】本题考查抽象函数具体函数值的求法，复杂函数奇偶性的证明，抽象函数增减性的证明，利用函数的增减性解不等式，整体难度较大18. 定义在的函数满足对任意恒有且不恒为.（1）求的值；（2）判断的奇偶性并加以证明；（3）若时，是增函数
26、，求满足不等式的的集合.【答案】(1)，；(2)偶函数，证明见解析；(3)【解析】【详解】试题分析：(1)利用赋值法：令得，令，得；(2)令，结合(1)的结论可得函数是偶函数；(3)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f符号，求解绝对值不等式可得x的取值范围是.试题解析：（1）令得，令，得；（2）令，对得即，而不恒为，是偶函数；（3）又是偶函数，当时，递增，由，得的取值范围是.19. 已知是定义在上的函数，对任意的，都有，且.（1）求证:（2）判断函数的奇偶性【答案】（1）证明见解析（2）为偶函数【解析】【分析】（1）令，代入已知式，即可得证；（2）函数为偶函数，令，结合即可得证【详解】（1）令，又，.（2）令，则，即，又的定义域为，为偶函数.【点睛】本题考查抽象函数的求值及奇偶性判断，考查赋值法的运用20. 已知函数定义在上，满足：任意，都有成立，.（1）求的值.（2）判断的奇偶性，并加以证明；【答案】（1）；（2）奇函数；证明见解析.【解析】【分析】（1）令求出，令，结合，可求出；（2）令，代入式子化简即可判断出的奇偶性.【详解】（1）令得，解得：，令得，又，所以可得；（2）令，则有，所以，所以函数为上的奇函数.【点睛】本题主要考查了函数值的求解，函数奇偶性的判断，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.27