《安徽省2013年高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形 文.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省2013年高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第2讲 三角恒等变换及解三角形 文.doc（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、-1-专题三专题三三角函数及解三角形第三角函数及解三角形第 2 2 讲讲三角恒等变换及解三角形三角恒等变换及解三角形真题试做真题试做1(2012广东高考，文 6)在ABC中，若A60，B45，BC3 2，则AC()A4 3B2 3C.3D.322(2012江西高考，文 4)若sincossincos12，则 tan 2()A34B.34C43D.433(2012重庆高考，文 5)sin 47sin 17cos 30cos 17()A32B12C.12D.32考向分析考向分析本部分主要考查三角函数的基本公式，三角恒等变形及解三角形等基本知识近几年高考题目中每年有 12 个小题，一个大题，解答题以
2、中低档题为主，很多情况下与平面向量综合考查，有时也与不等式、函数最值结合在一起，但难度不大，而三角函数与解三角形相结合，更是考向的主要趋势三角恒等变换是高考的热点内容，主要考查利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：边和角的计算；三角形形状的判断；面积的计算；有关的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来命题将是今后高考的一个关注点，不可小视热点例析热点例析热点一三角恒等变换及求值【例 1】(2012山东淄博一模，17)已知函数f(x)2cos2x2 3sin
3、x.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若为第二象限角，且f3 13，求cos 21cos 2sin 2的值规律方法规律方法明确“待求和已知三角函数间的差异”是解决三角函数化简、求值、证明问题的关键三角恒等变换的常用策略有：(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等(2)项的分拆与角的配凑：二倍角只是个相对概念，如3是6的二倍角，是2的二倍角等；22 2，()等；熟悉公式的特点，正用或逆用都要灵活，特别对以下几种变形更要牢记并会灵活运用：1sin 2sin2cos22sincos(sincos)2，cossin 22sin等(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升
4、幂，逆用二倍角公式降幂-2-(4)角的合成及三角函数名的统一：asinbcosa2b2sin()tanba.变式训练变式训练 1 1(2012山东济宁模拟，17)已知函数f(x)3sinxcosx(xR R，0)的最小正周期为 6.(1)求f32的值；(2)设，2，0，f32 1013，f(32)65，求 cos()的值热点二三角函数、三角形与向量等知识的交会【例 2】(2012山东烟台适用性测试一，理 17)在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，m m(2bc，cosC)，n n(a，cosA)，且m mn n.(1)求角A的大小；(2)求函数y2sin2Bcos32B的
5、值域规律方法规律方法以解三角形为命题形式考查三角函数是“众望所归”：正余弦定理的应用，难度适中，运算量适度，方向明确(化角或化边)(1)利用正弦定理，将角化为边时，实际上是把角的正弦替换为所对边与外接圆直径的比值(2)求角的大小一定要有两个条件：是角的范围；是角的某一三角函数值用三角函数值判断角的大小时，一定要注意角的范围及三角函数的单调性的应用(3)三角形的内角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性 在三角形中，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值均为正值任意两角的和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方变式训练变式训练 2
6、2(2012皖北协作区联考，文 16)在锐角ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知3a2csinA.(1)求角C；(2)若c2，ABC的面积为 3，求a，b的值热点三正、余弦定理的实际应用【例 3】某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB.现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段现要求市中心O与AB的距离为 10 km，问把A，B分别设在公路上离市中心O多远处才能使A，B之间的距离最短？并求最短距离(结果保留根号)规律方法规律方法(1)三角形应用题主要是解决三类问题：测高度、测距离和测角度(2)在解三角形时，要根据
7、具体的已知条件合理选择解法，同时，不可将正弦定理与余弦定理割裂开来，有时需综合运用(3)在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归纳到三角形中解决要明确先用哪个公式或定理，先求哪些量，确定解三角形的方法在演算过程中，要算法简练、算式工整、计算正确，还要注意近似计算的要求(4)在画图和识图过程中要准确理解题目中所涉及的几种角，如仰角、俯角、方位角，以防出错(5)有些时候也必须注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、锐角三角形等变式训练变式训练 3 3(2012安徽名校联考，文 8)如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的
8、同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为()-3-A25 2 mB.25 22mC50 2 mD50 3 m思想渗透思想渗透化归转化思想解答三角恒等变换问题求解恒等变换问题的思路：一角二名三结构，即用化归转化的思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)变角：首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心；(2)变名：其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”，诱导公式的运用；(3)结构：再次观察代数式的结构特点，降幂与升幂，巧用“1”的代换等【典型例题】(2012福建高考，文 20)
9、某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解法一：(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 15112sin 3011434.(2)三角恒等式为 sin2cos2(30
10、)sincos(30)34.证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos 30cossin 30sin)2sin(cos 30cossin 30sin)sin234cos232sincos14sin232sincos12sin234sin234cos234.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为 sin2cos2(30)sincos(30)34.证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)1cos 221cos(602)2sin(cos 30cossin 30sin)1212cos 21212(cos 60cos 2sin 60sin 2)32sincos
11、12sin21212cos 21214cos 234sin 234sin 214(1cos 2)-4-114cos 21414cos 234.1(2012安徽名校联考，文 2)已知 sin35，且，32，则sin 2cos2的值等于()A.32B.34C32D342在ABC中，如果 0tanAtanB1，那么ABC是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定3(2012山东烟台适用性测试一，5)已知倾斜角为的直线l与直线x2y20 平行，则 tan 2的值为()A.45B.43C.34D.234(2012江西南昌二模，5)已知cosx6 33，则cosxcosx3 的值是()A2 33
12、B2 33C1D15(2012山东淄博一模，10)在ABC中，已知bcosCccosB3acosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，则 cosB的值为()A.13B13C.2 23D2 236已知 sinx512，则 sin 2x4 _.7(2012湖南长沙模拟，18)已知函数f(x)3sin2x2 3sinxcosx5cos2x.(1)若f()5，求 tan的值；(2)设ABC三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosBcosCb2ac，求f(x)在(0，B上的值域8(2012安徽江南十校联考，文 16)已知函数f(x)sinxcosx.(1)若f(x)2f(x)，求cos2
13、xsinxcosx1sin2x的值；(2)求函数F(x)f(x)f(x)f2(x)的最大值和单调递增区间参考答案参考答案命题调研命题调研明晰考向明晰考向真题试做真题试做1B解析：解析：由正弦定理得BCsinAACsinB，即3 2sin 60ACsin 45，解得AC2 3.2B解析：解析：因为sincossincos12，所以tan1tan112，解方程得 tan3.于是根据倍角公式可得 tan 22tan1tan234，故选 B.-5-3C解析：解析：因为 sin 47sin(3017)sin 30cos 17sin 17cos 30，所以原式sin 30cos 17sin 17cos 3
14、0sin 17cos 30cos 17sin 3012，故选C.精要例析精要例析聚焦热点聚焦热点热点例析热点例析【例 1】解：解：(1)f(x)1cosx 3sinx12cosx3，函数f(x)的最小正周期为 2.又1cosx3 1，函数f(x)的值域为1,3(2)f3 13，12cos13，即 cos13.cos 21cos 2sin 2cos2sin22cos22sincoscossincossin2coscossincossin2cos，又为第二象限角，且 cos13，sin2 23.原式cossin2cos132 232312 22.【变式训练 1】解：解：(1)f(x)3sinxco
15、sx232sinx12cosx2sinx6.函数f(x)的最小正周期为 6，T26，即13.f(x)2sin13x6.f322sin13326 2sin3 3.(2)f32 2sin1332 6 2sin1013，sin513.-6-f(32)2sin13326 2sin2 2cos65，cos35.，2，0，cos 1sin21213，sin 1cos245.cos()coscossinsin121335513451665.【例 2】解解：(1)由m mn n，得(2bc)cosAacosC0，(2sinBsinC)cosAsinAcosC0，2sinBcosAsinCcosAsinAcos
16、Csin(AC)sin(B)sinB.在锐角三角形ABC中，sinB0，cosA12，故A3.(2)在锐角三角形ABC中，A3，故6B2.y2sin2Bcos32B1cos 2B12cos 2B32sin 2B132sin 2B12cos 2B1sin2B6.6B2，62B656.12sin2B6 1，32y2.函数y2sin2Bcos32B的值域为32，2.【变式训练 2】解解：(1)3a2csinA，3sinA2sinAsinC，sinA0，sinC32，0C2，C3.(2)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4.又ABC的面积等于 3，12absinC 3，得ab4.联立方程组a2b2a
17、b4，ab4，解得a2，b2.【例 3】解：解：在AOB中，设OAa，OBb.-7-因为OA为正西方向，OB为东北方向，所以AOB135.又O到AB的距离为 10，所以SABO12absin 13512|AB|10，得|AB|220ab.设OAB，则OBA45.因为a10sin，b10sin45，所以ab10sin10sin45100sinsin45100sin22cos22sin10024sin 2241cos 24002sin245 24002 2.当且仅当2230时，“”成立所以|AB|2204002 220(21)当且仅当2230时，“”成立所以，当ab10sin 22301022 2
18、时，A，B之间的距离最短，且最短距离为 20(21)km.即当A，B分别在OA，OB上离市中心O10 22 2km 处时，能使A，B之间的距离最短，最短距离为 20(21)km.【变式训练 3】C解析：解析：易得B30，根据正弦定理可知AB50 2 m.创新模拟创新模拟预测演练预测演练1A解析：解析：sin 22sincos，sin 2cos22tan23432.2C解析：解析：由题意 0A，0B，tanAtanB0，则A，B两角为锐角，又 tan(AB)tanAtanB1tanAtanB0，则AB为锐角，则角C为钝角，故选 C.3B解析：解析：已知倾斜角为的直线l与直线x2y20 平行，则
19、tan12，tan 22tan1tan213443.4C解析：解析：cosxcosx3 cosxcosxcos3sinxsin332cosx32sinx 3cosx6 333 1.5A解析解析：因为bcosCccosB3acosB，所以 sinBcosCcosBsinC3sinAcosB，即 sin(BC)3sinAcosB，即 cosB13.62 5解析解析：sin 2x4 sin2x2 cos 2x(12sin2x)2sin2x1-8-2512213 512 5.7解解：(1)由f()5，得 3sin22 3sincos5cos25，31cos 22 3sin 251cos 225.3si
20、n 2cos 21，即3sin 21cos 22 3sincos2sin2，sin0 或 tan 3.tan0 或 tan 3.(2)由cosBcosCb2ac，得cosBcosCsinB2sinAsinC，则 cosB12，即B3.又f(x)3sin2x2 3sinxcosx5cos2x 3sin 2xcos 2x42sin2x6 4，由 0 x3，可得12sin2x6 1，故 5f(x)6，即所求值域是5,68解解：(1)f(x)sinxcosx，f(x)cosxsinx.又f(x)2f(x)，sinxcosx2(cosxsinx)且 cosx0tanx13.cos2xsinxcosx1sin2xcos2xsinxcosx2sin2xcos2x1tanx2tan2x1611.(2)由题知F(x)cos2xsin2x12sinxcosxcos 2xsin 2x1 2sin2x4 1.当 sin2x4 1 时，F(x)max 21.由22k2x422k，解得单调递增区间为38k，8k(kZ Z)