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1、【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第2篇 第6节 二次函数与幂函数课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号幂函数的图象与性质1、2、5、7、8二次函数的图象与性质3、4、9、10、12二次函数的综合问题6、11、13、14、15、16、17基础过关一、选择题1.(2014成都模拟)已知幂函数f(x)的图象经过点(9,3),则f(2)-f(1)等于(C)(A)3(B)1-(C)-1(D)1解析:设幂函数为f(x)=x,由f(9)=9=3,得32=3,所以2=1,=,所以f(x)=,所以f(2)-f(1)=-1. 2.(2014大同模拟)函数y=的图象大致是(C)解析:y=,其定义
2、域为xR,排除A,B,又01,图象在第一象限为上凸的,排除D.3.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么(A)(A)f(2)f(1)f(4)(B)f(1)f(2)f(4)(C)f(2)f(4)f(1)(D)f(4)f(2)f(1)解析:f(2+t)=f(2-t),f(x)关于x=2对称,又开口向上.f(x)在2,+)上单调递增,且f(1)=f(3).f(2)f(3)f(4),即f(2)f(1)f(4).4.函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间-1,+)上是递减的,则实数a的取值范围是(D)(A)-3,0)(B)(-,-3(C)-2,0(D)-3
3、,0解析:当a=0时,f(x)=-3x+1在-1,+)上递减,故a=0时满足题意.当a0时,要使f(x)在-1,+)上是减函数,则有解得-3a0.综上可知a的取值范围是-3,0.5.若(a+1(3-2a,则a的取值范围是(B)(A)(,+)(B)(,)(C)(1,)(D)(,1)解析:因为f(x)=的定义域为(0,+),且在(0,+)上是减函数,所以原不等式等价于即所以a.6.设f(x)=|2-x2|,若0ab且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是(D)(A)(0,2)(B)(0,)(C)(0,4)(D)(0,2)解析:f(a)=f(b),0ab,ab,2-a2=b2-2,即a2+b2=4
4、,(a+b)2=a2+b2+2ab2(a2+b2)=8.则0a+b2.二、填空题7.若y=是偶函数,且在(0,+)内是减函数,则整数a的值是.解析:函数在(0,+)内是减函数,a2-4a-50.-1a0,n0)上,则log2(+)=.解析:由幂函数的图象知y=x,(-1,1,2,3)的图象恒过定点A(1,1),又点A在直线+=1(m0,n0)上,+=1.log2(+)=log22(+)=log22=1.答案:19.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,bR)是偶函数,且它的值域为(-,4,则该函数的解析式为f(x)=.解析:f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+
5、2a2是偶函数,则其图象关于y轴对称,2a+ab=0,b=-2或a=0(舍去).又f(x)=-2x2+2a2且值域为(-,4,2a2=4,f(x)=-2x2+4.答案:-2x2+410.(2014兰州模拟)如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(xa,b)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为.解析:由已知得解得所以f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5,x-4,6.故f(x)min=f(1)=5.答案:511.(2014大同模拟)已知二次函数f(x)=cx2-4x+a+1的值域是1,+),则+的最小值是.解析:由已知得得ac=4,且a0,c0,所以+2=2=3.答案:312
6、.已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x0,1时有最大值2,求a的值.解:函数f(x)的对称轴为x=a,若a1,则f(1)=-1+2a+1-a=2,a=2符合条件.若0a1则f(a)=a2-a+1=2,即a2-a-1=0,解得a=(0,1)舍去,若ax+k在区间-3,-1上恒成立,试求k的范围.解:(1)由题意有f(-1)=a-b+1=0,且-=-1,a=1,b=2.f(x)=x2+2x+1,单调减区间为(-,-1,单调增区间为-1,+).(2)f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立,转化为x2+x+1k在-3,-1上恒成立.设g(x)=x2+x+1,x-3,-1,则g(x)在-3,-1
7、上递减.g(x)min=g(-1)=1.k1,即k的取值范围为(-,1).能力提升14.已知函数f(x)=x2+1的定义域为a,b(ab),值域为1,5,则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是(C)(A)8(B)6(C)4(D)2解析:由f(x)=x2+1=5,得x2=4,即x=2.故根据题意结合函数f(x)=x2+1的图象得a,b满足:-20,12,则实数m的取值范围是.解析:m=+,(1,2)且函数m=+在(1,2)上是增函数,1+1m2+,即m(2,).答案:(2,)16.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为常数),xR,F(x)=(1)若f(-
8、1)=0,且函数f(x)的值域为0,+),求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x-2,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;(3)设mn0,a0且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)0.(1)解:f(-1)=0,a-b+1=0,a=b-1.又xR,f(x)的值域为0,+),b2-4(b-1)=0,b=2,a=1,f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.F(x)=(2)解:g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1,当2或-2时,即k6或k-2时,g(x)在-2,2上是单调函数.故所求实数k的取值范围为(-,-26,+).(3)证
9、明:f(x)是偶函数,f(x)=ax2+1,F(x)=mnn,则n0,m-n0,m2n2,又a0,F(m)+F(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)0.命题得证.探究创新17.定义:如果在函数y=f(x)定义域内的给定区间a,b上存在x0(ax0b),满足f(x0)=,则称函数y=f(x)是a,b上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点,如y=x4是-1,1上的平均值函数,0就是它的均值点.现有函数f(x)=-x2+mx+1是-1,1上的平均值函数,则实数m的取值范围是.解析:因为函数f(x)=-x2+mx+1是-1,1上的平均值函数,设x0为均值点,所以=m=f(x0),即关于x0的方程-+mx0+1=m在(-1,1)内有实数根,解方程得x0=1或x0=m-1.所以必有-1m-11,即0m2,所以实数m的取值范围是(0,2).答案:(0,2)7