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1、1七年级数学竞赛讲座七年级数学竞赛讲座(一一)自然数的有关性质自然数的有关性质一、一、知识要点1、1、最大公约数定义定义 1 1如果 a1,a2,an和 d 都是正整数，且 da1,da2,dan，那么 d 叫做a1,a2,an的公约数。公约数中最大的叫做 a1,a2,an的最大公约数，记作(a1,a2,an).如对于 4、8、12 这一组数，显然 1、2、4 都是它们的公约数，但 4 是这些公约数中最大的，所以 4 是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4.2、2、最小公倍数定义定义 2 2如果 a1,a2,an和 m 都是正整数，且 a1m,a2m,anm，那么 m 叫做a1,a2,a
2、n的公倍数。公倍数中最小的数叫做 a1,a2,an的最小公倍数，记作a1,a2,an.如对于 4、8、12 这一组数，显然 24、48、96 都是它们的公倍数，但 24 是这些公倍数中最小的，所以 24 是它们的最小公倍数，记作4,8,12=24.3、3、最大公约数和最小公倍数的性质性质 1 若 ab,则(a,b)=a.性质 2 若(a,b)=d,且 n 为正整数，则(na,nb)=nd.性质 3 若 na,nb,则nbanbna,.性质 4 若 a=bq+r(0rb),则(a,b)=(b,r).性质 4 实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。性质 5 若 ba,则a,b=a
3、.性质 6 若a,b=m,且 n 为正整数，则na,nb=nm.性质 7 若 na,nb,则nbanbna,.4、4、数的整除性定义定义 3 3对于整数 a 和不为零的整数 b，如果存在整数 q，使得 a=bq 成立，则就称b 整除 a 或 a 被 b 整除，记作 ba，若 ba，我们也称 a 是 b 倍数；若 b 不能整除 a，记作 ba5、5、数的整除性的性质性质 1 若 ab，bc，则 ac性质 2 若 ca，cb，则 c(ab)性质 3 若 ba,n 为整数，则 bna6、6、同余定义定义 4 4设 m 是大于 1 的整数，如果整数 a，b 的差被 m 整除，我们就说 a，b 关于模
4、m 同余，记作 ab(mod m)7、7、同余的性质性质 1 如果 ab(mod m)，cd(mod m)，那么 acbd(mod m)，acbd(mod m)性质 2 如果 ab(mod m)，那么对任意整数 k 有 kakb(mod m)性质 3 如果 ab(mod m)，那么对任意正整数 k 有 akbk(mod m)2性质 4 如果 ab(mod m)，d 是 a，b 的公约数，那么dm,m moddbda二、二、例题精讲例 1 设 m 和 n 为大于 0 的整数，且 3m+2n=225.如果 m 和 n 的最大公约数为 15，求 m+n 的值(第 11 届“希望杯”初一试题)解：(1
5、)因为(m,n)=15,故可设 m=15a，n=15b，且(a,b)=1因为 3m+2n=225，所以 3a+2b=15因为 a,b 是正整数，所以可得 a=1,b=6 或 a=b=3，但(a,b)=1，所以 a=1,b=6从而 m+n=15(a+b)=157=105评注：1、遇到这类问题常设 m=15a，n=15b，且(a,b)=1，这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。这是一种常用方法。2、思考一下，如果将 m 和 n 的最大公约数为 15，改成 m 和 n 的最小公倍数为 45，问题如何解决？例 2有若干苹果，两个一堆多一个，3 个一堆多一个，4 个一堆多一个，5 个一堆多一个，6 个
6、一堆多一个，问这堆苹果最少有多少个？分析：将问题转化为最小公倍数来解决。解设这堆苹果最少有 x 个，依题意得543215432161514131211615141312qxqxqxqxqxqxqxqxqxqx即由此可见，x-1 是 2，3，4，5，6 的最小公倍数因为2,3,4,5,6=60，所以 x-1=60，即 x=61答：这堆苹果最少有 61 个。例 3自然数 a1，a2，a3，a9，a10的和 1001 等于，设 d 为 a1，a2，a3，a9，a10的最大公约数，试求 d 的最大值。解由于 d 为 a1，a2，a3，a9，a10的最大公约数，所以和 a1+a2+a3+a9+a1010
7、01能被 d 整除，即 d 是 100171113 的约数。因为 dak，所以 akd，k1，2，3，10从而 1001a1+a2+a3+a9+a1010d所以101101001d由 d 能整除 1001 得，d 仅可能取值 1，7，11，13，77，91。因为 1001 能写成 10 个数的和：91+91+91+91+91+91+91+91+91+182其中每一个数都能被 91 整除，所以 d 能达到最大值 91例 4 某商场向顾客发放 9999 张购物券，每张购物券上印有四位数码，从 0001 到 9999号，如果号码的前两位之和等于后前两位之和，则这张购物券为幸运券，如号码 0734，3
8、因 0+7=3+4，所以这个号码的购物券为幸运券。证明：这个商场所发购物券中，所有幸运券的号码之和能被 101 整除。(第 7 届初中“祖冲之杯”数学邀请赛试题)证明：显然，9999 的购物券为幸运券，除这张外，若号码为 n 的购物券为幸运券，则号码为 m=9999-n 的购物券也为幸运券。由于 9999 是奇数，所以 m，n 的奇偶性不同，即 mn，由于 m+n=9999，相加时不出现进位。就是说，除号码为 9999 的幸运券外，其余所有的幸运券可两两配对，且每对号码之和为 9999，从而可知所有的幸运券的号码之和为 9999 的倍数。由 1019999，所以所有幸运券的号码之和能被 101
9、 整除。评注：本题是通过将数两两配对的方法来解决。例 5 在 1，2，3，1995 这 1995 个数中，找出所有满足条件的数来：(1995+a)能整除1995a(第五届华杯赛决赛试题)分析：aa19951995分子、分母都含有 a，对 a 的讨论带来不便，因此可以将aa19951995化成a1995199519951995，这样只有分母中含有 a，就容易对 a 进行讨论。解aaaaa19951995199519951995199519951995199519951995因为(1995+a)能整除 1995a，所以aa19951995是整数，从而a199519951995是整数因为 19951
10、995=325272192，所以它的因数 1995+a 可以通过检验的方法定出。注意到 1a1995，所以 19951995+a3990如果 1995+a 不被 19 整除，那么它的值只能是以下两种：35272=3675，32572=2205如果 1995+a 能被 19 整除，但不被 192整除，那么它的值只能是以下两种：37219=2793，52719=3325如果 1995+a 能被 192整除，那么它的值只能是以下两种：7192=252 7，32192=3249于是满足条件的 a 有 6 个，即从上面 6 个值中分别减去 1995，得到1680、210、798、1330、532、125
11、4评注：本题通过对aa19951995的适当变形，便于对 a 的讨论。讨论时通过将 19951995 分解质因数，然后将因数 1995+a 通过检验的方法定出。这种方法在解决数的整除问题中经常使用。例 611+22+33+44+55+66+77+88+99除以 3 的余数是几？为什么？(第四届华杯赛复赛试题)4解 显然 111(mod 3)，330(mod 3)，660(mod 3)，990(mod 3)又 22=41(mod 3)，44141(mod 3)，5525(-1)5(-1)(mod 3)，77171(mod 3)，88(-1)81(mod 3)11+22+33+44+55+66+7
12、7+88+991+1+0+1-1+0+1+1+041(mod 3)即所求余数是 1评注：用同余式求余数非常方便。例 7 已知：19911991199119911991个a，问 a 除以 13，所得余数是几？(第三届华杯赛决赛试题)分析：将 a 用十进制表示成199048410101011991a，1991 除以 13，所得余数是显然的，主要研究19904841010101除以 13 的余数规律。解199048410101011991amod 13，103(-3)3=-27-1，1+104+1081-10+102=910，19912a410121012=-188，即 a 除以 13，所得余数是
13、8例 8 n 是正偶数，a1,a2,an除以 n，所得的余数互不相同；b1,b2,bn除以 n，所得的余数也互不相同。证明 a1+b1，a2+b2，an+bn除以 n，所得的余数必有相同的。证明 n 是正偶数，所以 n-1 为奇数，2121nnnn不是 n 的倍数，a1,a2,an除以 n，所得的余数互不相同，所以这 n 个余数恰好是 0，1，n-1.从而 a1+a2+an0+1+(n-1)=21 nn0(mod n)同样 b1+b2+bn21 nn0(mod n)但(a1+b1)+(a2+b2)+(an+bn)=(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)21 nnnnnn1210(mod n
14、)所以 a1+b1，a2+b2，an+bn除以 n，所得的余数必有相同的。例 9 十进制中，44444444的数字和为 A，A 的数字和为 B，B 的数字和为 C，求 C分析：由于 101(mod 9)，所以对整数 a0，a1，a2，an有9 mod1010100110111aaaaaaaannnnnn它表明十进制中，一个数与它的各位数字和模 9 同余。根据上述结论有CBA44444444(mod 9).所以只要估计出 C 的大小，就不难确定 C5解：44447(mod 9)，而 73(-2)3=-81(mod 9)，所以4444444474444=731481+17(mod 9)，所以CBA
15、444444447(mod 9)，另一方面，44444444(105)4444=1022220，所以 44444444的位数不多于 22220从而 A922220=199980，即 A 至多是 6 位数。所以 B96=54在 1 到 53 的整数中，数字和最大的是 49，所以 C4+9=13在小于 13 的自然数中，只有 7 模 9 同余于 7，所以 C=7评注：本题用了十进制中，一个数与它的各位数字和模 9 同余这个结论。根据这个结论逐步估计出 C 的大小，然后定出 C。三、三、巩固练习选择题1、两个二位数，它们的最大公约数是 8，最小公倍数是 96，这两个数的和是()A、56B、78C、8
16、4D、962、三角形的三边长 a、b、c 均为整数，且 a、b、c 的最小公倍数为 60，a、b 的最大公约数是 4，b、c 的最大公约数是 3，则 a+b+c 的最小值是（）A、30B、31C、32D、333、在自然数 1，2，3，100 中，能被 2 整除但不能被 3 整除的数的个数是()A、33B、34C、35D、374、任意改变七位数 7175624 的末四位数字的顺序得到的所有七位数中，能被 3 整除的数的个数是()A、24B、12C、6D、05、若正整数 a 和 1995 对于模 6 同余，则 a 的值可以是()A、25B、26C、27D、286、设 n 为自然数，若 19n+14
17、10n+3(mod 83)，则 n 的最小值是()A、4B、8C、16D、32填空题7、自然数 n 被 3 除余 2，被 4 除余 3，被 5 除余 4，则 n 的最小值是8、满足x,y=6，y,z=15 的正整数组(x,y,z)共有组9、一个四位数能被 9 整除，去掉末位数后得到的三位数是 4 的倍数，则这样的四位数中最大的一个，它的末位数是10、有一个 11 位数，从左到右，前 k 位数能被 k 整除(k=1,2,3,11)，这样的最小11 位数是11、设 n 为自然数，则 32 n+8 被 8 除的余数是12、14+24+34+44+19944+19954的末位数是解答题13、求两个自然
18、数，它们的和是 667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商是 120。14、已知两个数的和是 40，它们的最大公约数与最小公倍数的和是 56，求这两个数。15、五位数H97H4能被 12 整除，它的最末两位数字所成的数7H能被 6 整除，求出这个五位数。16、若 a,b,c,d 是互不相等的整数，且整数 x 满足等式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9求证：4(a+b+c+d)17、一个数是 5 个 2，3 个 3，2 个 5，1 个 7 的连乘积，这个数当然有许多约数是两位数，这些两位约数中，最大的是多少？618、求 2400被 11 除，所得的余数。19、证明 31980+41981被 5 整除。20、xi=1 或-1(i=1，2，1990)，证明019902199021xxx