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1、三角形、四边形的证明与计算类型一有等腰三角形，通常作底边上的高、中线或顶角的平分线针对演练1. 在ABC中，AB=BC=2,ABC=120,将ABC绕点B顺时针旋转角(0120)，得A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点. 图 图第1题图(1)证明：EA1=FC;（2）如图，当=30时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长.2. （2015连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上.（1）小明发现DG
2、BE,请你帮他说明理由；（2）如图，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长. 图 图 第2题图3. 如图，在ABC中，D是AB边的中点，AEBC于点E，BFAC于点F，AE,BF相交于点M，连接DE,DF.图 图 图第3题图 （1）DE,DF的数量关系为 ； （2）如图，在ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在ABC的内部，且MBC=MAC.过点M作MEBC于点E，MFAC于点F，连接DE,DF.求证：DE=DF； （3）如图，若将上面（2）中的条件“CB=CA”变为“CBCA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明
3、你的结论.【答案】针对演练1.（1）证明：AB=BC,AC,ABC绕点B顺时针旋转角得A1BC1,ABE=C1BF,CC 1,AB=BC=A1B=BC1,AC1,在ABE和C1BF中，ABEC1BF(ASA),BE=BF,A1B-BE=BC-BF,即EA1=FC.(2)解：四边形BC1DA是菱形，理由如下：旋转角30，ABC=120，ABC1=ABC+=120+30150，ABC1=120，AB=BC,AC= (180-120)30，ABC1+C1=150+30180，ABC1+A=150+30=180,ABC1D, ADBC1,四边形BC1DA是平行四边形，又AB=BC1,四边形BC1DA是
4、菱形.（3）解：如解图，过点E作EGAB于点G,由（2）得A=ABA1=30，AG=BG=AB=1,在RtAEG中，AE=，由（2）知AD=AB=2, 第1题解图DE=AD-AE=2-.2.解：(1)如解图，延长EB交DG于点H,四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，AD=AB，DAG=BAE=90，AG=AE,ADGABE(SAS)，AGD=AEB，在ADG中，AGD+ADG=90，AEB+ADG90，DHE=90，即DGBE.(2)四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形， 第2题解图AD=AB,DAB=GAE=90，AG=AE,DAB+BAG=GAE+BAG,DAG=BAE.AD=AB
5、,DAG=BAE,AG=AE，ADGABE(SAS),DG=BE.如解图，过点A作AMDG于点M，AMD=AMG=90，BD是正方形ABCD的一条对角线，第14题解图MDA=45.在RtAMD中，MDA=45，AD=2，DM=AM=，在RtAMG中，AM 2+GM 2=AG 2,GM= =,GM=,DG=DM+GM=+,BE=DG=+. 第2题解图3.解：(1)DE=DF.(2)如解图，连接CD，在ABC中，CB=CA,CAB=CBA,MBC=MAC,MAB=MBA,AM=BM.点D是边AB的中点，点M在CD上，CM平分FCE，FCD=ECD.MEBC于E，MFAC于F, 第3题解图MF=ME
6、.在CMF和CME中，,CMFCME(SAS).CF=CE.在CFD和CED中，,CFDCED(SAS).DE=DF.(3)DE=DF.如解图，作AM的中点G，BM的中点H,连接DG、DH、GF、HE,点D是边AB的中点，DGBM,DG=BM.同理可得：DHAM,DH=AM.MEBC于E，H是BM的中点，在RtBEM中，HE=BM=BH，DG=HE,同理可得：DH=FG.DGBM, DHAM,四边形DHMG是平行四边形，DGM=DHM.MGF=2MAC,MHE=2MBC,且MBC=MAC,MGF=MHE，DGM+MGF=DHM+MHE， 第3题解图DGF=DHE,在DHE与FGD中，,DHEF
7、GD(SAS).DE=DF. 题型四三角形、四边形的证明与计算类型二有直角三角形，通常作斜边上的中线针对演练1. 在等腰RtABC中，AB=AC,BAC=90，点D是斜边BC的中点，点E是线段AB上一动点（点E不与A、B重合），连接DE,作DFDE交AC于点F,连接EF. (1)如图，如果BC=4，当E是线段AB的中点时，求线段EF的长；（2）如图，求证：BC=（AE+AF）；（3）如图，点M是线段EF的中点，连接AM,在线段AB上是否存在点E，使得BC=4AM?若存在，求EAM的度数；若不存在，请说明理由. 图 图 图第1题图 2. 如图，在ACB和AED中,AC=BC,AE=DE，ACB=
8、AED=90，点E在AB上，点F是线段BD的中点，连接CE、FE.（1）若AD=3，BE=4，求EF的长；（2）求证：CE=EF;（3）将图中的AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与ACB的边AC在同一条直线上（如图），连接BD，取BD的中点F，并连接EF,问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由. 图 图第2题图【答案】针对演练1.(1)解：点D、E分别是BC、AB的中点，DEAC，BAC=BEDAED90，又DFDE,FDE=90，FDEAED,DFAB,点F是AC的中点，EF是ABC的中位线，EFBC=2; (2)证明：如解图,连接AD,点D是RtABC斜边的中点，ADBC=C
9、D,EAD=BAC=45，ADB=ADC=90，C45，EAD=C,ADE+ADF=90,CDF+ADF90， 第1题解图ADE=CDF,在ADE与CDF中，ADECDF(ASA),AE=FC,BC=AC= (FC+AF)= (AE+AF).(3)解：在线段AB上存在点E，使得BC=4AM.如解图，连接DM,AD，BC=4AM =2AD,AD=2AM, 第1题解图在RtEAF和RtEDF中点M为EF的中点，AM=DM =EF,AM+DM AD,2AM AD, 显然只有AM和AD共线时，以上表达式等号才成立，此时EAM=45. 2.（1）解：AED=90，AE=DE,AD=3,AE=DE=3,在
10、RtBDE中，DE=3,BE=4,BD=5,又F是线段BD的中点，EFBD=2.5.（2）证明：如解图，连接CF.BED=AED=ACB=90点F是BD的中点，CF=EF= FB = FD,DFEABD+BEF,ABD=BEF,DFE2ABD,同理CFD2CBDDFE+CFD=2(ABD+CBD)= 90，即CBD= 90CE=EF. 第2题解图 (3)解：(2)中的结论仍然成立.如解图,连接CF，延长EF交CB于点G，ACB=AED=90，DEBC,EDF=GBF,在EDF与GBF中，,EDFGBF（ASA）,EF=GF,BG=DE=AE,AC=BC, 第2题解图CE=CG,EFC=90，C
11、F=EF,CEF为等腰直角三角形，CEF45，CE=EF.题型四三角形、四边形的证明与计算类型三截长补短针对演练 1. 如图，D为ABC外一点，过D作DEAB交AB延长线于E,过D作DFAC交AC延长线于F，且DE=DF. （1）求证：AE=AF; （2）若CAB=60，BDC=60，试猜想BC、BE、CF之间的数量关系并写出证明过程； （3）若题中条件“CAB=60”改为CAB=，则BDC满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？并说明理由. 备用图第1题图 2. 已知在四边形ABCD中，ABC+ADC=180,AB=BC.（1）如图，若BAD=90，AD=2，求CD的长度；（2如图，点P、Q分
12、别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：PBQ=90-ADC;（3）如图，若点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ,则（2）中的结论是否成立？若成立，请给出证明过程；若不成立，请写出PBQ与ADC的数量关系，并给出证明过程. 图 图 图第2题图 3. 如图，ABC中，AB=AC，点P是三角形外一点，且APB=ABC.（1）如图，若BAC=60，点P恰巧在ABC的平分线上，PA=2，求PB的长;（2）如图，若BAC=60，试探究PA,PB,PC的数量关系，并证明;（3）如图，若BAC=120，请证明：PA+PC=PB. 图 图 图第3题图 4.
13、 已知，在等腰RtABC中，ABC=90，AB=CB，D为直线AB上一点，连接CD，过点C作CECD，且CE=CD，连接DE,交AC于点F. （1）如图,当点D、B重合时，求证：EF=BF;（2）如图,当点D在线段AB上，且DCB=30时，请探究DF、EF、CF之间的数量关系，并说明理由;（3）如图，在（2）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使DGP=60，交DFG的角平分线于点Q，求证：FD+FG=FQ. 图 图 图第4题图【答案】针对演练1.（1）证明：在ADE与ADF中，,ADEADF(SAS),AE=AF.(2)解:猜想:BCBE+CF,理由如下:由（1）得：6=7,B
14、AC=60,6=7=30,ADE=ADF=60,BDC=60,1=60-2=3,同理24，如解图所示，在AF延长线上取点G，使得FG=BE，连接DG，在BDE与GDF中BDEGDF(SAS), 第1题解图BD=GD,1=5，GDC=4+5=2+1=ADE=BDC=60,在BDC与GDC中， ，BDCGDC(SAS),BC=CG=CF+FG=CF+BE.(3)解：BDC满足BDC= (180)时，(2)中结论仍然成立，理由如下：由（2）知BDEGDF(SAS),BD=GD,1=5.又BC=CF+BE=CF+FG=CG,在BDC与GDC中,BDC GDC（SSS）,BDC=GDC,又GDC=4+5
15、=4+1,EDF=180-CAB=180-,BDC=4+1= (180-).2.(1)解：ABC+ADC=180，BAD90，BCD=90,在RtBAD和RtBCD中，,RtBADRtBCD(HL),AD=CD,AD=2,CD=2.（2）证明：如解图，延长DC，在上面找一点K，使得CKAP,连接BK,ABC+ADC=180,BAD+BCD=180,BCD+BCK=180,BAD=BCK,在BPA和BKC中，,BPABKC(SAS),12，BP=BK.PQ=AP+CQ=CK+CQ=KQ,PQ=KQ,在PBQ和KBQ中，,PBQKBQ(SSS), 第2题解图PBQ=KBQ,PBQ=2+CBQ=1+
16、CBQ, PBQ=ABC.ABC+ADC=180,ABC=180-ADC,ABC90-ADC，PBQ90-ADC.（3）解：（2）中结论不成立，应该是：PBQ=90+ADC，证明：如解图，在CD延长线上找一点K，使得KCPA，连接BK，ABC+ADC=180,BAD+BCD=180,BAD+PAB=180,PAB=KCB,在BPA和BKC中，BPABKC(SAS),ABP=CBK,BP=BK,PQ=AP+CQCK+CQ=KQ,PQ=KQ,在PBQ和KBQ中，,PBQKBQ（SSS）, 第2题解图PBQ=KBQ,2PBQ+PBK=2PBQ+ABC=360,2PBQ+(180-ADC)=360,P
17、BQ=90+ADC.3.(1)解：AB=AC,BAC=60,ABC是等边三角形，APB=ABC,APB=60,又点P恰巧在ABC的平分线上，ABP=30,PAB=90,BP=2AP,AP=2,BP=4.(2)解:结论：PA+PC=PB.证明：如解图，在BP上截取PD,使PD=PA，连接AD，APB=60,ADP是等边三角形，DAP=60，1=2,PA=AD,在ABD与ACP中，,ABDACP(SAS),PC=DB,PA+PC=PB. 第3题解图(3)证明：如解图，以点A为圆心，以AP的长为半径画弧交BP于点D，连接AD，过点A作AFBP于点F，AP=AD,BAC=120,ABC=30,APB=
18、30,DAP=120,1=2,在ABD与ACP中， 第3题解图，ABDACP(SAS),DB=CP,AFPD,PF=PA,AD=AP,PD=2PFPA,PA+PC=PB4.(1)证明：ABC=90,AB=CB,A=ACB=45,CECD,CE=CD,EBC=E=45,BCE=90,ACE=E=45,ACB=EBC=45,EF=CF,BF=CF,EF=BF.（2）解：EF=DF+CF.理由如下：在EF上找到G点使得FG=CF，如解图，DCB=30,ACB=45,ACD=15,CFG=CDE+ACD=60,FG=CF,CFG是等边三角形，CG=CF=GF,FCG=60,ECG=ECD-ACD-FC
19、G=90-15-60=15ACD,在ECG和DCF中，ECGDCF(SAS),EG=DF, 第4题解图EF=EG+GF,EF=DF+CF.（3）证明：在FQ上找到H点，使得FH=FG，连接GH,如解图，FQ平分DFG，QFG=60,FG=FH,FGH是等边三角形，GHF=FGH=60,GH=FG=FH,AFD=CDE+ACD=60,GHQ=DFG=120,FGD+DGH=60,DGH+QGH=60,FGD=QGH,在DFG和QHG中，DFGQHG(ASA), 第4题解图DF=QH,FH+QH=FQ,FG+FD=FQ.题型四三角形、四边形的证明与计算类型四构造适宜的三角形或四边形针对演练1. 如
20、图，四边形ABCD、BEFG均为正方形. （1）如图，连接AG、CE，判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明; （2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（0180)，如图，连接AG、CE相交于点M，连接MB,求出EMB的度数; （3）若BE=2，BC=6，连接DG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转角（0180），求在这个旋转过程中线段DG长度的取值范围. 图 图第1题图2. 四边形ACBD是由等边ABC和顶角为120的等腰ABD拼成，将一个60角顶点放在D处，将60角绕D点旋转，该60角两边分别交直线BC、AC于点M、N，交直线AB于E、F两点.（1）当点E、F均在边AB上时（如图），求证：
21、BM+AN=MN;（2）当点F、E分别在边BA及其延长线上时（如图），线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系： ;（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长 . 图 图第2题图3. 如图，在菱形ABCD中，ABC=60，若点E在AB的延长线上，EFAD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G. （1）过D点作DHAB，垂足为H，若DH=2，BE=AB，求DG的长； （2）连接CP，求证：CPFP; （3）如图，在菱形ABCD中，ABC=60，若点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE，点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第
22、（2）问的结论成立吗？若成立，求出的值；若不成立，请说明理由. 图 图第3题图4. 如图，ABC中，BAC=90, AB=AC, ADBC于点D，点E在AC边上，连接BE. （1）若AF是ABE的中线，且AF=5，AE=6，连接DF，求DF的长; （2）若AF是ABE的高，延长AF交BC于点G. 如图，若点E是AC边的中点，连接EG，求证：AG+EG=BE; 如图,若点E是AC边上的动点，连接DF.当点E在AC边上（不含端点）运动时，DFG的大小是否改变？如果不变，请求出DFG的度数;如果要变，请说明理由. 图 图 图第4题图5. 如图，ABC中，BEAC于点E，ADBC于点D，连接DE. （
23、1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求ABC的周长；（2）如图，若AB=BC，AD=BD，ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE；（3）如图，若ABBC，AD=BD，将ADC沿着AC翻折得到AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论. 图 图 图第5题图【答案】针对演练1.解：（1）AG=CE,AGCE，证明如下：四边形ABCD、BEFG均为正方形，GBA=EBC=90,BG=BE,BA=BC,在GBA和EBC中，,GBAEBC(SAS),AG=CE,GAB=BCE,BGA+BCE=BGA+GAB=90,AGCE.(2)如解图,过B作BPEC
24、,BQMA,垂足分别为P、Q，可知四边形BPMQ为矩形，PBE+PBG=QBG+PBG=90,PBE=QBG,在BPE和BQG中，,BPEBQG(AAS),BP=BQ,且BQ=PM,BP=PM,BPM为等腰直角三角形， 第1题解图EMB=45.(3)当在初始位置时，DG最大，此时GC6+28，CD6,由勾股定理可求得DG10，当G点在线段BD上时，DG最小，此时BG2，BD6，所以DG6-2，而旋转角取不到0,所以DG的范围为：6-2DG10.2.证明：把DBM绕点D逆时针旋转120得到DAQ，如解图，则DM=DQ,AQ=BM,ADQ=BDM,QDN=ADQ+ADN=BDM+ADN=ADB-M
25、DN 第2题解图=120-60=60, QDN=MDN=60,在MND和QND中，, MNDQND(SAS),MN=QN,QN=AQ+AN=BM+AN,BM+AN=MN.(2)解：MN+AN=BM.【解法提示】理由如下：如解图，把DAN绕点D顺时针旋转120得到DBP, 则DN=DP,AN=BP,DAN=DBP=90,点P在BM上，MDP=ADB-ADM-BDP=120-ADM-ADN120-MDN120-6060，MDP=MDN=60,在MND和MPD中，,MNDMPD(SAS), 第2题解图MN=MP,BM=MP+BP,MN+AN=BM.(3)解：如解图，过点M作MHAC交AB于点G，交D
26、N于点H，ABC是等边三角形， BMG是等边三角形，BM=MG=BG,根据（1）中MNDQND可得QND=MND,根据MHAC可得QND=MHN,MND=MHN,MN=MH,GH=MH-MG=MN-BM=AN,即AN=GH,在ANE和GHE中， , ANEGHE(AAS), 第2题解图AE=GE=1,AC=5,AB=AC=5,BG=AB-AE-EG=5-1-1=3,BM=BG=3.3.（1）解：四边形ABCD为菱形，ABC60，DABC,CD=CB,CDG=CBA=60，DAH=ABC=60,DHAB,DHA=90，在RtADH中，sinDAH=,AD= =4,又AB=AD,BE=AB=41,
27、EFAD,PDG=PEF,P为DE的中点，PD=PE,DPG=EPF,PDGPEF（ASA）,DG=EF,EFAD,ADBC,EFBC,FEB=CBA=60，BE=EF,BEF为等边三角形，EF=BE=1,DG=EF=1.(2)证明：如解图,连接CG、CF,由（1）知PDGPEF,PG=PF,BF=EF,DG=EF,BF=DG,在CDG与CBF中，CDGCBF（SAS）,CG=CF,PG=PF,CPFP.第3题解图（3）解：CPFP仍成立.理由如下：如解图，过D作EF的平行线，交FP的延长线于点G，连接CG、CF，易证PEFPDG,DG=EF=BF,DGEF,GDP=FEP,DABC,ADP=
28、PEC,GDP-ADP=FEP-PEC,GDA=BEF=60， 第3题解图CDG=ADC+GDA=120,CBF=180-EBF=120,在CDG和CBF中，,CDGCBF(SAS),CG=CF，DCG=FCB,PG=PF,CPPF，GCP=FCP,DCB=180-ABC=120,DCG+GCE=120,FCE+GCE=120,即GCF=120，FCPGCF=60，在RtCPF中，tanFCP=tan60= =.4.解：（1）BAC=90,AB=AC,AF是ABE的中线，BE=2AF=10,AE=6,AB=AC= =8,CE=AC-AE=2,ADBC于点D，BD=CD,BF=EF,FD是BEC
29、的中位线，DF=CE=1.(2)证明：如解图，过点C作CMAC交AG延长线于点M，在ABE和CAM中，ABECAM（ASA）,AE=CM,AEB=M,BE=AM,AE=EC,EC=CM,AB=AC,BAC=90,ABC=ACB=45,ACM=90,GCM=90-45=45=ACG,在EGC和MGC中， 第4题解图EGCMGC(SAS),GE=GM,AM=AG+GM=AG+GE,BE=AM,AG+GE=BE;DFG的大小不会改变，ADBC于点D,AF是ABE的高，AFB=ADB=90,A,B,D,F四点共圆，ABD+AFD=180,AFD+DFG=180,DFG=ABD.BAC=90,AB=AC
30、,ABC=45,DFG=ABD=45.5.（1）解：如解图所示：AB=BC，BEAC，AE=CE，AEB=90，ADBC，ADC=90，DE=AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，AB=，BC=，ABC的周长=AB+BC+AC=2+2. 第5题解图（2）证明：连接AF，如解图所示：AB=BC，BEAC，3=4，ADC=90，AD=BD，ABD是等腰直角三角形，DAB=DBA=45，3=22.5，1+C=3+C=90，1=3=22.5，DF平分ADB，ADF=BDF， 第5题解图在ADF和BDF中，ADFBDF（SAS），AF=BF，2=3=22.5，EAF=1+2=45，AEF是等腰直角三角
31、形，AF=AE，DE=AE，BF=DE.（3）解：BE=DG+AE.理由如下：作DHDE交BE于H，如解图所示：BEAC，ADBC，1+ACD=2+ACD=90，1=2，ADE=90-ADH=BDH，在ADE和BDH中，ADEBDH（ASA），DH=DE，AE=BH，DHE是等腰直角三角形，DEH=45，3=90-DEH=45，ADC沿着AC翻折至AGC， 第5题解图DE=GE，3=4=45，DEG=EDH=90，DH=GE，DHGE，四边形DHEG是平行四边形，DG=EH，BE=EH+BH=DG+AE.题型四三角形、四边形的证明与计算类型五有角平分线,作到角两边的垂线针对演练1. 在四边形A
32、BDC中，AC=AB，DC=DB，CAB=60，CDB=120，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF.（1）求证：DE=DF；（2）在图中，若G在AB上,且EDG=60，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系,并证明；（3）若题中条件“CAB=60且CDB=120”改为“CAB=a，CDB=180-a”，G在AB上，EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，在四边形ABCD中，ABC=90，CAB=CAD=30，E在AB上，DEAB，且DCE=60，若AE=3，求BE的长. 图 图第1题图【答案】针对演练1.（1）证明:A+C+CDB+ABD=360,CAB=60，CDB=120，C+ABD=180，ABD+DBF=180，C=DBF，在DEC和DFB中，