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1、20152015 年高考理科数学试卷全国卷年高考理科数学试卷全国卷 1 1（解析版）（解析版）1设复数 z 满足1 z=i，则|z|=（）1 z（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】A【解析】由1 z1i(1i)(1i)=i，故|z|=1，故选 A.i得，z(1i)(1i)1 z1i考点：本题主要考查复数的运算和复数的模等.2sin 20ocos10ocos160osin10o=（）（A）3311（B）（C）（D）2222【答案】D【解析】原式=sin 20ocos10ocos20osin10o=sin30o=考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.3设命题p：nN,n 2，则p
2、为（）2n（A）nN,n 2（B）nN,n 22n2n1，故选 D.22n（C）nN,n 2（D）nN,n=22n【答案】C【解析】p:nN,n 2，故选 C.考点：本题主要考查特称命题的否定4投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312【答案】A223【解析】根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C30.6 0.4 0.6=0.648，2n故选 A.考点：本题主要考查独立重复试验的概率公式与互斥事件和概率公式x2
3、y21上的一点，F1,F2是 C 上的两个焦点，若5已知 M（x0,y0）是双曲线 C：2MF1MF20，则y0的取值范围是（）（A）（-3333，）（B）（-，）3366试卷第 1 页，总 15 页（C）（2 22 22 32 3，）（D）（，）3333【答案】A2x02 y 1，所 以MF1MF2=【解 析】由 题 知F，(3,0),F(3,0)0122222 y03 3y01 0，解得(3x0,y0)(3x0,y0)=x033 y0，33故选 A.考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.6 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内
4、角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）（A）14 斛（B）22 斛（C）36 斛（D）66 斛【答案】B11623r 8=r，所以米堆的体积431116320320为3()25=，故堆放的米约为1.6222，故选 B.43399【解析】设圆锥底面半径为 r，则考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7设D为ABC所在平面内一点BC 3CD，则（）（A）A
5、D 1414ABAC（B）AD ABAC3333（C）AD【答案】A4141AB AC（D）AD ABAC3333【解 析】由 题 知11AD AC CD AC BC AC(AC AB)=3314ABAC，故选 A.33考点：平面向量的线性运算8函数f(x)=cos(x)的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）1313,k),k Z（B）(2k,2k),k Z44441313（C）(k,k),k Z（D）(2k,2k),k Z4444（A）(k试卷第 2 页，总 15 页【答案】D1+42=【解析】由五点作图知，解得，所以=f(x)cos(x)，5344+42令2kx间为（2k 4
6、2k,k Z，解得2k 13x2k，kZ，故单调减区4413，2k），kZ，故选 D.44考点：三角函数图像与性质9执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的 n=（）（A）5（B）6（C）7（D）8【答案】C【解析】执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=0,m=t=0.01,是，循环，1m=0.5,S=S-m=0.5,m=0.25,n=1,S=0.522m=0.125,n=2,S=0.25t=0.01,是，循环，2m执行第 3 次，S=S-m=0.125,m=0.0625,n=3,S=0.125t=0.01,是，循环，2m执行第 4 次，S=S-m=0.0625,m=0.031
7、25,n=4,S=0.0625t=0.01,是，循环，2m执行第 5 次，S=S-m=0.03125,m=0.015625,n=5,S=0.03125t=0.01,是，循环，2m执行第6次，S=S-m=0.015625,m=0.0078125,n=6,S=0.015625t=0.01,是，循环，2m执行第 7 次，S=S-m=0.0078125,m=0.00390625,n=7,S=0.0078125t=0.01,否，2执行第 2 次，S=S-m=0.25,m 输出 n=7，故选 C.考点：本题注意考查程序框图10(x x y)的展开式中，x y的系数为（）（A）10（B）20（C）30（D）
8、60【答案】C【解析】在(x x y)的 5 个因式中，2 个取因式中x2剩余的 3 个因式中 1 个取x，252552试卷第 3 页，总 15 页212其余因式取 y,故x y的系数为C5C3C2=30，故选 C.52考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数.【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解.11圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16
9、+20，则 r=（）（A）1（B）2（C）4（D）8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为14r2r2r r22r2r=25r2 4r2=16+20，解得 r=2，故选 B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式12设函数f(x)=e(2x1)axa,其中 a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是（）（A）-x333333，1）（B）-，）（C），）（D），1）2e2e42e42ex【答案】D【解析】设g(x)=e(2x1)，y axa，由题知存在唯一的整数x0，使
10、得g(x0)在直线y axa的下方.因为g(x)e(2x1)，所以当x 1以当x 时，g(x)max=-2e2，21x11时，g(x)0，当x 时，g(x)0，所22当x 0时，g(0)=-1，g(1)3e 0，直线y axa恒过（1,0）斜率且a，故a g(0)1，且g(1)3e1 aa，解得3a1，故选 D.2e试卷第 4 页，总 15 页考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题13若函数 f（x）=xln(xa x2)为偶函数，则 a=【答案】1【解析】由题知y ln(xa x2)是奇函数，所以ln(xa x2)ln(xa x2)=ln(a x x)lna 0，解
11、得a=1.考点：函数的奇偶性22x2y21的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标14一个圆经过椭圆164准方程为 .【答案】(x)2 y232254222【解析】设圆心为（a，0），则半径为4a，则(4 a)a 2，解得a 圆的方程为(x)2 y23，故23225.4考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程x1 0y15若x,y满足约束条件x y 0，则的最大值为 .xx y4 0【答案】3y是可行域内一点与原xy点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为 3.x【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，试卷第 5 页，总 15 页考点：线性规划
12、解法16在平面四边形ABCD 中，A=B=C=75，BC=2，则AB 的取值范围是 .【答案】（6 2，6+2）【解析】如图所示，延长 BA，CD 交于 E，平移 AD，当 A 与 D 重合与 E 点时，AB 最长，在BCE 中，B=C=75，E=30，BC=2，由正弦定理可得BCBE，即sinEsinC2BE，解得BE=6+2，平移 AD，当 D 与 C 重合时，AB 最短，此时oosin30sin75与 AB 交于 F，在BCF 中，B=BFC=75，FCB=30，由正弦定理知，BFBCBF2，即，解得 BF=6 2，所以 AB 的取值sinFCBsinBFCsin30osin75o范围为
13、（6 2，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想217（本小题满分 12 分）Sn为数列an的前n项和.已知an0，an an=4Sn3.（）求an的通项公式；（）设bn1,求数列bn的前n项和.anan1【答案】（）2n1（）【解析】1164n6试题分析：（）先用数列第n项与前n项和的关系求出数列an的递推公式，可以判断数列an是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列an的通项公式；（）根据（）数列bn的通项公式，再用拆项消去法求其前n项和.试卷第 6 页，总 15 页2试题解析：（）当n 1时，a1 2a1 4S13 4a1+3，因为an 0，所以a1=3，22 an an=4Sn
14、34Sn13=4ann 2时，an1 an1当，即(anan1)(anan1)2(anan1)，因为an 0，所以anan1=2，所以数列an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以an=2n1；（）由（）知，bn=所以数列1111()，(2n1)(2n3)2 2n12n3bn前n项和为b1b2bn=11111()()23557(1111.)=2n12n364n6考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法18如图，四边形ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC.（
15、）证明：平面 AEC平面 AFC；（）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.【答案】（）见解析（）33【解析】试题分析：（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形 ABCD 中，不妨设 GB=1易证 EGAC，通过计算可证 EGFG，根据线面垂直判定定理可知 EG平面 AFC，由面面垂直判定定理知平面 AFC平面 AEC；（）以G 为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值.试题解析：（）连接 BD，设 BDAC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形
16、 ABCD 中，不妨设 GB=1，由ABC=120，可得 AG=GC=3.由 BE平面 ABCD，AB=BC 可知，AE=EC，试卷第 7 页，总 15 页又AEEC，EG=3，EGAC，在 RtEBG 中，可得 BE=2，故 DF=2.2在 RtFDG 中，可得 FG=6.2在直角梯形 BDFE 中，由 BD=2，BE=2，DF=EG2 FG2 EF2，EGFG，ACFG=G，EG平面 AFC，EG面 AEC，平面 AFC平面 AEC.23 2可得 EF=，22（）如图，以G 为坐标原点，分别以GB,GC的方向为x轴，y 轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，由（）可
17、得 A（0，3，0），E（1,0,2），F（1,0，分22），C（0，3，0），AE=（1，3，2），CF=（-1，-3，）.1022故cos AE,CF AE CF3.3|AE|CF|3.3所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为考点：空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力19某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1,2，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.试卷第 8 页，总 15 页xyw(x x)i
18、i182(w w)ii182(x x)(y y)(w w)(yii88ii y)i1i146.656.36.8289.81.61469108.81表中wixi，w=8wii18（）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（）的结果回答下列问题：（）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（）年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据
19、(u1,v1),(u2,v2)，(un,vn),其回归线v u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：【答案】（）y c dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型；（）y 100.668 x（）46.24【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令w x，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（）（）利用y关于x的回归方程先求出年销售量y的预报值，再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；（）根据（）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时
20、的年宣传费试卷第 9 页，总 15 页用.试题解析：（）由散点图可以判断，y c dx适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型.（）令w x，先建立y关于w的线性回归方程，由于d(w w)(yii18ii18i y)=2(w w)108.8=68，16c ydw=563-686.8=100.6.y关于w的线性回归方程为y 100.668w，y关于x的回归方程为y 100.668 x.（）（）由（）知，当x=49 时，年销售量y的预报值y 100.668 49=576.6，z 576.60.249 66.32.（）根据（）的结果知，年利润z 的预报值z 0.2(100.668 x)x x1
21、3.6 x 20.12，当x=13.6=6.8，即x 46.24时，z取得最大值.2故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识x220（本小题满分 12 分）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线y kx a（a40）交与 M,N 两点，（）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由.【答案】（）ax y a 0或ax y a 0（）存在【解析】试题分析：（）先求出 M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（）先作
22、出判定，再利用设而不求思想即将y kx a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM，PN 的斜率之和用a表示出来，利用直线 PM，PN 的斜率为 0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的P 点坐标.试题解析：（）由题设可得M(2 a,a)，N(2 2,a)，或M(2 2,a)，N(2 a,a).试卷第 10 页，总 15 页x21y x，故y 在x=2 2a处的到数值为a，C 在(2 2a,a)处的切线方程为42y a a(x 2 a)，即ax y a 0.x2故y 在x=-2 2a处的到数值为-a，C 在(2 2a,a)处的
23、切线方程为4y a a(x 2 a)，即ax y a 0.故所求切线方程为ax y a 0或ax y a 0.（）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为k1,k2.将y kx a代入 C 得方程整理得x24kx 4a 0.x1 x2 4k,x1x2 4a.k1 k2y1by2b2kx1x2(a b)(x1 x2)k(ab)=.x1x2x1x2a当b a时，有k1k2=0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPM=OPN，所以P(0,a)符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探
24、索新问题；运算求解能力21（本小题满分 12 分）已知函数 f（x）=x3ax1,g(x)ln x.4（）当 a 为何值时，x 轴为曲线y f(x)的切线；（）用minm,n表示m,n中的最小值，设函数h(x)min f(x),g(x)讨论 h（x）零点的个数.【答案】（）a(x 0)，3353；（）当a 或a 时，h(x)由一个零点；当a 或4444553a 时，h(x)有两个零点；当 a 时，h(x)有三个零点.444【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；（）根据对数函数的图像与性质将x分为x 1,x 1,0 x 1研究h(x)的零点个数
25、，若零点不容易求解，则对a再分类讨论.试题解析：（）设曲线y f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)0，f(x0)0，试卷第 11 页，总 15 页13x ax 01300即，解得x0,a.4243x2a 00因此，当a 3时，x轴是曲线y f(x)的切线.4（）当x(1,)时，g(x)ln x 0，从而h(x)minf(x),g(x)g(x)0，h(x)在（1，+）无零点.55，则f(1)a 0，h(1)minf(1),g(1)g(1)0,故x=14455是h(x)的零点；若a ，则f(1)a 0，h(1)minf(1),g(1)f(1)0,44当x=1 时，若a 故x=1 不是h
26、(x)的零点.当x(0,1)时，g(x)ln x 0，所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数.（）若a3或a 0，则f(x)3x a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而f(0)215，f(1)a，所以当a 3时，f(x)在（0，1）有一个零点；当44a 0 时，f(x)在（0，1）无零点.（）若3 a 0，则f(x)在（0，aa）单调递减，在（，1）单调递增，33故当x=aa1a2a.时，f(x)取的最小值，最小值为f()=33343a3)0，即a0，f(x)在（0,1）无零点.34a3)=0，即a ，则f(x)在（0,1）有唯一零点；34a315)0，即3 a ，由 于f(
27、0)，f(1)a，所 以 当3444若f(若f(若f(535 a 时，f(x)在（0,1）有两个零点；当3 a 时，f(x)在（0,1）444有一个零点.10 分3535或a 时，h(x)由一个零点；当a 或a 时，h(x)有444453两个零点；当 a 时，h(x)有三个零点.44综上，当a 考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想22（本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲试卷第 12 页，总 15 页如图，AB 是的直径，AC 是的切线，BC 交于 E.（）若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是（）若OA 的切线；3CE，求ACB 的大小.【答
28、案】（）见解析（）60【解析】试题分析：（）由圆的切线性质及圆周角定理知，AEBC，ACAB，由直角三角形中线性质知 DE=DC，OE=OB，利用等量代换可证DEC+OEB=90，即OED=90，所以DE 是圆 O 的切线；（）设 CE=1,由OA 23CE得，AB=2 3，设 AE=x，由勾股定理得BE 12x，由直角三角形射影定理可得AE2 CE BE，列出关于x的方程，解出x，即可求出ACB 的大小.试题解析：（）连结 AE，由已知得，AEBC，ACAB，在 RtAEC 中，由已知得 DE=DC，DEC=DCE，连结 OE，OBE=OEB，ACB+ABC=90，DEC+OEB=90，OE
29、D=90，DE 是圆 O 的切线.2（）设 CE=1，AE=x,由已知得 AB=2 3，BE 12x，由射影定理可得，AE2 CE BE，22x 12x，解得x=3，ACB=60.考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理23（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线C1:x=2，圆C2：x1y 21,以坐标原点22为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（）求C1，C2的极坐标方程；试卷第 13 页，总 15 页（）若直线C3的极坐标方程为4R，设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.【答案】（）cos 2,2cos4sin4 0（）
30、【解析】212C2的极坐标方程；试题分析：（）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得C1，（）将将=4代入2cos4sin4 0即可求出|MN|，利用三角形面积公式即2可求出C2MN的面积.试题解析：（）因为x cos,y sin，C1的 极 坐 标 方 程 为cos 2，C2的 极 坐 标 方 程 为22cos4sin4 0.5 分（）将=423 2 4 0，代入2cos4sin4 0，得解得12=2 2，2=2，|MN|=12=2，因为C2的半径为 1，则C2MN的面积1121sin45o=.22考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系24（本小题满分 10 分）选修 45：不等
31、式选讲已知函数=|x+1|-2|x-a|，a0.（）当 a=1 时，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的图像与 x 轴围成的三角形面积大于6，求 a 的取值范围.【答案】（）x|【解析】试题分析：（）利用零点分析法将不等式f（x）1 化为一元一次不等式组来解；（）将f(x)化为分段函数，求出f(x)与x轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于a的不等式，即可解出a的取值范围.试题解析：（）当 a=1 时，不等式f（x）1 化为|x+1|-2|x-1|1，2（2，+）x 2（）3等价于x 11 x 1x 12或或，解得 x 2，3x12x2 1x12x2 1x12x2 12 x 2.3所以不等式f（x）1 的解集为x|试卷第 14 页，总 15 页x12a,x 1（）由题设可得，f(x)3x12a,1 x a，x12a,x a所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(2a1,0)，32B(2a 1,0)，C(a,a+1)，所以ABC 的面积为(a1)2.32由题设得(a1)26，解得a 2.3所以a的取值范围为（2，+）.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法试卷第 15 页，总 15 页