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1、第4 2 卷第 1 2 期2 0 0 6年 1 2月 机械工程学报C HI NE S E J OUR NAL OF ME C HANI C AL E NGI NE E R I NGV o 1.4 2 No.1 2D e c.2 0 0 6混联机械系统方案设计特征状态空间理论与方法*张利萍 王德伦(大连理工 大学 精 密与 特种 加工 教育 部重点 实 验室 大 连 1 1 6 0 2 4)摘要:提出混联机械系统运动方案设计与综合的运动功能特征状态空间理论模型。构建混联运动功能特征状态空间，转换设计空间对象到特征状态空间元素，分析特征状态空间构成要素的空间关联关系。进一步探讨空间及其元素性质，研
2、究对偶矢量间运算规则和度量方式，形成抽象有序的封闭空间框架。总结特征状态空间与设计解空间相互映射的方案综合理论，实现运动功能分析的数学求解模式，得到特征状态空间理论对系统设计的运用指导过程。设计实例说明该方法的可行性和实用性。关键词:概念设计混联系统对偶矢量特征状态空间中图分举号:T H 1 2 20 目 1台 方案设计是产品概念设计的重要阶段，对系统运动性能、制造性能和可维护性等方面有重要的影响作用。U M E D A等 1 将传统的定量描述方法转化为定性模型，非常适合于定量信息不足的概念设计早期阶段。G O E L 2 采用基于实例类比 推理的 方法具有较强的知识表达效果，但需大量良好的设
3、计实例才能 有效工作。Y A N 3 1提出了 颜氏 创造性机构设计的系统方法，把原始机构转换成一般化运动链，运用数目 综合理论得到一般化运动链图谱，根据设计要求，特定化运动链图谱，获得机构图谱，而图信息往往忽略掉很重要的运动功能特征信息，难以实现不同 功能 属性之间的映射。K O T A等4 提出 矩阵量化方法建立机构的数学模型，强调机构本体运动特征的可操作性，设计单元由 运动转换矩阵及一个可操作的约束矢量表示，但研究限于定轴的单输入单输出运动。现有方法只能表达单自由度基本机构，系统综合仅停留 在连接关系相对简单的组合系统(如串联组合)，研究的多是某些特定组合特性，讨论往往局限于具体组合系统
4、的运动学和动力学问题，没有形成通用的分析复杂系统的统一有效的理论体系，且由于机构本身的复杂性、机构组合方式的多样性及其间藕合关系的不透明性，尤其是对多输入多输出基本机构参与的串、并联混联组合系统综合方法的研究更是棘手。分解机械系统的数学建模过程为基本机构单元和组合方式的数学建模两子部分。在文献阎串 联方案设计的基础上，同时基于多自由度基本机构和混联系统组合方式6 的 研究，建立机构单元与组合单元的(广义)特征状态方程，提取(广义)特征状态矢量，分别映射为特征状态空间元素，构建起混联系统的特征状态空间模型。把混联系统的运动方案设计过程转化为特征状态空间中空间元素的性质分析与应用问题。1 混联机械
5、系统与特征状态方程*国家自 然科学基金资助项目(5 0 4 7 5 1 5 4).2 0 0 6 0 3 0 7收到初稿 2 0 0 6 0 8 0 9 收到修改稿 研究机械系统构成要素及要素组合关系的表达与性质是混联运动方案设计的基础。1.1 混联机械系统 混联机械系统的运动功能往往是通过若干基本机构以不同的方式串联、并联或者混联组合实现，系统的组合特征由 系统元素(基本机构及其组合方式)的性质决定。基本机构作为特征分析和机构组合的基本单元，是系统功能变换特性等分析的基础。组合方式是系统不同形式传递形态的体现。以缝纫机针与下送料牙同时推进送料机构(图l a)为例，该系统为多输入多输出型。在该
6、机构中，机针 3 与送料牙7 配合同步送料，抬牙曲柄 9和送料摆杆6 通过2自由 度五杆机构使送料牙7 实现下送料运动;摆杆6 与缝纫机上回转曲柄 1 共同驱动产生针杆3 的 运动:一方面随摆杆4 摆动(牵连运动)，另一方面沿移动副方向 作上下运动(相对运动)。机针刺入缝料后与送料牙配合实现的同步运动关系通过基本机构单元，如单自由度的四杆机构与多自由度的五杆机构等采用不同组合方式，如串接式、并接等混联(图l b)实现。2 0 0 6 年 1 2 月张利萍等:混联机械系统方案设计特征状态空间理论与方法(a)机构图般方程，提取输入输出运动功能特征矢量为 r;R ix R iy R iz T iix
7、 T iy T iz T r.=R,R o y R.T.T oy T T并针对输入输出间的速度函数，在级数展开的基础上进行函数特征阶跃化，从而把运动传递单元转化为功能特征变换单元，脱离具体尺度的影响，得到特征状态方程。对基本机构的不同输入输出情况讨论，其中单输入单输出机构特征状态方程形式为 r A.A r A i两输入单输出机构特征状态方程形式为 r A o A1 r A i 1+A 2 r A i2 实例:图 l a中的 2自由度 R R P R R五杆机构(6-7-8-9-1 0)，在机构坐 标系下，假设 两输入为构 件6 转动和构件 9 转动，输出为构件 7 平面运动，方向 如图2 所示
8、。提取输入输出 特征状态矢量:r i1=R X0 0 0 0 0 T;r ig=R x 0 0 0 0 0 T;r o O O O O T y T Z T,建立基本机构特征状态方程为 一一门leseseseseseseseseelseeseses厂知0一110l(:职l(:毖 R。|丁里图 11.曲柄 (b)系统构成及内 部传动关系框图缝纫机针与下送料牙同时推进送料机构2.连杆3 一针杆3.机针4.摆杆6.送料摆杆7.送料牙a.连杆9.抬牙曲柄5 一连杆1 0.机架OCtlnnUntln 复杂机械系统的方案设计，面临的不仅是运动特征的提取，更大困难是整个系统的建模及系统内部元素的描述，尤其是系
9、统综合自 动反求问题。在此结合机械系统内部构成要素分析，通过组成系统的单个机构单元运动功能的分析，建立数理模型;讨论组合方式，由输入输出变换，建立抽象的特征状态方程;进一步建立对应这些元素和表达的统一特征状态空间理论，通过空间元素性质的研究和空间元素拓扑图信息的理论分析，指导混联系统的设计与综合问题。1.2 混联系统功能特征 混联系统及其构成要素都具有特定的运动变换功能，如自由度特征等。根据输入输出端的相对运动规律，动作功能 包括运动类型(转动R、移动T.螺旋H、平面P 等)、运动方向It 变换(x 轴、Y 轴、:轴及任意方向 在各轴方向上的投影分量)、单向/往复 性(往复性B 士、单向 性S
10、+/-)、连续/间 歇性(连续性k、间 歇性s)、速比 特征如常量、变化(线性。、非线性V)等，这些特征是系统运动功能变换数学建模描述不可缺少的内容。1.3 基本机构单元与特征状态方程 对于单、多自由度基本机构采用离散特征状态分析方法，针对具体机构输入输出连续运动速度一v k n r D 3 5 0 0 0v k n r D 3 5v k n r D 3 5V k n r D 3 5 0 0 0v k n r D 3 sv k n r D 3 s(1)图2 2自由度R R P R R五杆基本机构 进一步分析特征状态方程的性质，得到基本机构运动传递特征及其规律，建立数学模型到基础数据的知识转换，
11、为机械系统方案设计提供选型依据。基本机构以其结构相对简单可以作为系统设计的首选。但机械系统为实现复杂的运动轨迹或获得特殊的运动规律，常将基本机构进行适当组合，因此如何组合及组合表达等问题还需要讨论。1.4 混联组合方式与广义特征状态方程 为讨论组合关系的基本形式，需要对多变的组合方式归类分析7-9 l，这是复杂系统分析的基础。机机械工程学报第4 2 卷第 1 2 期、.户、.少凡、4了.、产、械系统经过合理分解，能够抽象出具有代表意义的基本组合通用单元。利用广义特征状态组合模型来表达基本机构的输入输出属性及其组合拓扑关系，继而对基本组合关系建立广义特征矢量间运算关系即广义特征状态方程。实例:分
12、析图l b 中的并、混联组合机构，分析其组合方式，简化为如图3中的组合单元形式。建立组合系统特征状态方程为研究空间则嵌套进特征状态空间成为子空间，从这个角度看，运动功能与运动特征分别构成运动功能状态子空间和运动特征状态子空间;不同输入输出矢量也可构成系列子空间t 29r o zr i z.,r i.,二，r o n 气roltt夕t-只凡-况so-1.lesesesesesesesesJ 气爪几厂.一卫.L 干月.J 口q减A Z B0 C,(2)-一.-门.，leeJrolroz一!lesesL 图3 送料机构组合关系框图 其中广义运动特征矢量间的组合计算规则对应基本机构间不同组合形式，矢量
13、的特征值传递过程是 组 合 特 征 分 析 的 基 础，为 混 联 系 统 运 动 方 案 的 型综合与分解提供了依据。在实际机械系统设计过程中，抽象的组合方式广义特征状态方程需要具体量化，量化过程是通过确定组成系统的基本机构的特征状态方程形式完成的，量化后的结果就是机械系统的特征状态方程。三阶段方程之间的具体关系及计算方式的研究，要在下面特征状态空间性质分析中获得相关规则。有 S=只U 凡=r I r。只U r。凡(5)空间S中任一特征状态矢量的方向由 基底即运动功能空间中的类型和方向决定;大小由非零特征值决定。2.2 对偶点 特征状态空间中，特征状态矢量对应S中的点。定义 2:具有输入输出
14、关系的成对特征状态矢量在特征状态空间中的投影，即为对偶点。对应输入特征矢量的点为对偶输入点，对应输出特征矢量的点为对偶输出点。此时，一对偶点包含一输入对偶点和一输出对偶点。在特征状态空间中，多输入对偶点与多输出对偶点间依次排列组合成多对子对偶点f p d in l,.C lp d=p d in)什 p d o u t J=二，p d in n I。l p d o u tt I.P d.,.=什 C l 几 u tCn p d i n 今Cm(6)2 特征状态空间及其元素 混联机械系统可抽象为机构单元及其组合的特征状态方程。依数理模型中矢量元素建立特征状态空间，进一步将相关元素映射为特征状态空间
15、结构元素，于是完成运动设计空间向 特征状态空间的转换，由 此设计空间的求解计算问题转化为特征状态空间元素的数学计算问题。2.1 特征状态空间 定义 1:由 表达运动功能及运动特征的(广义)特征状态矢量的集合构成的多维空间，称为特征状态空间S o 由 于抽取运动功能(类型、方向)及运动特征(自由 度性质、往复性与单向 性、间歇性与连续性等)程度的不同，能确定的特征状态空间的维数大小及其内部结构也不一样的。特征的提取细化程度决定特征状态空间的大小，若以某些局部特征组合成的 (p d o u t)与 p d in)需要进行集合元素的卡氏 积计算得到空间中对应的子对偶点集。空间S中的p d o u t
16、 与p d in 点可以 重复，即 任一对偶输入点，又可以作为其他机构的对偶输入点或者对 偶 输 出 点。其 中 单 输 入 单 输出 可 表 示 为、。、1(pdout，两 输 入 单 输 出 为z 1。1pdin)C P dout 对偶点之间的多种情况及其可重用性反映了相同及不同的输入与输出间关系的祸合性，也体现了系统运动传递关系中，相同 机构或不同 机构间的输入与输出的可互换性。2.3 对偶特征矢量 设计空间的特征状态矢量实现了运动功能的特征建模，基本机构单元与组合单元的(广义)特征状态方程体现的是输入输出矢量间关系的抽象知识融合，如何表达不同输入与输出对应关系的空间特征建模，在此给出对
17、偶矢量的定义如下。定义3:与对偶点 相对应的(广义)输入 特征矢量V d in l,V d in 2,与(广义)输出 特征矢量V d o u t l,V d o u t2,称为对偶特征矢量，记为 匕in H 气o u t)=f V d in l,.9 V d in n)。l V d o u t0 9 V d o u tm =1C(Vdin“C V dout,C(Vdin)+C mV dout，(7)2 0 0 6 年 1 2月张利萍等:混联机械系统方案设计特征状态空间理论与方法简写为V d i l V d i2.V d o l V d o 2 o 可见，任意个数输入输出特征矢量真子集的组合均称
18、为子对偶矢量。考虑机构单元与组合单元的不同输入与输出情况的特征状态方程形式，对偶矢量抽象形式为 V d i R;x,R iy,R iz,T i,T,叼 V d o (8)R _,Ib y,R.,T.,T oy,侧 假设两输入两输出 对偶矢量式C i1 C i2 C o 1 C o 2，其子对偶矢量式集 C i1 C o 1,C i2 C o 1,C i 1 C o 2,C i2 C o 2,C i1 C i2 C o 1,C i1 C i2 C o 2,C i1 C o 1 C o 2,C i2 C o 1 C o 2 1，表明了部分输入输出特征矢量间相对关系，拆分系统祸合运动关系下的运动功能
19、特征转换。3 对偶矢量空间 系统输入输出间的对应方式决定了对偶矢量的结构形式;运动功能特征的转换过程决定了对偶矢量内部具体数学关系。实质上是将前面建立的基本机构或者组合方式的特征数理方程转化为特征状态空间中的对偶空间元素及其关系来表达并计算。3.1 对偶空间 定义 4:由对偶矢量集构成特征状态对偶空间，简称对偶空间为 T=R i H R o=U(r 1 H r o t)(9)对偶矢量成对出 现(如C i H C o)。对偶空间是特征状态空间的子集，有T c S，是可进行对偶矢量转换运算的空间;特征状态空间是完全意义上的功能空间的映射，是具有确定和不确定运算关系的空间元素的集合。依不同的对偶矢量
20、式形式，有子空间 T l 1=U(r H ro)T,1 H 1 1(1 0)T =U(r 1 I r 2 I*I r m Hr o)T,1 1,2,.,m H 1 1 (1 1)T ln=U(r H r o l,r o 2,*I r o n)T,1 1+1,2,n 为了使建立的对偶矢量间具有度量性质，从而可以研究元素间关系，引入对偶积的概念。定 义5:设V C i C o 1。T c S，映 射f 将S中C i 到 C o 映射成特征状态矩阵(集)C，并记为(C i 1 C i2.，C o 1 C o 2.)0 依此，对应不同的输入输出 关系，对偶积如下。(1)V C jC o E=-.?l
21、c S，其 对 偶 积 数 学 关 系 为 单 输入单输出机构单元或组合单元特征状态方程形式 T 1 1:(C ic o)-C.C C i (1 4)(2)V C i i C i2 C o E T-1 C S,(C i1 C i2 C o)-f-4(C 1;C 2)，有 7 m 1:C i1 C i2 C o-C o C l C il+C 2 C i2(1 5)(3)V C iC o 1 C o 2 E T I n c S，(C iC o 1 C o 2)一 立)C 1;Q，有 T l n:C iC o 1 C o 2-C o l=C l C i1 C o t=C 2 C i1(1 6)(4)
22、d C il C i2 C o 1 C o 2 E r n C S，(C il C i2 C o 1 C o 2)一 道 C 1 1;C 2 1;C 1 2;C 2 2)，有 7 n:C i l C i2 C o 1 C a 2-C a l=C l l Cl+C l 2 G z C o t=C 2 l C i l+C 2 2 C i2 (1 7)其中，当 且仅当氏,=I(m=1,2,-;n=1,2 二)时，(亚)对偶矢量间 变化关系为单位阵形式，即为同 一对偶矢量的自 循环，体现为机构输入与输出 运动特征状态向量完全相同。4 特征状态空间理论 特征状态空间的建立，实现了设计空间元素向特征状态元
23、素的映射:输入输出矢量对应对偶点;机构单元在s空间中映射为对偶矢量;组合单元映射为s空间中系列对偶矢量之间的空间拓扑关系，即s元素的空间关联关系;设计空间中建立的特征状态方程是空间s中元素间度量关系的基础。由于设计空间向 特征状态空间的映射过程中，特征状态空间中的基本元素为对偶点和对偶矢量，对偶矢量的研究，可以转换为空间元素拓扑关系的分析。因此，应用基本机构和组合单元数理模型转换为空间中的元素性质分析，得到空间内部的矢量关系，及矢量之间的可关联性和可计算性的研究分析，以此讨论对应基本机构单元及其不同组合关系构成的机械系统的对偶特征空间性质。通过对其性质分析，得到对偶空间中矢量的基本变换方式及变
24、换规则。(1)对偶矢量相等置换。d B;B.,C iC.E S，且对应B,BB i;C o C C，若C=B.,C o Bi 则C iC.B.B i,同 时有=B-*或B=C 一，。此时，C ic o 称为可逆对偶、.声声、.产2氏j.111了.、了.、T m n=U(Y l I r 2 I.I Y im H Y o 1 I r.2,.I r n)二T,1,2,.-,m H 1,2,.-,n 建立矢量的对偶空间，是设计空间向特征状态空间转化的前提，为转化后的元素之间关联关系的计算提供了基础。3.2 对偶积 特征状态矩阵作为特征状态矢量间的一种度量，量化了空间元素之间的关系。不仅体现机构单元与组
25、合单元内部功能特征状态变化，建立起对偶矢量间对应的具体关系。机械工程学报第4 2 卷第 1 2 期特征矢量，可逆对偶特征矢量间可以互换，实现输入与输出运动可逆。特殊地，如果可逆对偶特征矢量的输入与输出运动相同，则运动变换关系矩阵为对称阵。该性质可以扩展到多输入多输出情况的子对偶矢量间的分析，体现为系统的运动处于局部运动可逆状态。(2)对偶矢量平行合并与分解。b B iB o,C iC.,D i lD i2 D o E S，且对应B o BB i;C o C C i o偶矢量中部分对偶输入或输出矢量的非零特征元素经过放缩，矢量方向不变，则 D i lD i2 D。可变换为k B;D i2 D o
26、(或D ilD i2 B o k)o 数乘不同的输入输出矢量，将对应不同的机械系统形式，如图5 所示。F-,i B i，C i一CE i十 吵 母粉“一 匕 门=B i C o _ 曰(a)数乘箱入矢 量(b)数乘输出 矢量图5 数乘不同矢量串接位置变化图(a)串式烈训.习一B-B一啄 止 B o D;7 Di1 E i2 凡=B i B o D;i-D o lF o=!E i F o=尽D o匕.C i C o D ig 到(d)并式分合图4 不同组合单元模型 若 C il l B o(或 .1/B)则 C iC o 可变换为B.C.(或C iB 小 同时对应特征状态方程的 形式变化，建立满
27、足平行条件的对偶矢量间关系。对于机械系统的不同 组合方式，体现在组合单元中，B jB o,C iC o 可合并为B iC o(图4 a)。若B il l C i 且B。与C o 不平行，则可合并为B iB o C o 或C;B o C o(图4 b)。若B o l lD,i,C o l 1D:且B i 与C i 不平行，则可合并为B iC iD.(图4 c)。另外，若B il l C i 且B./l C o,B o/D il,C o l lD i2，则组合单元可合并为B;D。或CD.(图4 d).上面的分析同样可扩展到多输入多输出的机构单元与组合单元的对偶特征矢量运算中。体现为系统运动的可传递
28、性。(3)对 偶 矢 量 数 乘。d B;B.,C C.E S&k E R(R为实数域)，若且对应C-k B;(或C o k B o=B a k)，即 对偶矢量中的非零特征元素经过放缩，矢量方向没有改变，则CC.可变换为k B;C.(或C B a k)o b D;1D,2 D o E S，若有D,1=k B;(或D,=B o k)，即对 可见，常实数k 使特征状态矢量各分量的数值扩大或者缩小，但特征状态矢量性质未变，类似于此单元的输入矢量前或者输出矢量后串接一常速比为k 的单元。特殊地，-CC.相当于 C的 机构前串置一个反方向 传动的 等速比 机构(如反平行四边形机构或等速比的外啮合圆 柱齿
29、轮传动)，-C的 输入运动方向与C的运动方向相反。(4)0 对偶矢量。对由S 的零元组成的 集合 0),即唯一的零矢量成为一个子空间，叫做零空间，有S(O)二 S,S(I)体现了 特征状态空间的 完备性。(5)可逆性。对于单输入单输出系统，b E;E,E S，若E o EE;，且E;E。可逆，即 存在E.E;，则 E;ET E,E一飞(1 8)且E 声,E S，如图6 所示。对于两输入两输出系统，d E;lE;2 E o,E o 2 E S,若E o i=E,E ii+E i2 E i2,E.2=E 2,E ii+E 2 2 E i2，且E i,E;2E.IE a 2 可 逆，则E,i=E u
30、 试i+E 1 2*E o 2,E;2=E 2 1*E.,+E 2 2 一*E a t o 输入输出矢量可互换的单元，对应运动变换关系为特征状态矩阵转置，矩阵转置与特征状态方程中的逆变换对应的物理意义相一致。图6 可逆对偶矢量 (6)结合律。(E;E.x F iF.)x(CC.x D iD.)=E;E.x(F iF.x C C o)x D jD.(1 9)(E,E。十 F;F.)十(CC.十 D R.)=E iE.+(F iF.+C iC.)+D iD.(2 0)括号内组合单元的对偶特征矢量具有优先计算顺序，反过来说明串、并组合系统拆分过程中，分解组合单元或机构单元的形式是不一样的。2 0 0
31、 6 年 1 2月张利萍等:混联机械系统方案设计特征状态空间理论与方法6艺 +凡 今耐艺(7)分配律。k(E iE o x FF.)=k E;E o x F iF.#E iE o x k FF.k(E iE.+F F.)=k E iE.+k F F o(k E R)(2 1)(2 2)F a。一礁._ p=1 q=m+1 J E m(2 7)E iE o x(C i C.+D iD o)BiE o x C,C o+E iE o x D iD,(2 3)并接的单元C和D前面串接单元E，等价于将E和C,E和D先串接后并接。如图7 所示。(a)先申 后并(b)先并 后串 图7 对偶矢量分配率的等价系
32、统 同样 (C i C.+D jD.)x E X.=C i C o x E jE o+D iD o x E jE.(E jE.+F jF.)x(C C.+D;D.)=L iE o x C iC.+F iF o x CC o+E iE o x D iD o+F iF o x D iD.分析其对应组合关系可见，两对相并接单元 E与F;C与D相串接时，等于把并接单元依次展开成串 接单元(即E C,E D,F C,F D)再并 接的 形式(即E C+E D+F C+F D)，变成了 单元两两相串，再一并并接的形式。(8)交换律。C C o x D iD.=t-D iD o x C iC o (2 4)
33、C C o+D jD O D PO+C jC.(2$)伍jE o x F iF.)+(CC o x D iD o)=(C i C o x D iD o)+(E iE o x F iF.)一(2 6)该性质说明串接单元的串接顺序不能互换;并接的两个单元的可以互换，不影响计算关系。这是系统是否等价的判别条件。这里，m,n=1,2,6。同 样可求得A Z，依据A的非零元素位置及数值可在基本数据库中查寻到对应的基本变换单元;如果不存在基本变换单元实现F o AE ii+A 溉，需 要 依 据系统 组 合 关系 逆推分 解。对于复杂的混联系统，依其内部包含的组合关系及前面对偶矢量的性质分析，有如下所述。
34、(1)串 联 乘法(满足矢量平行条件)V B iB o,C C o E S，当且仅当B o l 1 C时，有 B iB o x CC.B i C.E S此时，求解方程为 C o C B B i#O (2 8)两对偶矢量平行是其代表的单元输入或输出分量间可串接的条件。串接后单元输出矢量为前一个输入矢量与两对偶矢量形成的特征状态矩阵的乘积。实际系统组合形式对应图4 a，建立对偶矢量转换关系如图8 所示。B o i i c;、卜 一 一 一 一5 混联系统综合理论 上节研究对偶矢量在 S空间中具有的空间性质。其对设计空间的具体指导意义，及如何进行计算等，是需要进一步研究的重要内容。5.1 混联系统数
35、学求解 由特征状态方程及特征状态空间性质推得运算规则，即机械运动方案设计转换为对偶矢量间的连接与分解方法及其计算规则。以机械系统的运动功能要求提取输入特征矢量E*与输出 特征矢量F o 为已 知条件。对于基本机构单元:假设两输入单输出运动，由 特征状态方程性质求出 系统状态变换矩阵A 的非 零元素A m。为 图8 串式对偶矢量计算 (2)并联分支 加法(满足矢量分解条件)b B,B o,C,C o,E,F.IF o 2 E S，假设B il l C il lE i;B.l1 F o 1;C.l 1 F o 2，则B iB o+C iC o=E iB a+E;二 E iF a 1+E iF o
36、2，对偶矢量计算得 E iF a 1 E o 2=E iF a 1+E iF o 2=B iB o+C i C.此时，求解方程为 F o 1=B E i F o e=C E i (2 9)对应组合关系图 4 b对偶矢量转换关系如图 9所示。c i _ c.飞 一 一 厂-B;(C)一 a 协 B i n 9图9 并式(分支)对偶矢量计算(3)并联合成 加法(满足矢量合成条件)假设B il lE i l;C i/E i2;F.I I B.+C o;则有 E i 1 E i2 E a(E i 1 F o+E i2 F.)=B iB。十 B i C.机械工程学报第4 2 卷第 1 2 期、.少、.声
37、声、.产扮U7R内亏内j内j了.、了、产.、此时，求解方程为 Fo BE,I+C E;2(C T)T=C(3 0)(C+B)T=C T+B T对应组合关系图 1 0 对偶矢量转换关系如图 1 1(“)T=B T C T所示。(4)分配律A(B+0=A B+A C(3 9)数乘分配律权 B+0二k B+k C0，.几侈径图1 0 并式合并 (k+O C=k C+l C k,1 E R交换律、.产、.少勺孟U了.、了.、B i .F.结合律践 艺 丈,L B-_ F o B o+C o、一二-广一 一 一 一 A _ 三_ 弓 /“答 !-二二长_一c;阵 B+L.C:-p./广。(A+B)+C-
38、A+(B+C)(A B)C-A(B C)图1 1并 式(合并)对 偶矢量 计算 组合关系分析中的串接和并接单元均可扩充为多个，仍然符合上面的分析。5.2 运算规则 运算规则包括如下。(1)加法 对应矩阵非零元素位非零特征值的逻辑加 1 e0=1，0 田 1=1，1 田 1=1，0 e0=0且有数乘结合律 (k l)C=k(lc)k,l E R (4 4)上面逻辑符号运算顺序为符号优先于由。功能空间中的元素映射到特征状态空间，与输入输出运动功能特征矢量对应的对偶点间是通过对偶积决定的，体现为基本机构单元及其不同组合方式构成的混联系统。6 混联系统设计实例、.声、.声声、.尹112，J，j，J，J
39、了.、矛气了.、年 丑=刀+C O+C=C+O=C C l m n+B m n C j+B ii in n(2)乘法矩阵乘法中元素遵循逻辑与运算规则1 O0=0,0 1=0,1 O 1=1，00=0 0艺C 1k B k 1艺C 1k B kr且有 (3 4)经上述分析，混联系统的运动方案设计问题可映射到特征状态空间中，按照对偶矢量间的性质和计算规则实现。依提出的数学模型及特征状态空间理论求解方法，在此以 一个设计实例给出设计过程，简要说明设计的步骤。设计实例:以大连某服装机械厂的计算机辅助画样机送布机构的设计为例，要求在给定针脚长度的前提下，缝纫针在固定的针孔中心上下运动，布料随送布运动输出
40、能实现缝纫针孔一定范围内的平面运动。系统要求有原动件，选择为两步进电动机，因此送布机构其前置的输入情况为两个转动，即多自由度系统，输出送布轴要求能够准确到达送布范围内各点由此满足不同的图案画样要求。可见系统为单输出，并满足输入输出构件运动在同一平面内。6.1 抽象特征状态矢量 系统设计需求分析:由设计需求的功能分析可知，该机构有两个输入类型为转动 R，且输入速度具有线性特征;输出运动类型为平面运动 尸，且输出速度具有非线性变化特征。设系统坐标系x 轴方向 为输入的R向，输出的平面运动尸的 广义运动方向 为x 向(R X+T y+T Z)。其 输 入、输出 运 动 功 能 特 征 矢量:r i
41、l=R ix 0 0 0 0 0 T;r;2=R;ix 0 0 0 0 0 T 及r.=R.0 0 0 T o y T T o 凡 吼 口冲白L r C pk B kl厂一.月 -C p x g B q x r:艺C i,B ki 一般 C B#B C，它们的意义不一样，如果 C B有意义，反过来的B C 不一定有意义，但有C I=I C=C o (3)逆与转置 (广义)特征状态变换矩阵的转置矩阵，对应基本机构单元与组合单元的输入与输出运动特征矢量间的逆变换过程，有 C 一飞C T (3 5)对于多输入多输出单元中的局部运动可逆变换情况，其特征状态变换方程中的部分矩阵变为原矩阵的转置矩阵。转置
42、矩阵的运算规则2 0 0 6 年 1 2月张利萍等:混联机械系统方案设计特征状态空间理论与方法6.2 提取输入输出运动变换特征M.M e I V,F,R;D ,r;1 到r o 的 速度分量特征均为v k，运动不可逆 n r，运动由单向到往复为 D 3 5;r;2到r o 的 运动功能特征转化同上。6.3 建立运动变换数学模型 形 成 方 案 设 计 系 统 特征 状 态 方 程为r 6 Alr,l+一一一 一一 一 一 一一 一一 一 一一 广r 一 一一 一一 一 一 一一 一一 一 一A Z r i2，特征状态变换矩阵A 和A Z上述特征矢量间对应的特征函数值，非零位元素为月一口nUCU
43、UnUnUn曰n0nUOreseeeeweseeses一1es卫L -门leseseseseseseewelseesesee吸onUnlln目卜”000凡Tozv k n r D 3 5 0 0 0v k n r D 3 5v k n r D 3 s 图1 4 混联组合形式6.5 系统特征状态方程类型方向 分解 依指定的组合方式确定的广义特征状态方程的不同分解规则，进行系统特征状态方程分解计算;并依据分解条件，判断是否具有可分解计算的可能性，如能够分解的进一步计算;最终得到系统中基本机构的特征状态方程。结 合系统的 特征状态方程，以 组合方式(图1 3)为 例 说 明，方 程中 A 二 D l
44、;A 2=护K，依 据 公 式(2 8)一(3 0)，需 要 分 解A 2，方 程中 不 同 矩 阵 的 非 零 元 素A Z 6艺 代 凡，p=1,2,-,6。有p=1nUn“nU11000八Uv k n r D 3 5 0 0 0v k n r D 3 5v k n r D 3 50 0 0 00 0 0 00 0 0 0lesweseseeseseswe.eeeeeseses0000一11n八U00000non日000000U八UU000UO，InUnno0rseeseseseseseseseeesesesesL一!lleseeweJOO00OC夕0 0 0 00 0 0 0nUn000
45、0nUnU0 0 0 00 0 0 0，1000，1，.1rseseeseseseseswejseseeseseeL0 0 0 06.4 选择系统组成形式 选择系统组成形式的方法如下所述。(1)检索基本机构单元及其特征状态方程，由于要求设计多输入系统，查找多自由度基本机构单元数据库，得到满足系统特征状态方程的机构单元。基本机构单元形式如图1 2 所示。F,一 L.兰全 J图 1 2 基本机构单元形式 (2)如系统采用基本组合方式，现指定如图1 3所示的两机构单元K与D组合而成系统内部的传动形式，其广义特征状态方程为。一 一I ri,ri,一 D D K)一匕少 二 进 图1 3 基本组合单元形
46、式 (3)如系统采用较复杂机构组合方式如图1 4 所示，即进行基本组合单元的再组合。其广义特征状态方程为 。一 A A 2 1 I rii)一 D K D H F I I r I J L r c2 J J L r 2 J6.6 检索分解后方程对应的 基本机构 由 上步结果，检索基本机构单元数据库，确定是否存在满足方程的类型方向特征的可行机构单元D,K,L,F,H集合。6.7 校验组合特征函数值，确定可行解 选择基本机构来实现的系统的特征函数校验是进行特征函数值的直接匹配;机构组合系统的特征函数值要按组合的串、并关系计算，最终结果再与系统的特征函数对比。以D为R P R P R五杆机构，K为齿轮
47、机构为例，D 中 非零的 特征值与A 的 特征 值直接匹 配;D 2 与K的非零位特征函数值间计算关系为算子“”，有(v k n r D 3 5).(c k r D 2)=(v.c，k.k,n r.r,D 3 5(D D 2)=v k n r D 3 5，对比 系统确定的A 2 特征函 数，两者一 致。由此，该机构组合为满足系统需求的可行解。6.8 列出方案集 在知识库中检索到的所有满足系统的基本机构，及特定的组合方式中的机构单元，即得所有机械运动变换的设计方案(集)。现设计实例中基本机构单元选型部分可行解集如表 1，基本组合单元解集如表2，复杂组合方案集如表3。基于篇幅，在此方案解未能全部列
48、出。机械工程学报第4 2 卷第 1 2 期表1 基本机构选型方案序号机构名称结构简图A 1 D:R R R P R五杆机构D:R P R P R五杆机构D:2 D O F凸轮机构6.，优选最终方案 为了保证运动传递的平稳性和精确性，考虑合理分配传动比、经济性、外廓尺寸及重量等其他因素，最终生 产实际采用方案集 A,B,C 中 C 组，系统组合方式对应图1 4，其中L为齿轮齿条机构，D为R R P R P五杆机构，F和H为不完全齿轮机构，系统设计机构简图如图巧所示。L.!L-表2 图1 3 型机构组合选型方案序号机构名称结构简图图1 5 计算机辅助画样机送布机构选型方案 K:齿轮机构B1 D:R
49、 P R P R五杆机构7 结论B 2 K:四杆机构 D:P R P R R五杆机构 K:齿轮机构B3 D:2-D O F凸轮机构表 3序号机构名称图1 4 型机构组合选型方案 结构简图 (1)抽象设计空间的数学物理模型。建立混联机械系统的特征状态方程。针对基本机构及其组合方式的功能变化特征分别建立起特征状态方程和广义特征状态方程。状态特征矢量及状态变换矩阵可以 准确描述机械运动变换单元及机械系统的类型、方向和运动变换信息，为方案设计的知识表达提供了一种新方法。(2)建立特征状态空间。将设计空间的 数理模型映射到特征状态空间，分析特征状态空间元素性质，在对偶空间中讨论对偶矢量的运算规则和度量关
50、系，为方案设计研究奠定了理论基础。(3)运动创新方案的 设计空间寻解。应用特征状态空间元素性质分析，及其特征状态空间中的寻解内涵和规则，映射为设计空间的方案求解方式和方法，为方案设计的数学求解开辟了新思路。参考文献 1 U ME D A Y,I S H I I M,Y O S H I O K A M,e t a l.S u p p o r t i n g c o n c e p t u a l d e s i g n b a s e d o n t h e f u n c t i o n一 b e h a v i o r 一 s t a t e m o d e l e r J .A r t i