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1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 1理科数学第卷一选择题：共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合A x x22x3 0,B x 2 x 2，则AB A2,1B1,2C1,1D1,2解析：A x x22x3 0 xx3x1 0 x x 1或x 3，又B x 2 x 2，AB 2,1，故选 A1+i221-i3A1iB1iC1iD1i1+i1+i 1+i2i1+i 1i解析：，故选 D222i1-i1-i3设函数fx,gx的定义域都为 R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则下列结论中正确的是Afxgx是偶函数Bf
2、xgx是奇函数Cfxgx是奇函数Dfxgx是奇函数解析：fx是奇函数，gx是偶函数，则fxgx是奇函数，排除 A32fx是奇函数，fx是偶函数，gx是偶函数，则fxgx是偶函数，排除 Bfx是奇函数，gx是偶函数，则fxgx是奇函数，C 正确则fxgx是偶函数，排除 D，fx是奇函数，gx是偶函数，fxgx是奇函数，故选 C4已知F为双曲线C:x my 3mm 0的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距22离为A3B3C3mD3m解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b，故距离3，选 A54 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A1357
3、BCD8888解析：周六没有同学的方法数为1，周日没有同学的方法数为1，所以P PO OMMA A2427，周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P 248故选 D6如图，圆O的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线 OA，终边为射线OP，过点P 作直线 OA 的垂线，垂足为M，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数fx，则y fx在0,的图像大致为解析：由已知OP 1,PM sinx,OM cosx，又以fx sin x cosx 11fx OP OM MP，所221sin2x，故选 C27执行右面的程序框图，若输入的a,b,k分别为 1，2，3，则输出的
4、M A2071615BCD325833,a 2,b；2283815815,a,b；当n 3时，M,a,b；当n 4时，M 32383815此时运算终止，M，故选 D8解析：当n 2时，M 8设0,A31sin,0,tan且,则2cos2B322C22D22解析:由tan1sinsin1sinsincos coscossin得coscoscos,由已知0,0,222 即sincos,所以sin sin所 以22,0 2,y sin x在,上 单 调 递 增,所 以22 22,22,故选 C9.不等式组x y 1,的解集记为 D,有下面四个命题x2y 4p1:x,yD,x2y 2,p2:x,yD,
5、x2y 2,p3:x,yD,x2y 3,p4:x,yD,x2y 1,其中的真命题是Ap2,p3Bp1,p2Cp1,p4Dp1,p3解析:令x2y mx ynx2ymnxm2ny,所以4m mn 13,所以x2y 4x y 1x2y 0,因而可以判断p,p,解得1233m2n 21n 3为真,故选 B10.已知抛物线C:y 8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若FP 4FQ,则QF A275B3CD222解 析:由 已 知xP 2,xF 2,又FP 4FQ,则4 4xQ2,xQ1,过 Q 作 QD 垂直于 l，垂足为 D，所以QF QD 3，故选 B11已知函数f
6、x ax33x21，若fx存在唯一的零点x0，且x0 0，则a的取值范围是A2,B1,C,2D,1解析：当a 0时，fx 3x21有两个零点，不满足条件当a 0时，f x 3ax 6x 3axx222 f x 0 3ax x，令 0，aa时，解得x 0或x 2a，当a 0fx ax33x21在2 2,和 0,递增，,0递减，aa4 2f=21为极小值，f0=1为极大值，aa4 2=1 0,即为a 2，当a 02aa若fx存在唯一的零点x0，且x0 0，只需f时，fx ax 3x 1在,0和32 22,递增，0,递减，f0=1为极大值，aa4 2f=21为极小值，不可能有满足条件的极值，故选Ca
7、a12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.6 2B.6C.4 2D.4解析：几何体为如图所示的一个三棱锥P ABC，底面ABC为等腰三角形，AB BC,A C 4,顶点B到AC的距离为4，面P PB BA APAC 面ABC，且三角形PAC为以A为直角的等腰直角三角形，所以棱PB最长，长度为6，故选B第卷第卷C C本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共四小题，每小题二填空题：本大题共四小题，每小题5
8、5分。分。13.(x y)(x y)的展开式中x y的系数为.(用数字填写答案)解析：(x y)(x y)x(x y)y(x y)，故展开式中x y的系数为1C8C82 828 208278882214.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.解析：乙没去过 C 城市，甲没去过 B 城市，但去过的城市比乙多，所以甲去过A，C，三人都去过同一个城市，一定是A，所以填 A1(AB AC)，则AB与AC的夹角为.21A A解析：AO(AB AC)，如图所示，O
9、 为BC中点，即2BC为圆 O 的直径，所以AB与AC的夹角为215.已知 A，B，C 是圆 O 上的三点，若AO 16.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，B BC C且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为.解析：O O(2b)(sin Asin B)(cb)sin C (2 b)(a b)(cb)c 2a b2 c2bc，因b2c2a21 A为a=2，所以2ab c bc b c a bc cos A 2bc232222213bc，而ABC面积S bcsin A 24b2c2a2 bc b2c2bc a2 b2c2bc 4 b
10、c 413S bcsin A bc 324三三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分 12 分)已知数列an的前n项和为Sn，a1=1，an 0，anan1Sn1，其中为常数.()证明：an2an；（）是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.解析:()证明：当n 2时，anan1Sn1,，-得an1anSn11 anan1an1anSnSn1 anan1an1an,an 0an1an1,，即an2an（）存在，证明如下：假设存在，使得an为等差数列，则有2a2 a1+a3，而a1=1，a21,a31，所以21 2
11、4，此时an为首项是 1，公差为 4 的等差数列18.(本小题满分12 分)从某企业的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：()求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,)，其中近似为样本平均数x，近似为样本方差s.(i)利用该正态分布，求P(187.8 Z 212.2)；（ii）某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X表示这 100 件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求E
12、X.2222附：15012.2.若ZN(,)，则P(Z)=0.6826，P(2 Z 2)=0.9544.解析:()x 0.021700.091800.221900.332000.242100.082200.02230 2002s2 0.021702000.091802000.2219020022222220.332002000.242102000.082202000.022302001502（）(i)由()知,=s2=150,所以150 12.2,P(187.8 Z 212.2)P(20012.2 Z 20012.2)0.6826（ii）100 件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.
13、2）的产品件数X服从二项分布B100,0.6826,所以EX 1000.6826 68.2619.(本小题满分 12 分)如图三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB B1C.()证明：AC AB1；o（）若AC AB1，CBB1 60，AB=BC，求二面角A A1B1C1的余弦值.解析:()证明：侧面BB1C1C为菱形,令A AA A1 1BC1B1C OBC1 B1C又AB B1C,C CO OB BABBC1 BB1C 面ABC1C C1 1B B1 1AO 面ABC1AO B1C,又 O 为B1C中点,所以三角形ACB1为等腰三角形,所以AC AB1（）AC AB1，
14、CBB1 60o，AB=BC，令AC 1BC 2 BCAB 2,1又由已知可求z zA AA A1 1AO 26,BO,AO2 BO2 AB2AO BO,22BO O AO 面BB1C1CC CO OB B1 1AO B1C,B1CC C1 1y y如图所示建立空间直角坐标系O xyzx xB B333,A0,0,B 1,0,0,B0,0,C 0,013333333AB10,3,3,A1B1 AB 1,0,3,B1C1 BC 1,3,0设n x,y,z为平面AA1B1的一个法向量,则nn33yz 0,AB1 0,33即,所以可取n 1,3,3A1B1 03xz 03m B1C1 0,同理可取m
15、 1,3,3设m a,b,c为平面A1B1C1的一个法向量,则m A1B1 0则cos n,m n mn m11,所以二面角A A1B1C1的余弦值为773x2y220.(本小题满分 12 分)已知点A（0，-2），椭圆E：221(a b 0)的离心率为，2abF是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为()求E的方程；2 3，O为坐标原点.3（）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.c3,x2aa 22解析:()由已知得解得椭圆E的方程：y214c 322 33c（）当直线l垂直于 x 轴时，OPQ不存在x2 y21联立消去 y 有：4k21x216kx12 0令直
16、线l的方程为y kx2与4 16k44k2112 64k248 0k2234令Px1,y1,Qx2,y216kx x,1224k 1x x 12124k212PQ x x1k212 16k2484x1x21k224k 14k 124 1k24k23整理得PQ，令点 O 到直线 l 的距离为 d,则d 4k212k 1214 4k232所以OPQ的面积SkPQ d，令4k 3 tt 0224k 14 4k234t47Sk1 当且仅当t 2,即k 时取到2244k 1t 4t 2t此时直线 l 的方程为y 77x2或y x222xbex121.(本小题满分 12 分)设函数f(x)ae ln x，
17、曲线y f(x)在点（1，f(1)）处x的切线为y e(x1)2.()求a,b；（）证明：f(x)1.x11bex11bx1x1 eae lnx解析：()f(x)aeln x22xxxxx因为曲线y f(x)在点（1，f(1)）处的切线为y e(x1)2，所以 f(1)2a 1,代入有f(1)eb 22ex1（）证明：由()知f(x)e ln x，欲证f(x)1，只需证xx2ex1212xe ln x1，即证ln xx，即证xln xxxexeeex2x1 x,hxx,gx1ln x,hxx,eee11 xgx1ln x 0,解得x,hxx 0,解得x 1ee111当0 x,gx 0,x,gx
18、 0,gxmineee10 x 1,hx 0,x 1,hx 0,gxmaxe2x所以xln xx成立，所以f(x)1ee令gx xln x请考生从第（请考生从第（2222）、（2323）、（2424）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用 2B2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框方框涂黑。涂黑。22.（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，四边形 ABCD 是O 的内接四边形，AB 的延长线与 DC 的
19、延长线交于点 E，且 CB=CE.()证明：D=E；（）设 AD 不是O 的直径，AD 的中点为 M，且 MB=MC，证明：ADE 为等边三角形.解析：.()证明：四边形 ABCD 是O 的内接四边形，D DD CBE,CB CEE CBEE D（）证明：取BC中点N，连接MN，由 MB=MC 得MMO OA AC CN NB BE EMN BCO在直线MNMN上，由 AD 的中点为 M 得MN ADAD，AD/BCCBE ACBE E DA E DADE 为等边三角形.23.（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程x 2tx2y21，直线l：已知曲线C：（t为参数）.49y 22t()写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；（）过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小o值.解析：()曲线C的参数方程为x 2cos，直线l的普通方程为2x y 6 0；y 3sin（）令点P坐标为2cos,3sin,点 P 到直线 l 的距离为 dd 4cos3sin655 5sin64tan53|PA|d 2d,所以sin3022 52 5;|PA|min2dmin 2dmin55|PA|max2dmax 2dmax