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1、华北电力大学（北京）硕士学位论文分形理论在旋转机械故障诊断中的应用研究姓名：康静秋申请学位级别：硕士专业：控制理论与控制工程指导教师：柳亦兵20060501华北电力人学硕十学位论文摘要本文将关联维数应用于机械故障诊断领域，通过深入研究分形理论的算法，对关联维数的计算及其在实际应用中存在的问题进行了探讨。进一步尝试通过对算法中主要参数的自动计算和判定，提出了关联维数整体计算过程自动实现的方法，弥补了传统方法的不足。文中首先研究了噪声对关联维数计算的影响，在常规奇异值分解的基础上提出采用相空间迭代奇异值分解法对原始数据进行降噪处理；然后基于数据相关性的剔除、嵌入维数、延迟时间的选择对传统的G&P
2、算法作了一定的改进；最后通过提出线性标度区自动判别法(逐点寻最宽平坦区算法)，实现关联维数整体自动计算。文中采用5类典型信号：即周期的正弦信号、一维L o 舀s t i c 映射和二维H e n o n 映射、三维的L o r e n z吸引予以及随机信号验证了改进的关联维数算法的准确性，并对送粉风机、齿轮、滚动轴承、汽轮机，压缩机五种不同的旋转机械故障信号进行分析，分析结果表明：各类旋转机械不同状态下对应的关联维数有明显的不同，而且其变化过程与设备的故障发展过程一一对应，有利于深入分析故障的发展。验证了关联维数自动算法作为一种有效的诊断方法可提高故障诊断的准确性。关键词：分形；关联维数：旋转
3、机械；故障诊断A B S。I R C rI nt h i sp a p e raa u t o m a t i cm e t h o df o rt h ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o ne s t i m a t i o nw a si n t r o d u c e d，w h i c hc a ni m p r o v et h ep r e c i s i o na n ds p e e do ft h ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o nc a l c u l a t i o nc o m p a
4、r e dw i t ht r a d i t i o n a lG r a s s b e r g e ra n dP r o c a c c i aa l g o r i t h m F i r s t l y,t h ei n f l u e n c eo fn o i s eo nt h ec o m p u t a t i o no fc o r r e l a t i o nd i m e n s i o nw a sd i s c u s s e d，a n dt h ei t e r a t i v es i n g u l a rv a l u ed e c o m p o
5、s i t i o n(I S V D)m e t h o dw a si n t r o d u c e d S e c o n d l y,t h ec a l c u l a t i o no ft h em i n i m a ls u f f i c i e n te m b e d d i n gd i m e n s i o na n ds e l e c t i o no fl a gt i m ec a nb ea u t o m a t i c a l l yc a r r i e do u tb yu s i n gt h ef a l s en e a r e s tn
6、 e i g h b o r sa n da c r o s sd i s p l a c e m e n tr e s p e c t i v e l y T h i r d l y,i no r d e rt od i s t i n g u i s ht h es c a l i n gr e g i o no ft h eh i-l o g a r i t h m i cp l o to ft h ec o r r e l a t i o ni n t e g r a l0 0 9。l o gp l o t)，am e t h o d sb ym e a n so fs e a r c
7、 h i n gf o rt h ew i d e s ti n t e r v a l si nt h ed e r i v a t i v eo ft h el o g l o gp l o tw a sp r o p o s e d T h ee f f e c t i v e n e s so ft h e i n t r o d u c e dm e t h o dw a st e s t e db ym e a n so ft h ec a l c u l a t i o no fw e l l k n o wm o d e l sa sL o g i s t i ca t t r
8、 a c t o ra n dH e n o na t t r a c t o r A sat y p i c a le x a m p l e，t h i sa u t o m a t i cm c t h o dw a sa p p l i e dt or e a lv i b r a t i o ns i g n a l so fd i f f e r e n tr o t a t i n gm a c h i n e s A n a l y s i sr e s u l td e m o n s t r a t e st h ea p p l i c a b i l i t yo ft
9、 h i sm e t h o di nd i s t i n g u i s h i n gt h em a c h i n e sc o n d i t i o n sw i t hn o r m a ls t a t u sa n dd e f a u l ts t a t u s K a n gJ i n g q i u(C o n t r o lT h e o r ya n dC o n t r o lE n g i n e e r i n 曲D i r e c t e db yp r o f L i uY i b i n gK E YW O R D S：f r a c t a l，
10、c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n，r o t a t i n gm a c h i n e s，f a u l td i a g n o s i sI华北电力人学硕十学位论文摘要本文将关联维数应用于机械故障诊断领域，通过深入研究分形理论的算法，对关联维数的计算及其在实际应用中存在的问题进行了探讨。进一步尝试通过对算法中主要参数的自动计算和判定，提出了关联维数整体计算过程自动实现的方法，弥补了传统方法的不足。文中首先研究了噪声对关联维数计算的影响，在常规奇异值分解的基础上提出采用相空间迭代奇异值分解法对原始数据进行降噪处理；然后基于数据相关性的剔除、嵌
11、入维数、延迟时间的选择对传统的G&P 算法作了一定的改进；最后通过提出线性标度区自动判别法(逐点寻最宽平坦区算法)，实现关联维数整体自动计算。文中采用5类典型信号：即周期的正弦信号、一维L o g i s t i c 映射和二维H e n o n 映射、三维的L o r e n z吸引子以及随机信号验证了改进的关联维数算法的准确性，并对送粉风机、齿轮、滚动轴承、汽轮机，压缩机五种不同的旋转机械故障信号进行分析，分析结果表明：各类旋转机械不同状态下对应的关联维数有明显的不同，而且其变化过程与设备的故障发展过程一一对应，有利于深入分析故障的发展。验证了关联维数自动算法作为一种有效的诊断方法可提高故
12、障诊断的准确性。关键词：分形；关联维数：旋转机械；故障诊断A B S。r R A C rI nt h i sp a p e raa u t o m a t i cm e t h o df o rt h ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o ne s t i m a t i o nw a si n t r o d u c e d，w h i c hc a ni m p r o v et h ep r e c i s i o na n ds p e e do ft h ec o r r e l a t i o nd i m e n s i o nc a l c
13、 u l a t i o nc o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a lG r a s s b e r g e ra n dP r o c a c c i aa l g o r i t h m F i r s t l y,t h ei n f l u e n c eo fn o i s eo nt h ec o m p u t a t i o no fc o r r e l a t i o nd i m e n s i o nw a sd i s c u s s e d，a n dt h ei t e r a t i v es i n g u l a
14、rv a l u ed e c o m p o s i t i o n(I S V D)m e t h o dw a si n t r o d u c e d S e c o n d l y,t h ec a l c u l a t i o no ft h em i n i m a ls u f f i c i e n te m b e d d i n gd i m e n s i o na n ds e l e c t i o no fl a gt i m eC a Nb ea u t o m a t i c a l l yc a r r i e do u tb yu s i n gt h
15、ef a l s en e a r e s tn e i g h b o r sa n da c r o s sd i s p l a c e m e n tr e s p e c t i v e l y T h i r d l y,i no r d e rt od i s t i n g u i s ht h es c a l i n gr e g i o no ft h eb i-l o g a r i t h m i cp l o to ft h ec o r r e l a t i o ni n t e g r a l(1 0 9。l o gp l o t)，am e t h o d
16、sb ym e a n so fs e a r c h i n gf o rt h ew i d e s ti n t e r v a l si nt h ed e r i v a t i v eo ft h el o g l o gp l o tw a sp r o p o s e d T h ee f f e c t i v e n e s so ft h ei n t r o d u c e dm e t h o dw a st e s t e db ym e a n so ft h ec a l c u l a t i o no fw e l l k n o wm o d e l sa
17、 sL o g i s t i ca t t r a c t o ra n dH e n o na t t r a c t o r A sat y p i c a le x a m p l e，t h i sa u t o m a t i cm e t h o dw a sa p p l i e dt or e a lv i b r a t i o ns i g n a l so fd i f f e r e n tr o t a t i n gm a c h i n e s A n a l y s i sr e s u l td e m o n s t r a t e st h ea p p
18、 l i c a b i l i t yo ft h i sm e t h o di nd i s t i n g u i s h i n gt h em a c h i n e sc o n d i t i o n sw i t hn o r m a ls t a t u sa n dd e f a u l ts t a t u s K a n gJ i n g n i u(C o n t r o lT h e o r ya n dC o n t r o lE n g i n e e r i n g)D i r e c t e db yp r o f L i uY i b i n gK E
19、YW O R D S：f r a c t a l，c o r r e l a t i o nd i m e n s i o n，r o t a t i n gm a c h i n e s，f a u l td i a g n o s i sI华北电力大学碗士学带论文y8 6 7 7 6 1声明本人郑重声明；此处所提交的硕士学位论文铺i g 蜊*鼹胡鞘p 用确，是本A 在华忿电力大学攻读硕士学位期闻，在导筛指导下遴幸亍醵研究工作和敷褥的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表裁撰写过蠡冬疆究残暴，也不憩食为获褥华戈毫力夫学或其毽教嘉朝|J 憨豹学袋或涯
20、书嚣使用过的材料。与我同工作的同志对津研究所做的任何贯献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。学位论文作者镌名：扇哿钦日期：。6“r r关于学位论文使用授权的说明本A 完全了解华托电力大学有关傈留、佼用学位论文的规定，帮：学校有权僚管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印绒其它复制手段复制共镶存学挺论文；学校可允许学位论文被查阅或氆耀；学校霹以学拳交漉为目的，复制赠送和交换学位论文：同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或黜分内容。(涉鬻的学位论文在解密后遵守此规定)作者签名：掺日期：坐f f导9 审签名：乏睦步日期：型r r华北电力 学硬 学像
21、论文，淘麟提出第一章引言旋转楗蠛设鲁数测诊瞵在我国蓬勃发展，拦成为匿瞪经济发燧鞠鞋会主义建设的追切需要。随着科学研究和工聪应用需求的不断掇商，所涉及到的蕊测诊断问题日趋复杂和困难。解决问题的关键之是如何对监测诊断中获得的机械动态信号的非平稳性非线性进行有效缝分斩。概械箍渊诊颟面褊大量匏j#平稳动惫信号，这是因为执械设备运行中故障的发生或发展导致动态响应信号具有非平稳性。机械设备在运行过程中的多发敞隆，如剥嚣、露攘、松动、怒行、孛螯、裂纹、叛裂、嗡摄、旋转失速、油膜涡动及渣膜振荡等，都将导教动态信号非平稳性的出现。而且设备运行中的驱动力、阻尼力、弹性力的非线性以及系统本身的结构反映在动态信号上也
22、具有非线性。即使稳态运行的旋转辊械，当出现疆簿、冲击等故漳时，蒸转子酌阻尼、剐度、弹程力等会发生变纯，攫现出非线性，使振动信号变得非平稳。上述情况表明，从工程中获得的动态信号，它们豹平稳蛙楚稠对浆、羁帮兹，嚣 平稳牲j 线烂是绝对夔、广泛瓣。设备故障诊断技术主要用于保障正常生产，防止突发事故，节约维修费用等。设备故障诊断避程包括偿号测量，故障特糕提取，建立标准特征库及比较识别四个步骤。其中故障特征信息的摄取对截障诊断是非常重要的环节，特征提取盼充分和蔼确与否，直接影响到诊断结论的准确性。旋转机械设备在运行过程中的振动信号是反映系统整体及箕变纯援镣赫主要信号，提款振动信号中有效静指耘 睾为簸障特
23、征筐是最为豢瑶酶方法之-I”。传统的傣号特援提取是以信号的乎稳性为虢提，通道几十年酶发展，传统的频落分析方法对平稳故障信号的分析及诊断融经相当成熟。但照，在对非平稳非线性信号分析中，傅立叶变换的积分作用平滑了非平稳过程的瞬变成分，变换的频谱的 壬意频率慎是幽时阚过瓣在整个时间历程上的贡献凌定熬，逡程在莱一对塞g 豹状念氇是受频谱在整个频域上的贡献所决定的。因此仅能从时域或频域给出统计平均结果，不能同时兼顾信号在时域帮频域的局瓣豫帮全貔。露实躲王程霉凳的大型旋转掘槭(例翅汽轮襁，承轮搬等)在运行过程中，由于轴瓦间隙、刚度非线性、摩擦力、外载荷等因素的影响和转子l f l t l 承t 定子系统的
24、相互作用，其故障会呈现出定程度的非线性特性，肌面使其一维时网振动信号具有突交性和菲平稳性，寝现在传统的基于靛速傅重卧变换的凝谱分车厅中，会在频谱h 出现一系列的整数倍或分数部的基 ；嘣谱峰及许多杂乱的谱峰，有时甚至题连续豹谱分奄，这遣魏重了扶窝城或凝城癌提取霄效诊断特茬信息戆困难。弱梵，韭辩摹纯采用此类方法很难对此类敞障信号得出正确的诊断结论。华北电力大学硕卜学位论文实践证明在许多场合下，类似的基于平稳信号处理的机械设备监测诊断方法已不能很好地满足工程应用的要求，研究开发处理非平稳非线性信号的工程实用方法是促进机械设备监测诊断不断发展的客观需要。机械设各是复杂的非线性系统，对特定的设备几乎不可
25、能准确地建立系统振动的非线性微分方程(状态方程)，尤其是当系统出现故障时建模更为困难，因此，状态监测与故障诊断的非线性方法具有其特殊性，分析系统的动态特性，找出系统的非线性特征，达到对设备进行诊断、监测的目的是非常重要的。非线性动力学是目前十分活跃的研究领域，主要研究非线性动态系统各类运动状态的定性和定量变化规律，尤其是系统长时间演化行为中的复杂性，将其理论应用到设备的非线性行为特征提取中，对故障诊断有十分重要的意义。分形、混沌是非线性动力学的主要研究内容之，它的发展对识别和预测复杂的非线性振动行为提供了新的方法论。把分形理论应用于机械故障诊断领域，是近年来国际学术界的新动向。分形理论用柬刻画
26、对象的不规则性和自相似性，在处理复杂非线性系统中具有独特优点。实际工程系统中，机械在非平稳和突变工况下的振动信号，大都具有明显的分形特征且属于复杂自然分形1 6 l。运用分形理论，提取有用的诊断信息，不仅可以定性，而且可以定量地分析系统的运动状态，从而实现对复杂机械系统的故障诊断，提高对故障的识别和诊断能力口。1 2 分形理论研究现状分形理论是从几何学角度研究不规则几何形状的工具，同时又是定量研究自然界中复杂动力学行为的有力手段，即分形和混沌有着密切的联系。混沌与分形都是复杂现象，但是两者侧重不同。混沌主要讨论非线性动力学系统的不稳定的发散过程但系统状态在相空问中总是趋于一定的吸引子，这与分形
27、的形成过程十分相像。混沌是研究过程的行为特征，分形则是注重吸引子本身的研究。分形和棍沌的一致性体现在混沌吸引子就是分形集，分形集就是那些不稳定轨迹的初始点的集合。在时间序列分析中，评价一个过程本质是分形的或者是混沌的，其本质是一致的B“。分形理论在故障诊断的应用中，主要是应用了关联维数、广义分形维数、多重分形维数、盒维数。其中关联维数对系统吸引子的不均匀反映敏感，能够很好的反映吸引子的动态结构，而且，计算关联维数的G&Pr i o 算法较别的方法可靠，所以关联维数在分形理论应用研究中得到了最广泛的应用。时间序列的关联维数的提取，使得混沌吸引子有可能从混沌时问序列中恢复出来，并在一个合适的相空间
28、将其展开，而在这个空间内，最有可能J E 确地寻找出吸引子的规律。提取关联维数的目的在于：不管一维时f i l lJ 芋Y,J 所包含相空问的维数是多少，通过时问序列来测算它最后收缩到那个子空问的维数。这样可以获得要描述这样一个复杂系统至少需要几个实质性状态变量。在大型旋转机械系统华北电力大学硕十学位论文中，不同的故障通常都源自不同的动力学机理，频谱分析的结果有时难以获取这方面的信息。由于关联维数能够定量地给出描述动力系统所需的独立变量的数目，这样便可通过关联维数来诊断故障。近年来，各类机构对分形维数，特别是关联维数的应用，进行了大量的深入研究与尝试。如：文献【2】研究了关联维数用于滚动轴承的
29、故障诊断，在分析实验数据时发现，滚动轴承在正常状态、内圈故障、外圈故障和滚珠故障的情况下，具有不同的关联维数。文献【3 1 进步提出在多分辨率原则下，利用小波变换对信号进行时频域分解，然后计算分解后的信号的分形维数。他们将该方法应用于滚动轴承早期故障识别中，实验表明分形维数对滚动轴承的早期故障特征反映明显。文献【4】将多重分形理论引入内燃机的故障诊断，研究了6 1 3 5 柴油机缸盖的振动，指出缸盖振动信号的多重分形维数谱当气门在不同的状态时是不同的，可以作为判断气门状态的依据；文献【5】研究了小波分析和分形几何在转子动静碰摩故障诊断中的应用。文献 6 T 0：F 究了振动波形的分形判别及特征
30、提取，并比较了分形特征提取方法与F F T 频谱分析方法的优劣。文献【7】提出利用广义维数来描述信号特征，并以振动信号广义维数、广义维数谱图、敏感维数为特征向量的模式空问样本库为基础，给出了通过维数相关系数等判别条件进行识别的机械故障多重分形广义维数诊断方法。综合以上的有关研究表明：分形方法既不依赖于系统的数学模型，又可对系统状态信息整体提取，其输出结果简单直观，因此可以很好地解决特征提取上的瓶颈问题。分形维数可以作为定量诊断机械故障的重要依据，使识别不同的故障变得相对容易直接，有利于提高设备故障诊断的准确率I2 4 1【2 8】。但是基于分形的故障诊断在相关的实际应用中仍存在许多难点。比如；
31、对于关联维数的计算，目前国际通用的是采用G&P 算法。在采用上述算法具体计算时，由于关联维数对嵌入空间相关参数较为敏感，其主要参数包括：嵌入维数，延迟时间，线性标度区的选择是一个困扰己久难题，同时也是导致关联维数计算不准和不好评价的问题的关键。嵌入维数过小，重构的相空间无法反映原系统的动力学特性：嵌入维数过大，在增加计算量的同时，多余的相空间维数将放大原时间序列中噪声的效应。而时延参数选择过大，在受限于时间序列长度的同时，由于非线性系统的不稳定性，两相邻坐标毫不相关，无法传递系统的动力学信息。特别是在线性标度区的选择上，由于算法中没有确定的准则，仪靠单纯观察信号的关联维数双对数曲线无法判定其关
32、联维数是否存在。例如白噪声信号的关联维数就不存在收敛的标度区，有些研究者没有在分析线性标度区是否存在的基础上再选择有效的区域，而是直接根据人为的观察指定个区域，这样就无法保证研究结论的可靠性。另外，大多数分形理论的研究和算法实现均采用M A T L A B 完成，在实际应用中，很难作为一套故障诊断系统的子模块进行嵌入和扩展。1 3 本文主要工作和内容综上所述，基于关联维数的旋转机械故障特征信息提取已经成为故障诊断新的研究动态之一。本文通过进一步研究分形理论中的算法，针对关联维数的计算及在实际应用中存在的上述问题进行探讨，寻找恰当构造相空间的维数和相应特征参数的计算方法和途径，尝试通过对计算中主
33、要参数的自动计算和判定，给出了关联维数整体计算过程的自动实现的方法，从而给出量化的表达，弥补传统方法的不足。1 3 1 本文的主要工作本文在分形理论G&P 传统算法的基础上做了一些创新。本文的主要研究内容和工作如下：1 本文针对关联维数的计算及在实际应用中存在的问题进行了以下几个方面的改进：1 1 引用F N N 法【l9】(伪近邻法)自动计算出最佳嵌入维数，避免嵌入维数逐次尝试过程。引用交叉位移法1 8 I 自动选择时延参数，较其它方法更能反映信号的非线性关联。2)提出迭代奇异值分解算法(I S V D)对信号进行降噪，相对线性滤波法更能反映信号的非线性特性。3 1 改进关联积分函数计算公式
34、，剔除掉相空间中的数据邻近点对结果造成的影响。4)实现相空间超球半径r 的自动获取，在保证准确性的前提下，降低计算冗余。5 1 标度区不再由主观观察判定，提出利用M P Z 方法自动搜寻，并且自动拟合出斜率即为关联维数D。，从而增加整个结果的准确性。2 在程序开发方面，本文主要应用D e p h i 作为开发软件1 2 9】，可运用较为灵活的数学模型实现关联维数的计算，并可方便的作为旋转机械故障诊断系统的子模块进行嵌入和扩展，更容易应用到实际的系统中。3 在具体工程应用中，将以上的改进算法应用于送粉风机、齿轮、滚动轴承、汽轮机以及压缩机等五种不同类型的旋转机械的故障诊断分析中。通过对不同性质旋
35、转机械设备的故障诊断，研究关联维数作为设备不同状态的量化指标的可行性，关联维数的变化与设备故障发展趋势之间的联系以及关联维数在实际设备故障诊断中存在的局限性等相关问题。1 3 2 本文的主要内容论文共分成七章，第一章在机械设备故障诊断中传统时域频域分析方法剥非线性和I#平稳信号处理的不足的背景下，介绍了分形和混沌的基本概念及其在机械故障诊断领华j B 电力大学砸l。学位论文域中的研究现状，阐述了课题的研究目的和意义，并给出了论文的主要研究内容。第二章贪绍了分形、分形维数、动力系统暖引子鳆基本概念，讨论了分形维数的基本算法。第三章从相空间重构理论入手，深入讨论目前关联维数算法的不髭，并结合实际应
36、用中存在的问题提出关联维数改进算法。第四章介绍了常规奇异值分解的理论，并在此基础上提出相空润迭 弋奇异僵努瓣去噪的方法。粟用乐弦信号叠魏不同程度静自噤声信号的仿真实验对上述方法的有效性进行验证。第五章首先对不同类型仿真信号，包括周期的聂弦售号、一维L o g i s t i c 映射$n 二维H e n o n 跌翳、三维戆L o r e n z 吸 l 了以及隧糗信号，通过对上述信号的关联维数自动计算，验证了改进的关联维数算法的准确性；第六章通过对送粉风机、齿轮、滚动轴承、汽轮机，压缩帆五种不同的旋转机械故障信号进行分析，论述了关联维数作为故障特征提取的有效憔，将关联维数 笮为系统状态的量纯
37、指标使诊断结果简单，可靠，直观。第七章对全文进行总结，对关联维数应用中需要进一步瓣决款阚熬进行了分橱，著黠来亲的礤窕提出震颦。华I b 电力夫学硕+学侥论文2 努形戆基本搬念第二章分形与混沌理论概述分形尼挺学(f r a c t a Ig e o m e t r y)是一门较新的学科，是1 9 7 5 年法睡数学寨曼德尔耀罗特(B e n o i tB M a n d e l b r o t)摄式提出的，用来刻画对象的不规则性和自相似性。它与传统的几何学不同，可以更加深刻地描述自然界中那些初者起来杂乱无章的自然形态，例如嶷然界中游由、橱、云、海岸线郝哥戬看减麓分形，辩图2 1 新示。翻2-1
38、挪威海岸线分彤黼及其关联维数分形攀实上目前还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。从数学的观点嚣，分形蓬豪赫道夫维数严格大予拓莽维数酶集合，它其毒 幸缩黯餮程或膨嚣对称往豹风秘对象。或者悦，如果一个形体的组成部分以某种方式与熬体相似就称为分形。其中心内容是摆不攥剿霓舞钵在动力学演谯过程中，在一定数标发尺度范围内，捆应豹溅度不隧尺度的改变而改变。1 9 8 6 年M a n d e l b r o t 又给出了自相似分形的定义：分形是对没商特征长度但具有一定意义下的自相戳强形和结构豹总称。一般两蔷，蒋分形著戒其裔如下性联的集合F：1)F 熙有精细结构，即在任意小的比例尺度内包含整体。2)F
39、楚不援剡懿，戬至予不能嗣臻统的几舞语言来箍述。3)r 通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的。4)F 褒某种方式下定义麴“分维数”通常大于F 的拓扑维数。这一定义体现了大多数奇异集台的特征，茏其反欧丁自然界中报广泛类物质的基本属性：罔部与局部、局部与照体在形态、功能、信息、时问与空间等方两具有统计意义匏翔鞠 螽性。6华北电力大学硕士学位论文分形现蒙具有两个主要特性：1)无标度性在具有分形性质的物体上任选一局部区域，由于其自身具有白相似性，对它进行放大后，得到的放大图形会显示出原图的形态特征，即它的形态、内在的复杂程度和不规则等各种特性，与原图相比均不会发生变化，这种特性称为无标度
40、性，又称为伸缩对称性。对这类无标度性事物的研究启发M a n d e l b r o t 教授创立分形几何，其中的一个问题是确立海岸线的长度(见图2 1)。任何海岸线在一定意义上都是无限长的，因为答案依赖于所采用的度量尺度。对测量对象愈贴近，尺度愈精细，发现的细节也愈多，相继每一层次都包含许许多多更细小的细节。因此对于具有无标度性并且具有精细结构的事物，传统的长度、体积等不再是很好的定量特征。这类事物用分形描述更为合适和准确。2)自相似性自然界中有很多类似海岸线和湍流的几何形体，其共同特征为极不规则和极不光滑。考察类似海岸线的几何形体时，在不同的层次上，也就是在愈来愈小的范围内，发现了同等程度
41、的不规则性和复杂性。因此，这类几何形体的局部性态与整体形态类似，即在不同的放大级别上，几何形体的形态是相似的。几何形体的这种性质称为自相似性。2 2 混沌吸引子和相轨迹混沌是一个新的数学分支，但对混沌概念的精确性描述没有一个统一的界定。最简明的混沌的定义为：混沌是由于确定性系统对初始条件的敏感性而产生的不可预测性，可以理解为貌似随机的确定性。也就是在动力学系统中，如果任意两个很接近的初始点成指数扩散，那么它们将来的状态是不可预测的，因此系统是混沌的。混沌理论主要研究系统中的非线性问题，混沌与分形具有密切的关系。混沌运动的轨道或奇异吸引子都是分形。混沌运动的高度无序和混乱性反映在分形的复杂性上，
42、而分形维数即为研究混沌现象的一个定量参数。混沌主要讨论非线性动力学系统的不稳定发散过程，但系统状态在相空问总是收敛于一定的吸引子“。动力学系统中的吸引子是一个十分重要的概念，当某一时刻系统状态确定后，其后的状态将按动力学方程转移，靠近某一稳定状态，这样的状态便是吸引子。吸引子有许多种，包括点吸引子，周期吸引子，奇异吸引子(混沌是其典型例子)。不严格地讲，一个吸引子就是个集合，使得附近所有的轨道都收敛到这个集合上。我们把经过足够长时间后系统在相空间中所趋向的有限区域成为吸引子。在动力学系统理论中，精确的定义是根据作者的不同而变化的。通常的吸引子有不动点、极限环、极限环面等。吸引子分为平儿吸引子和
43、奇异吸引子，奇异吸引子往往弓混沌运动相联系。它具有如下主要特点：华北电力人学硕f。学位论文1)奇异吸引子的运动，对于初始条件十分敏感。2)奇异吸引子作为相空间的集合，往往具有非整数的维数。3)即使原来的微分方程连续的依赖于参数，奇异吸引子的结构也完全不是连续的随参数变化，而往往是在参数变化的连续过程中，其整体结构会突然发生转变。4)奇异吸引子空间结构十分复杂，且具有无穷嵌套的自相似结构。系统在某一时刻的状态成为相，用质点的位置及速度来刻画，系统所有状态的集合称为相空间。相空间就是描述系统瞬时状态所需的变量，自由度数就是支撑系统相空间所需的最小维数。相空间为非现实的相空间，它可以是有限的H 维，
44、也可以是无穷维，相空间的每一个坐标代表了系统的任意一个状态参量。系统的状态随时间在相空间中运动，形成一条有形空间曲线，称为相轨迹。相空问和相轨迹对研究实际的机械设备系统是非常重要的，从中可以定性的确定系统的状态【“-1 3 1。2 3 分形维数及其测量方法分形维数(f r a c t a ld i m e n s i o n)是用来定量刻画混沌吸引子“奇异”程度的一个重要的参数，被广泛地应用于刻画非线性系统行为的数字特征，是分形理论的核心之一。分形维数同传统整数维数是处在两个不同层次的集合，考察一个分形体系，依照传统的经验看待就会出现奇异性，复杂性，但用分形维数的得到的结果就是肯定的。各种不同
45、的分形维数是集合划分不同层次的层次标号，它们从不同的角度对集合进行层次的划分。同时维数是几何学和空间理论的基本概念。分形维数即度量了系统填充空间的能力，它从测度论和对称理论方面刻画了系统的无序性，是描述复杂对象的最基本特征。目前有许多维数的定义和计算方法，主要包括豪斯多夫维数、盒维数、信息维数、关联维数等等。2 3 1 豪斯多夫维数豪斯道夫维数(H a u s d o r f f)是描述点集规则和不规则的几何尺度，同时其整数部分反映出图形的空间状态，对于动力学系统，豪斯道夫维数大体上表示了独立变量的数目。对于任何一个有确定维数的几何体，若用与它相同维数去度量，则可得到一个确定的数值；若用低于它
46、维数的去量它，结果为无穷大；若用高于它维数的“尺”去量它，结果为零。定义：假设集合A 为n 维空问的子集，J v 俐约是覆盖A 所需要的半径为e 的最小的 维超立方体个数，如果F 式存在：华北电力人学硕 j 学位论文D n：l i m 丝塑丝型(2 1)t _ oI n l l e l则D H 称为爿的豪斯道夫维数。以上的豪斯道夫维数值是单纯的几何测度，应用动力学系统的吸引子时，仅涉及是否通过小赢方体而没有考虑轨迹通过小立方体的次数。豪斯道夫维数的定义，在数学上是很严密的，但要广泛用于自然科学，有时也有不适之处。例如，任何定义都把包覆球的半径的极限考虑为零，这在实际测定中是不能达到的。所以有必
47、要将维数定义改成更实用些的。2 3 2 信息维数系统在空问的位置只能在一定的精度内确定。记点集口落在边长为r 的第k 个超立方体的概率为E f s)，S h a n n o n 将刻化系统状态精度至s 量级所需的信息量定义为熵I=一鼍只l)1 n l E l)【2 2)在此基础上，定义信息维数为：d i M Q)=l?i q mh l j(1 e j)五2 3 显然，当D 以等概率落入各个超立方体最f 姐，N(e，时，故，f)=l n N(eJ，从而d b n，r 口J=d i m B f 口J。一般情况下，d i m，r 口)s d i m B f 臼，。2 3 3 盒维数盒维数的定义，提示
48、了一种测量分形的方法。取边长为e 的小盒子，把分形覆盖起来。由于分形内部有各种层次的空洞和缝隙，有些小盒子会是空的。计算多少盒子不是空的，把这个数目记为纠。然后缩小盒子的尺寸e，所数得的f 纠自然要增大。根据前面的定义，只要在双对数坐标纸上画出l n N(e)对l n e 的曲线，其直线部分的斜率就是此分形对象的盒子维数。假定要考虑的图形是d 维欧几里得空问R d 中的有界集合。用半径为e 的d 维球包覆其集合时，假定M 是球的个数的最小值。盒维数D c 可用下式来定义：D。；胁塑丛型t。0Z o g(|、(2 4)此定义与豪斯道夫维数很相似。在豪斯道夫维数中，虽然把球的大小作为t t e 还
49、d 的任意球，但如果把它限定在1 的特珠情况下则为容量维数。D。虽常与D。相一致，但有时电取不同的值，一般的关系是：D。zD。华北电力大学硬十学像论文这种看超来很简便的“数愈子”方法，有着理论和实践两方面的局限性。对J：实际诗簿，只有分缝小于二维或在二维附近，两榴空瓣维数也不离时，它才是可行的。维数增商后，计算量迅速上升，就根难得到收敛的结果。从理论上看，个小盒子不管是包含了分形的一个点或是一批点，都算是 空的，可在f 矽中占有一席之地，遂就完全不熊爱映分形内部的不均匀往。2。3，4 关联维数关联维数作为最綦本的统计量之一，r，当，篮在定蓬围蠹秘有：t 魄C lr)=r B：定义关袋维鼗为：D
50、 z=从这一函数类型也可求得分形维数。取任意数(2 5)(2 6)关联维数能提供关于系统动态的有用信息，一般D z l 时，系统呈周期运动：趣=2 对系统跫具有两个不可遁约频率的拟髑期运动；当珥不是整数藏者太予2 对，系统表现出对初始条件敏感的混沌耀动。综上爨选，霹娃褥基缝论；豪藉多夫维数楚分形凡瓣骥论鳇基垂妻，毽是豢簸多夫缎数只适合分形几何的理论推导，它对实际应用中提出的分形维数的计算问题无能为力。鑫维数及其变形较易予进行程序化计算，其中关联维数D 2 作为奇器吸引子缎数的概率测瘫，较之信息维数伪和容擞维数丑b，对动力学系统吸引子的不均匀性反豌敏感，能够很好反映吸引子的动态结构，提供系统维数