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1、三峡大学硕士学位论文灰色预测方法在电力系统负荷预测中的应用与研究姓名：郑文琛申请学位级别：硕士专业：电力系统及其自动化指导教师：吉培荣20080401 III 内 容 摘 要 电力负荷预测是电力系统规划和运行研究的重要内容，属于战略预测，是保证电力系统可靠供电和经济运行的前提。在一定规划期内负荷与用电量的大小决定了电力系统的发展规模和发展速度，是电力系统规划建设的依据。负荷预测是将整个规划地区的电量或负荷作为预测对象，它的结果决定了未来对电力的需求量和未来电网的供电容量。负荷预测的结果对供电电源点的确定和发电规划具有重要的指导意义。负荷预测的准确程度将直接影响到投资、网络布局和运行的合理性。负
2、荷预测的核心是预测的技术方法，或者说是预测的数学模型。随着现代科学技术的快速发展，负荷预测技术的研究也在不断深化，各种各样的预测方法不断涌现，它们都有各自的特点和适用范围。灰色预测方法是一种较新的，并且得到广泛应用的电力系统中长期负荷预测方法，其中应用最广的是灰色 GM(1,1)模型（传统灰色预测模型）。人们对传统灰色预测模型特性进行分析，发现该模型实际上是一有偏差的指数模型。在传统灰色预测模型基础上，人们提出了一种改进的灰色预测模型无偏灰色预测模型（无偏 GM(1,1)模型），它实际上是一无偏差的指数模型。本文深入研究了传统灰色预测模型和无偏灰色预测模型的特性，针对灰色建模的局限性提出了改进
3、方法，用数值实验研究的方法证明了改进模型优于原始模型，提高了预测精度，并通过实际应用也显示改进模型的优越性，扩展了灰色模型的适应范围。关键词：负荷预测关键词：负荷预测 传统灰色预测模型传统灰色预测模型 无偏灰色预测模型无偏灰色预测模型 发展系数发展系数 IV Abstract Power load forecasting is an important research content of power system planning and running,belongs to stratagem forecasting,and is a premise for reliable suppl
4、ying and economic running.In a planning period,the load and power demand decide the development scale and development speed of power system,and also is the basis of power system planning and construction.Load forecasting makes the electric power or load of the whole planning region as forecasting ob
5、ject.Its result decide the demand for electric power and the supplying capacity of distribution in the future.The results of load forecasting have important guidance significance for ascertaining the location of power supply and generating planning.Exact degree of load forecasting shall directly aff
6、ect rationality of investment,network layout and running.The core of load forecasting is the technique of forecasting,or the mathematical model of forecasting.With the development of modern science technology,the research on the techniques of load forecasting has been deepened,so a lot of methods fo
7、r load forecasting have emerged and they all have their own characteristics and application fields.Grey-forecasting method,especially GM(1,1)model(conventional Grey-forecasting model)is comparatively new and widely used and it is mainly used to mid-term and long-term power load forecasting.By analyz
8、ing the characteristics of conventional Grey-forecasting model,people find it is in fact a biased exponential model.An unbiased Grey-forecasting model(unbiased GM(1,1)model)has been proposed based on conventional Grey-forecasting model,which is an unbiased exponential model.In this paper,through the
9、 research into the characteristics of conventional Grey-forecasting model and unbiased Grey-forecasting model,the shortages of grey mechanism are found and an improved measure is put forward.It is demonstrated that the property of the improved model is superior to the original model by numerical exp
10、eriment.Moreover the improved Grey-forecasting model is applied in the power load forecasting and the results are satisfied which expand the application scope of the Grey-forecasting model.Key words:load forecasting conventional Grey-forecasting model unbiased Grey-forecasting model development coef
11、ficient II 三峡大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明，本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。学位论文作者签名：日 期：1 引 言 电力负荷预测是电力系统规划的重要内容，是实现电力系统安全、经济运行的基础。中长期电力负荷预测是指五到十年左右并以年为单位的预测，其方法主要有比例系数增长法、弹性系数法、回归分析法、指数平滑法、优选组合预测法、专家系统法、神经网络法、小波分析
12、法和灰色预测法，它们都有各自的特点和适用范围。灰色预测方法是一种较新的并得到广泛应用的电力系统中长期负荷预测方法，灰色预测模型有很多种，其中应用最广的是灰色 GM(1,1)模型（传统灰色预测模型）。但是，传统灰色预测模型本身存在一些缺陷，使得它的应用受到了一定的限制。人们对传统灰色预测模型特性进行分析，发现该模型实际上是一有偏差的指数模型。在传统灰色预测模型基础上，人们提出了一种改进的灰色预测模型无偏灰色预测模型，它实际上是一无偏差的指数模型，但其也存在模型固有的缺陷。针对灰色预测模型的改进方法，人们已经提出了很多方法，并取得了一定的成果，本文研究了灰色预测方法，提出了一种新的改进方法，并建立
13、其模型，与原始模型进行比较，模型精度得到提高，扩展其应用的范围；同时运用该方法改进无偏灰色预测模型，也取得了相应的效果。2 1 绪论 1.1 课题研究的背景 进入二十一世纪，我国经济改革不断深入，国家重构电力工业的步伐也随之加快，打破行业垄断、引入公平竞争和改善经济效益并最终实现社会资源的合理分配和社会效益最大化的改革将导致电力工业特别是发电企业的市场化，并促进电力市场的形成。目前，我国电力工业己经实施了“厂网分开，竞价上网”的改革举措。通过联合、兼并、产权重组，由多电厂组成的独立发电公司已经成立。厂网分开后，发电企业成为独立的法人实体，竞价上网，自负盈亏，发电公司可以通过采用策略性的竞价来追
14、求利益的最大化，这就给广大发电企业的生产、经营和管理带来了新的挑战和机遇。电力工业在任何国家都处于经济发展的首位，电力系统的作用是对各类用户尽可能经济地提供可靠和合格的电能，以随时满足各类用户的要求。负荷的大小，无论是对电力系统的规划设计还是运行研究而言，都是极为重要的因素。所以，对负荷的变化，有一个事先的估计，是电力系统发展与运行研究的重要内容。电力负荷预测理论就是因此而发展起来的，在现代电力系统工程学科中它己经成为占有重要地位的研究领域，是电力系统自动化领域中的一项重要内容。随着电力市场运营的建立，负荷预测在电力系统中的作用及地位有所改变。负荷预测系统成为电力市场技术支持系统的重要组成部分
15、，为期货交易管理系统和调度决策支持系统提供数据，电力市场运营同时也赋予了各类负荷预测新的作用。在电力市场体制下，电力系统负荷预测的特点、功能和方法与传统负荷预测相比将有很大不同。电力市场中的负荷预测不仅要预测系统负荷，还要预测系统辅助服务。所以负荷预测已成为电力市场运行和推行电力市场的必要基础。1.2 电力负荷预测的基本概念 1.2.1 电力负荷预测的含义 电力负荷有两个方面的含义1：一方面是指电力工业的服务对象，包括使用电力的部门、机关、企事业单位、工厂、农村、车间、学校的各种各样的用电设备；另一方面是指上述各用电单位、用电部门或用电设备使用电力和电量的具体数量。电力负荷预测的概念，是指国民
16、经济整体、各部门和各地区对电力和电量消费的历史情况对未来的变化发展趋势作处出预测分析。电力负荷预测就是在正确的理论指导下，在调查研究掌握大量翔实资料的基础上，运用可靠的方法和手段对电力负荷的发展趋势作出科学合理的推断。1.2.2 电力负荷预测的意义 电力系统负荷预测是指在充分考虑一些重要的系统运行特性、增容决策与自然条件和社会影响的情况下，研究和利用一种系统地处理过去与未来负荷的方法，在满足 3 一定精度的要求下，决定未来某特定时刻或某些特定时刻的负荷值。电力负荷预测是 电网规划的重要组成部分，也是电网规划的基础。负荷预测的结果，为地区电力发展速度、电力建设规模、电力工业布局、能源资源平衡以及
17、地区电网间的电力余缺调剂提供了可靠的依据。负荷预测的准确性直接影响到电力系统投资及运行的合理性，直接关系到电网的安全经济可靠运行。提高负荷预测水平，有利于计划用电管理;有利于合理安排电网运行方式和机组检修计划;有利于节煤、节油和降低发电成本;有利于制定合理的电源建设规划:有利于提高电力系统的经济效益和社会效益。因此负荷预测已经成为实现电力系统管理现代化的重要内容之一1。选择适当的方法以提高负荷预测的准确度，也是电网规划的一个重要研究方向2。负荷预测是保证电力系统可靠供电、经济运行的前提。因为电能是一种没有仓库的特殊商品，它的生产、输送、分配和使用几个环节都在同一个时刻完成，而且现代的电力系统十
18、分庞大要使电能达到“产”、“销”的动态平衡，必须对用电量进行预测，按用户的需求来编制发电机组的开停计划，只有这样才能保证可靠地供电，也只有这样才能达到电力系统的经济运行。负荷预测是电力系统规划建设的依据。电力工业是国民经济的重要部门之一。随着现代工业和农业的不断发展及人民生活水平的日益提高，社会对电力的需求量越来越大。为了满足日益增大的电力需求，必须不断扩大电力系统的规模。由于电力工业的发展不仅需要消耗巨大的投资和一次能源，对国民经济的其他部门也会产生巨大的影响，合理地进行电力系统规划不仅可以获得巨大的经济效益，也可以获得巨大的社会效益。相反，电力系统规划的失误会给国家建设带来不可弥补的损失。
19、因此，对电力系统规划问题进行研究，以求最大限度地提高规划质量，具有重大的现实意义，而实现这个目标的第一步就是要做好负荷预测。负荷预测的准确程度将直接影响到投资、网络布局和运行的合理性，因此，负荷预测在规划中显得尤其重要。若负荷及电量预测不足，电网的发展便不能适应实际发展的需要，无法满足用户正常供电要求，甚至还可能缺电。另一方面，若负荷及电量预测过高，则又会导致安装一些过多而不能充分利用的设备。在电力市场条件下，任何拉闸、限电等违反合同的行为都要付出经济赔偿。负荷预测的精度直接关系到各方利益，因此预测的准确性要求更高。中长期负荷预测是目前深受关注的研究课题，它在系统规划、新发电厂和发配电系统的建
20、立上有着重要的地位。由于建立一个发电厂或变电站需要很长的时间及大量的费用，因此对于一个电力公司来说，进行有效的中长期负荷预测是十分必要的。它对电力系统(如机组最优组合、经济调度、最优潮流计算)优化调度而言，是非常有用的基础工具。此外，中长期负荷预测对电力系统的安全性也有着不可低估的作用，这 4 中间包括对电网故障的分析处理，以及对负荷的管理等。目前，我国的电网建设不能适应社会经济发展的需要。2004 年夏季全国大范围的持续高温天气使得供用电矛盾更加突出，导致全国各地不断出现拉闸限电的情况，严重影响了人们的工作生活和社会经济的持续发展。其原因是电网建设的发展缓慢，设备陈旧、供电量不足、电网结构不
21、合理，远远不能适应社会经济的快速增长。为了缓解这一矛盾，国家投入了大量资金进行城市和农村电网的建设和改造，其目的就是要构建一个安全可靠、适应性强、结构合理、能满足城乡经济、社会发展和生活用电需要的电网结构。而合理准确的负荷预测则是实现这一目标的首要工作。电力负荷预测工作的水平已成为衡量一个电力企业的管理是否走向现代化的显著标志之一，尤其在我国电力事业快速发展的今天，用电管理走向市场，电力负荷预测问题的解决己经成为我们面临的重要而艰巨的任务。因此，对负荷预测算法及模型的研究具有重要的意义和价值。1.3 电力负荷预测的发展现状 负荷预测方法发展至今，已经积累了不少经验。但是，由于电力系统的负荷要受
22、到很多因素的影响：如负荷构成，负荷随时间变化规律，气象变化的影响及负荷随机波动。按照系统负荷构成，不同的负荷有着不同的变化规律，而且一个地区负荷往往含有几种类型的负荷，比例不同。各类用电负荷的时间变化规律是不同的，由它们构成的系统负荷具有不同的变化规律。气象对负荷有明显的影响，气温、阴晴、降水和大风都会引起负荷的变化3，但每个电网负荷对各种气象因素的敏感程度是不相同的，这是研究负荷预测的重要内容。负荷的随机波动是指某些未知的不确定因素引起的负荷变化，对每一电网随机波动负荷大小是不相同的。基于影响负荷预测的众多不同的因素，各种气象因素的敏感程度是不同的。由于影响负荷预测的众多不同因素，迄今还没有
23、一种通用方法。过去几十年来，国内外学者对电力系统负荷预测进行了较充分的研究，各种预测方法和模型被引入到负荷预测中。这些方法和模型大体上可以归结为两类：负荷预测传统算法的研究和负荷预测现代算法的研究。负荷预测传统算法的研究重点放在负荷序列本身的规律上，主要包括：时间序列法、自回归模型、累积式自回归动平均模型4等。文献5提出了一种负荷预测方法，它用时间序列、线性回归、平均值模型等几种不同的经典数学模型加权组合预测，取长补短，预测的精度得到了提高。但由于电力负荷具有非线性、时变性和不确定性的特点，所以要通过清晰的数学方程来表达输入（历史年负荷值、负荷影响因素值）与输出（待预测年负荷值）之间的非线性关
24、系存在着一定的困难。即使构造出了数学模型，也存在着如模型的定阶、求解、识别困难、模型适应性不强、建模所需的数据量 5 大、运算速度慢以及预测精度不高等缺点。于是，一些专家和学者开始致力于负荷预测现代算法的研究。研究重点放在了用新的技术替代传统的方法，主要包括：专家系统、灰色理论、模糊逻辑和神经网络理论等一些技术建立的方法，这些方法优于传统方法的地方在于它们能够拟合出负荷的复杂的非线性关系。这些方法既不需要事先知道过程模型的结构和参数的有关经验知识，也不必通过复杂的系统辨识来建立过程的数学模型，非常适合于存在非线性、多变量、时变、不确定性的电力负荷预测。其中专家系统方法是使用专家知识建立预测规则
25、的一种方法67。专家系统主要是将在某方面专家在实际工作中对事物获得的感性认识进行提取，建立知识库，并在系统的实际运行过程中对知识库不断进行更新和维护，以跟随事物的变化轨迹，达到模拟专家的目的。它的优点在于很好地处理了气象及特殊事件等干扰因素，该方法的预测精度基本上达到了令人满意的效果，但把专家知识转换为一系列的数学规则在目前情况下是较难实现的。所谓模糊预测方法，如同人工神经网络，基于模糊聚类识别算法，通过对相关历史数据进行加工处理，提炼出负荷变化的若干种典型模式，进而由影响负荷变化的相关因素的未来状态去判定未来负荷变化属于哪种模式，从而做到负荷预测的目的。其仅仅是模拟专家的推理和判断方式，并不
26、需要建立精确的数学模型。由于电力系统中许多现象是不精确的、模糊的，而模糊理论中的“隶属函数”可比较明确的描述专家的意图。应用到电力系统中较为适宜。人工神经网络具有很强的学习和映射能力89，可方便地拟合出任意复杂的非线性关系，很适合于电力系统的负荷预测问题，这一领域的国内外研究都相当活跃，并已提出了不少模型和算法。人工神经网络技术的主要优点在于它不需要任何负荷模型，但其缺点是训练过程比较消耗时间，并且它并不能保证一定收敛，这在一定程度上影响了人工神经网络负荷预测方法对特殊的负荷变化的预测精度。但这种方法仍然具有其不可比拟的优点：具有很好的函数逼近能力；较好的解决了天气和温度等因素与负荷的对应关系
27、；通过学习，能够反映输入/输出之间复杂的非线性关系等。灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论，具有要求样本数据少，原理简单，运算方便，可检验等优点。因此灰色预测理论受到了电力系统研究人员的重视，并且已经在电力负荷预测中得到了成功的应用。但其微分方程指数解只适合于具有指数增长趋势的负荷指标，在其它增长趋势下预测的精度变差，而且简单的灰色预测在数据离散程度较大的情况时，精度下降的很快。许多文献对灰色预测做出了改进，但是对于具体的负荷预测问题，目前并不存在通用的改进模型，因此要提高精度就要针对具体问题进行进一步的研究。6 1.4 本文所做的工作 论文共分六章,第一章是绪论部
28、分。介绍了电力负荷预测的含义、电力负荷预测的意义及发展现状。简单地阐述了应用于预测的传统与现代方法。第二章介绍电力负荷预测分析的理论基础。主要介绍了电力负荷预测的特点、电力负荷预测的分类、几种常见预测方法。第三章介绍灰色预测模型。主要介绍灰色系统理论的形成、灰色预测分类、灰色预测模型、GM(1,1)模型群、灰色预测模型的精度检验。第四章在 GM(1,1)模型的特性分析的基础上,提出了改进 GM(1,1)模型方法,并用数值实验的方法,进行新旧模型精度的比较;以上述相同的改进方法,针对无偏 GM(1,1)模型建模,运用数值实验的方法。第五章将改进 GM(1,1)模型与改进无偏 GM(1,1)模型运
29、用于实际电力负荷预测中。第六章全文结语。7 2 电力负荷预测分析 2.1 电力负荷预测的特点 电力系统的任务是为各类用户尽可能经济地提供可靠的符合标准的电能，要求其能满足各种负荷需要，所以负荷的大小和特性对电力系统设计和运行都极为重要。因此，电力系统，特别是供电部门总是希望得到科学而精确的负荷预测来指导其指定计划和决策。然而，精确的负荷预测并不是容易做到的。由于负荷预测是根据电力负荷的过去推测的未来数值，所以负荷预测工作所研究的对象是不确定事件。只有不确定事件、随机事件才需要人们采用适当的预测技术，推知负荷的发展趋势和可能达到的状况。这就使负荷预测具有以下特点：1）可知性原理：也就是说预测对象
30、的发展规律，其对未来的发展趋势和状况是可以为人们所知道的，客观世界是可以被认识的，人们不但可以认识它的过去和现在，而且可以通过直接它的过去和现在来推测未来，这是人们进行预测活动的基本依据。2）不准确性：电力负荷的发展是不肯定的，它要受到多种多样复杂因素的影响，而且各种影响因素也是发展变化的。人们对于这些发展变化不可能完全事先估计到，这就决定了预测结果的不准确性或不完全准确性。3）条件性：各种负荷预测都是在一定条件下作出的。4）时间性：各种负荷预测都有一定的时间范围，因为负荷预测属于科学预测的范畴，因此，要求有比较确切的数量概念，往往需要确切地指明预测的时间。5）多方案性：由于预测的不准确性和条
31、件性，有时要对负荷在各种情况下可能的发展状况进行预测，就会得到各种条件下不同的负荷预测方案。6）连续性原理：是指预测对象的发展是一个连续统一的过程，其未来发展是这个过程的连续。电力系统的发展存在惯性，这种惯性正是我们进行负荷预测的主要依据。7）相似性原理：客观世界中有一些事物发展之间存在相似之处，人们可以利用这种相似进行预测。例如：当我们预测一个新的经济开发区的用电量的时候没有历史数据可用，这时可以参考一个早已建成、规模和条件具有可比性的其他经济开发区，以其发展时期相对应的用电量作为预测新区的参考。8）反馈性原理：利用输出返回输入端，再调节输出结果。预测的反馈性原理实际上是为了提高预测的正确性
32、而进行的反馈调节；当预测结果和经过一段实践得到的实际值存在差距的时候，可以利用这个差距，对远期预测值进行反馈调节以提高预测的正确性。9）系统性原理：认为预测对象是一个完整的系统，它本身有内在的系统，它与外部的联系又形成它的外在系统，这些系统综合成一个完整的总系统，都要进行考虑。8 即预测对象的未来发展是系统整体的动态发展，而且整个系统的动态发展和它的各个组成部分和影响因素之间的相互作用和相互影响密切相关。系统性原理强调整体最佳才是高质量的预测。2.2 电力负荷预测的分类 根据不同的预测目的，电力负荷预测主要有以下四种：第一种是长期负荷预测。电力系统长期负荷预测是指对 10 年以上(可长达 30
33、 年)的电力负荷的发展变化所做的预测，主要是用于制定电力系统远景规划，研究确定电 源布局和规划网络，使之满足远期负荷预测水平的需要。第二种是中期负荷预测。中期负荷预测通常是对 5 年左右的电力负荷的发展变化 情况所做的预测。主要是就着重将电网的结构及设施有步骤的过渡到规划网络，用制 定电力系统的扩建、增容和改建规划，安排电力系统长期运行方式等。第三种是短期负荷预测。短期负荷预测是指对 1 年以内的电力负荷变化情况的预 测，通常预测未来 1 个月度、未来 1 周、未来 1 天的负荷指标。主要是解决电网存在 的主要问题，逐步满足负荷的需要，提高供电质量和电网的可靠性，用于电力生产检 修计划，安排电
34、力系统短期运行方式等。第四种是超短期负荷预测指对未来 1 小时、未来 0.5 小时甚至未来 10 分钟的电力负荷变化情况的预测。主要用于对电网进行计算机的在线监控，实现发电容量的合理调度，满足运行要求，使发电成本最小等。2.3 几种常见预测方法简介 2.3.1 比例系数增长法 比例系数增长法假定今后的电力负荷与过去有相同的增长比例，用历史数据求出比例系数，按比例预测未来发展，设第m年的用电量为mA kW h，第n年的用电量为nA kW h，则从第n年到第m)(mn 的用电量为 nlnlKAA+=)1(2.2)这与以mA为起点的预测结果mlmlKAA+=)1(相同。2.3.2 弹性系数法 2.3
35、.2.1弹性系数 设x为自变量，y是x的可微函数，则有 9 xdydxdxydyxydxdyyxlnln=(2.3)称为y对x的弹性系数，导数dxdy是瞬时变化率或边际变化，xy是平均变化率，因此弹性系数yx是变量y的瞬时变化率与平均变化率之比。如果x表示商品的价格，y表示商品需求量，则称yxyx=*为该商品的需求价格弹性系数。当1*yx时，商品需求富有弹性，价格x的微小变化会引起y的较大变化，x增加时y会猛降，因此经销商应当降价促销；当1*yx时，商品需求缺乏弹性，价格x的微量调整不至于引起需求量y的大幅度变化，经营者应当把握时机，实施小步骤提价，以便在维持销售量基本不变的前提下提价获益。电
36、力作为商品，理应遵循这一客观规律。在式(2.3)中，让x代表国展生产总值，y表示用电量，电力弹性系数就是用电量的相对变化率与国民生产总值的相对变化率之比，当然也可以考虑用电量与其他经济指标的弹性系数。在一般情况下，电力弹性系数应大于1。2.3.2.2直接弹性系数预测法 由以往的用电量和国民生产总值可分别求出它们的平均增长率，记为yK和xK，从而求得电力弹性系数xyKKE=。如果用某种方法预测未来m年的弹性系数为E，国民生产总值的增长率为xK，可得电力需求增长率为 xyKEK=(2.4)这样就可用比例系数增长预测法得出第m年的用电量 mymKAA)1(0+=(2.5)式中0A基年（预测起点年）的
37、用电量。此外，弹性系数预测法的建模方法还包括：y与Kx均取对数形式的模型、Kx取对数形式的模型、y取对数形式，Kx取倒数形式的模型和线性函数形式的模型。2.3.3 回归分析方法 回归分析方法是研究变量和变量之间依存关系的一种数学方法，根据回归分析方法涉及变量的多少，可以分为单元回归分析和多元回归分析。在回归分析中，自变量是随机变量，因变量是非随机变量，由给定的多组自变量和因变量资料，研究各自变量和因变量之间的关系，形成回归方程，回归方程根据自变量和因变量之间的函数形 10 式，又可分为线性回归方程和非线性回归方程。回归方程求得后，如给定各自变量数值，即能求出因变量值。2.3.3.1一元线性回归
38、模型及其参数估计（1）一元线性回归模型 在一元线性回归中，自变量是可控制或可以精确观察的变量，用x表示，因变量是依赖于x的随机变量，用y表示，假设x与y的关系为 +=bxay (2.6)其中是随机误差，也称为随机干扰，它服从正态分布),0(2N，a，b及2都是不依赖于x的未知参数，x与y的这种关系称为一元线性回归模型。对固定的x，y),(2bxaN+，即随机变量y的数学期望为 Ebxay+=(2.7)显然Ey是x的函数，称它为y关于x的回归。在实际问题中，对自变量x和因变量y作n次实验观察，且在x不全相同的各个值上对y的观察是相互独立的，其n对观察值记为 称),(iiyx，ni,2,1?=为样
39、本。如果依据样本能估计出未知参数a，b，记估计值分别为a，b则称下式 xbay+=(2.8)为y关于x的线性回归方程。随机变量y与可控变量x之间的是否存在一无线性回归关系，通常总是先根据样本),(iiyx，ni,2,1?=在平面直角坐标系中，画出坐标为),(iiyx，ni,2,1?=的n个样本点，这些样本点构成的图形称为散点图。如果n很大，散点图中的n个样本分布在一条直线附近，直观上可初步认为Ey具有线性函数bxa+的形式。然后再经理论分析，最后确定x与y具有线性关系。（2）模型未知参数的估计 用最小二乘法估计a、b。为此，作离差平方和 21)(),(iniibxaybaQ=(2.9)选取参数
40、a、b使),(baQ达到最小，令 0)(21=iniibxayaQ (2.10)x 1x 2xnxy1y 2yny 11 0)(21=iiniixbxaybQ (2.11)将其变形为 =+niiniiybxna11)(2.12)iniiniiniiyxbxax=+1211)()(2.13)此方程组称为正规方程组。因为解方程组得到的不是a和b的真值，而是它们的估计值，所以在式(2.11)中用a 和b分别代替a和b，得 =+niiniiybxan11)(2.14)iniiniiniiyxbxax=+1211)()(2.15)式(2.12)有唯一的一组解 =niiniiininiiininiiini
41、iixxyyxxxxnyxyxnb1211212111)()()()(2.16)xbyxnbynaniinii111=(2.17)式中=niixnx11，=niiyny11 当a、b的估计值a 和b求出后，便得出y对x的线性回归方程式 xbay+=将xbya=带入上式，回归方程式可变形为 )(xxbyy+=(2.18)此式表示回归直线通过散点图的几何中心),(yx。（3）非线性回归模型 设有两个变量x和y，它们之间存在非线性关系。给定一组观测值),(iiyx，ni,2,1?=。其散点图明显的表明不能用一条直线近似地拟合。如果将此种情况按一元线性回归研究，显然是不合适的，这就需要用适当的曲线加以
42、拟合，依据散点图，通常选择双曲线、幂函数曲线、指数曲线、倒指数曲线、对数曲线，S 型曲线等六种曲线之一。当选择的曲线类型确定下来后，根据样本值),(iiyx确定曲线类型中的未知参数a和b。通过适当的变量代换把非线性回归化为线性回归来估计参数，以指数曲线为例，其标准方程式为 12 bxaey=两边取自然对数，得 bxay+=lnln 令xu=，yvln=，aAln=，则指数曲线方程变为直线方程 buAv+=利用观测值),(iiyx可计算出),(iivu，ni,2,1?=。对u和v利用式(2.13)计算出参数估计值A和b，又有Aea=，因此可得出 xbeay=2.3.4 指数平滑法 假设时间序列有
43、着某种数据模式，而观测值既体现着这种基本数据模式，又反映着随机变动。指数平滑法的目标就是采用“修匀”历史数据来区别基本数据模式和随机变动。这相当于在历史数据中消除极大值和极小值，获得该时间序列的“平滑值”，并以它作为对未来时期的预测值。2.3.4.1移动算术平均法 设当前时期为t，已知时间序列观测值为txxx,21?，假设按连续n个时期的观测值计算一个平均数，作为对下一个时期，即)1(+t时期的预测值，用1+tF表示：=+=+=tntiinttttxnxxxnF11111)(1?(2.19)当1=n，表示直接用本期观测值tx作为对下一个时期的预测值1+tF。它的优点是计算简单，缺点是要保存的数
44、据比较多，而且n的大小不容易确定，它只能用于平稳时间序列。2.3.4.2单指数平滑法 单指数平滑法实际上是从移动算术平均法演变而来的，它也只能用于平稳时间序列，它的优点是不需要保留较多的历史数据，只要有最近的一期的实际观测值和这期的预测误差，就可以对未来时期进行预测。tttFaaxF)1(1+=+(2.20)其中，a是平滑常数，10是原始数据序列的预测值。3.3.2 无偏 GM(1,1)模型的建模过程 人们对传统GM(1,1)模型特性进行分析40，发现该模型实际上是一有偏差的指数模型，在此基础上，提出了一种改进的GM(1,1)模型无偏GM(1,1)模型41，其建模原理及建模步骤如下：设原始数据
45、序列为严格的指数序列，即 )()1()0(=kaAekx nk,2,1?=(3.12)其一次累加生成序列为 aakeeAkx=11)()1(nk,2,1?=(3.13)用传统GM(1,1)建模方法建模可得 =112211122111221)1(322aNaanaaaaaaeeeAeeeAeeeAB?，=anaanAeAeAeY)1(?经过推导可得 21 +=aaanTTeAeeYBBBua121)1(2)(1 (3.14)最终拟合结果为 (1)0(Ax=(3.15)1()0(1)1()(=kaaaaeeeAekx nk,3,2?=(3.16)比较式(3.14)与式(3.11)可知，两式存在差异
46、。因此，采用传统GM(1,1)模型对指数序列建模总存在偏差。由式(3.13)可得a=ln,22aa+A=au22+,即可用传统GM(1,1)模型的参数a,u 表示原始数据序列的参数a和A。假设对指数序列所建立的模型为)0(x(k)=aeA)1(k nk,2,1?=(3.17)若令a=ln,22aa+A=au22+,则有a=a，A=A。此时式(3.15)即为式(3.11)，为一无偏差模型。由此，可提出无偏GM(1,1)模型。其建模步骤为：步骤1）步骤3）见传统GM(1,1)模型建模步骤1）步骤3）：步骤4）求无偏GM(1,1)模型参数 a=ln,22aa+A=au22+步骤5）建立原始数据序列模
47、型)0(x(1)=)1()0(x)0(x(k)=aeA)1(k nk,3,2?=3.4 GM(1,1)模型群 3.4.1 一次拟合参数模型 一次拟合参数模型即传统GM(1,1)模型。通过对原始数据进行累加生成,得到规律性较强的序列,用指数曲线去拟合得到预测值。3.4.2 两次拟合参数模型 两次拟合参数模型42，求出传统GM(1,1)模型的模型参数Tuaa=及模型的离散响应方程aueauxkxka)1()1()0()1(+=+，为提高模型精度,对参数进行二次拟 22 合估计和再预测。将离散响应方程写为 BAekxka+=+)1()1(3.18)根据第一次估计的a 值及)()1(kx对A和B进行估
48、计。()YGGGBATTT1=(3.19)其中G=111)1(0naaeee?，=)()2()1()1()1()1(nxxxY?则有 BeAkxka)1()1(+=+(3.20)再通过累减还原得到原始值的估计值。3.4.3 GM(1,1)残差模型 在GM(1,1)残差模型42中，为有效地保证传统GM(1,1)模型的精度，对灰色预测模型得到的预测值，提取残差序列后再进行灰色建模，从而对预测值进行修正。设灰色方程为 uaxdtdx=+)1()1(其解为 aueauxkxka)1()1()0()1(+=+其还原模型为 kaaeauxekx)0()0()1()(1()1(=+按模型可得到一组预测数列为
49、 )(,),2(),1()()0()0()0()0(nxxxkx?=原始数列与预测数列之差为)()0(ke)()()()0()0()0(kxkxke=则有残差数列为)(,),2(),1()()0()0()0()0(neeeke?=对)()0(ke取部分子数列有 23 )(,),2(),1()()0()0()0()0(nxxxke=?对)()0(ke建立传统GM(1,1)模型，其时间响应函数的离散形式为 kaaeaueeke=+)0()0()1()(1()1(按模型可得到一组预测数列为 )(,),2(),1()()0()0()0()0(neeeke=?以)1()0(+ke作为)1()0(+kx的
50、修正模型可得 kaaeauxekx)0()0()1()(1()1(=+kaaeaueeik)0()1()(1)(3.21)其中 =ikikik01)(nni=3.4.4 递推预测模型 该方法的特点是将传统GM(1,1)模型中参数a、u视为随时间而变的变数，根据参数a、u随时间t的变化趋势，自动对a和u进行修正，进而对原始序列进行预测。3.4.5 新息 GM(1,1)模型 新息 GM(1,1)模型42，一般的说，研究对象都是发展变化的，虽然系统的历史信息对研究系统有一定的作用，但与预测时间更接近的时期中的信息（称新息）对研究系统的特性很有价值。基于这种思想，可将新息数据充实到原始数列中建立传统G