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1、高考数学培优微专题讲义解答题篇（ 本资料分享自千人QQ群323031380 ）数学培优微专题 等差等比的证明2数学培优微专题 明确等差等比求通项5数学培优微专题 给和式求通项7数学培优微专题 裂项相消法求和10数学培优微专题 错位相减法求和14数学培优微专题 数列中多规律求和18数学培优微专题 数列的和与不等式22数学培优微专题 边角互化26数学培优微专题 知三解三角形30数学培优微专题 爪型三角形34数学培优微专题 多边多角问题38数学培优微专题 解三角形中的最值问题41数学培优微专题 平行的证明45数学培优微专题 垂直的证明48数学培优微专题 度量角度51数学培优微传题 度量体积和距离56
2、数学培优微专题 探索点的位置及边长的大小60数学培优微专题 求标准方程66数学培优微专题 建设限代化处理轨迹方程68数学培优微专题 圆锥曲线中的三定问题70数学培优微专题 圆锥曲线中的静态求值75数学培优微专题 圆锥曲线中的动态最值80数学培优微专题 回归分析与独立性检验84数学培优微专题 概率分布列92数学培优微专题 确定函数处理切线单调极值98数学培优微专题 已知单调性求参数范围101数学培优微专题 单调性由一个因式决定103数学培优微专题 单调性由两个因式决定105数学培优微专题 零点极值点个数问题107数学培优微专题 不等式恒成立与分离110数学培优微专题 不等式恒成立与端点相关113
3、数学培优微专题 指对与隐零点问题117数学培优微专题 极值点偏移120数学培优微专题 双变量问题125数学培优微专题 等差等比的证明1. 数列an的前n项和为Sn， Sn=2an-3n(nN*).2.已知数列 an中， a1=1,a2=4,an+2-4an+1+3an=0,nN *3.数列an满足a1=12， an+1-an+anan+1=0(nN*)(1)求证1an 为等差数列， 并求an的通项公式；24.已知数列 an满足a1=0， an+1=2an+n-1,nN， an的前n项和为Sn，(1)求证： 数列an+n是等比数列， 并求an;(2)求S105.已知数列an的首项a1=35,an
4、+1=3an2an+1,nN*(1)求证： 数列1an-1 为等比数列；(2)记Sn=1a1+1a2+1an， 若Sk0,q1)的等比数列， 且它的首项a1=1， (1)求数列an的通项公式;6数学培优微专题 数列求通项之给Sn求an1. 已知数列 an的前n项和为Sn， 且满足Sn=2an-2n+1(1)求an和Sn；2.已知数列an的前n项和为Sn， 且满足a1=12， an+2SnSn-1=0(n2)(I)问： 数列1Sn 是否为等差数列？并证明你的结论；(II)求Sn和an；3.已知数列 an的前n项和为Sn， 且an=Sn+n2(1)若数列 an+t是等比数列， 求t的取值；(2)求
5、数列 an的通项公式；74.在Sn+1=Sn+ 1， 4Sn-1 是 2n + 1 与 an的等比中项， 4Sn= (1 + an)2(an0)这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 并解答问题： 已知数列an的前n项和为Sn， a1=1， 且满足 _， 若bn=1anan+1，求使不等式b1+b2+bn919成立的最小正整数n5.设数列 an的前n项和为Sn， 已知a1=1， Sn+1-2Sn=1， nN*(1)证明：Sn+1为等比数列， 求出 an的通项公式；86.在Sn+1=4Sn+1， 3Sn=an+1-2， 3Sn=22n+1+(R)三个条件中选择符合题意的一个条件， 补充在下
6、面问题中， 并加以解答设等比数列an的前n项和为Sn， a1=2， an与Sn满足_，(1)求数列an的通项公式；(2)记数列bn=an(an+1)(an+1+1)， 数列bn的前n项和Tn， 求证： Tn199数学培优微专题 裂项相消法求和1. 已知数列2an是等比数列， 且a1=3,a3=7(1)证明： 数列an等差数列， 并求出其通项公式；(2)求数列1(an-1)(an+1)的前n项和Sn2.设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n(1)求an的通项公式；(2)求数列an2n+1 的前n项和3.已知数列 an的前n项和为Sn， 且an=Sn+n2(1)若数列 an+t是等比数
7、列， 求t的取值；(2)求数列 an的通项公式；(3)记bn=1an+1 +1anan+1， 求数列 bn的前n项和Tn4.已知数列nan-1 的前 n 项和为 n， 数列 bn 满足 b1= 1， bn+1- bn= an， n N* ( ) 求数列an， bn的通项公式；()若数列cn满足cn=a2nb2n,nN*， 证明： c1+c2+cn4115.已知数列an的前n项和为Sn， 且a1=12， an+1=n+12n an(1)求an的通项公式；(2)设cn=2-Snn(n+1),nN*， Tn是数列cn的前n项和， 证明34Tn16.已知数列 an的前n项和为Sn， 且a1=1， an
8、+1=2Sn+1 nN+， 数列 bn满足b1=1， bn+1=bn+an(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)若数列 cn满足cn=anbnbn+1且c1+c2+.+cn(2bn-1)+1对任意nN+恒成立， 求实数的取值范围1213数学培优微专题 错位相减法求和1. 已知数列 an的前 n 项和为 Sn， 且 Sn= 2n2+ n， n N*， 数列 bn满足 an= 4log2bn+ 3， n N*()求an、 bn；()求数列anbn的前n项和Tn2.已知等比数列an的前n项和为Sn， 满足S3=14， 且2a1， a2，12a3依次构成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)
9、请从bn=an+n； bn=nan； bn=1log2anlog2an+1这三个条件选择一个， 求数列bn的前n项和Tn3.已知an为等差数列， 前n项和为Sn(nN*)， bn是首项为2的等比数列， 且公比大于0， b2+b3=12， b3=a4-2a1， S11=11b4()求an和bn的通项公式；()求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).4.已知数列an的前n项和为Sn， 且满足2Sn=3an-3(1)证明数列an是等比数列；(2)若数列bn满足bn=log3an， 记数列bnan 的前n项和为Tn， 证明13Tn34155.已知数列an的前n项和为Sn， 且an+1=an+2(n
10、N *)， a3+a4=12， 数列bn为等比数列， 且b1=a2， b2=S3()求an和bn的通项公式；()设cn=(-1)nanbn， 求数列cn的前n项和Tn6.已知数列 an满足a1=2， an+1=2(Sn+n+1)(nN *)(1)求证：an+1是等比数列； 并写出 an的通项公式(2)求数列 nan的前n项和Sn1617数学培优微专题 数列中多规律求和1. 已知数列an满足a1=1， an+1=an+1,n为奇数,an+2,n为偶数. (1)记bn=a2n， 写出b1， b2， 并求数列bn的通项公式；(2)求an的前20项和2.已知等差数列an和等比数列bn满足a1=5， b
11、1=2， a2=2b2+1， a3=b3+5(1)求an和bn的通项公式;(2)数列 an 和bn 中的所有项分别构成集合 A、 B， 将集合 AB 中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列cn， 求数列cn的前50项和S503.已知数列 an的前n项和为Sn， 且n、 an、 Sn成等差数列， bn=2log2(1+an)-1(1)证明数列 an+1是等比数列， 并求数列 an的通项公式；(2) 若数列 bn中去掉数列 an的项后余下的项按原顺序组成数列 cn， 求 c1+ c2+c100的值4.已知数列 an的前n项和为Sn， 且满足a1=1， 2Sn=nan+1， nN*(1)求 a
12、n的通项公式；(2)设数列 bn满足b1=1， bnbn+1=2n， nN*， 按照如下规律构造新数列 cn： a1,b2,a3,b4,a5,b6,， 求 cn的前2 n项和5.数列an的前n项和为Sn， 且Sn+1-1=Sn+2an(nN*).(1)若数列an+1不是等比数列， 求an；(2)若a1=1， 在ak和ak+1(kN*)中插入k个数构成一个新数列bn： a1， 1， a2， 3， 5， a3， 7， 9， 11，a4， ， 插入的所有数依次构成首项为1， 公差为2的等差数列， 求bn的前50项和T50196.已知数列an是公差为2的等差数列， 且a1， a5+1， a23+1成等
13、比数列数列bn满足： b1+b2+bn=2n+1-2()求数列an， bn的通项公式；()令数列cn的前n项和为Tn， 且cn=1anan+2,n为奇数-1bn,n为偶数， 若对nN*， T2nT2k恒成立， 求正整数k的值；2021数学培优微专题 数列的和与不等式1. 已知数列 an是公差为正的等差数列， a2是a1和a3+1的等比中项， a4=4()求 an的通项公式；()若bn=2an， Sn是数列 anbn的前n项和， 求使得Sn2020成立的最大整数n2.已知数列an， bn满足： a1=3， 当n2时， an-1+an=4n； 对于任意的正整数n， b1+2b2+2n-1bn=na
14、n.设bn的前n项和为Sn(1)求数列an及bn的通项公式；(2)求满足13Sn14的n的集合3.已知正项数列an的前n项和为Sn， an=2 Sn-1(1)求a1的值， 并求数列an的通项an；(2)设bn=an+2an， 数列bn的前n项和为Tn， 求使不等式Tnn2+62n-6成立的所有正整数n的取值组成的集合4.已知数列 an的前n项和为Sn， 且满足Sn=2an-2n+1(1)求an和Sn；(2)设数列 Sn的前n项和为Tn， 若不等式Tn-t2n0对于nN*恒成立， 求t的取值范围235.已知等差数列 an的前n项和为Sn， a3=7， S4=22， 数列 bn是各项均为正数的等比
15、数列， b1=4， b3=64(I)求数列 an和 bn的通项公式；(II)令pn=32+an， 数列 pnpn+2的前n项和An， 求证： An346.已知数列an的前n项和为Sn， 且a1=12， an+1=n+12n an(1)求an的通项公式；(2)设bn=n(2-Sn),nN， 若bn对nN*恒成立， 求实数的取值范围(3)设cn=2-Snn(n+1),nN*， Tn是数列cn的前n项和， 若不等式mTnk对于任意的nN*恒成立， 求实数m的最大值与整数k的最小值2425数学培优微专题 边角互化1. 在 ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 已知向量 m=
16、 cosA,cosB， n= a,2c-b， 且mn(1)求角A的大小；(2)若a=4,b=433， 求 ABC 面积2.在(a+c)(a-c)=b(b-c)， sinA2sinB -sinC=cosAcosC ， 2bcosA=acosC +ccosA这三个条件中任选一个补充在下面的横线上， 并加以解答在 ABC 中， 角A， B， C 所对的边分别为a， b， c， 且_(1)求角A的大小；3.在 2acosC + c = 2b， cos2B -C2- cosBcosC =34， (sinB + sinC)2= sin2A + 3sinBsinC这三个条件中任选一个补充在下面的横线上， 并
17、加以解答在ABC 中， 角A， B， C 所对的边分别为a， b， c， 且(1)求角A的大小；4.在2a-b=2ccosB， S=34(a2+b2-c2)， 3sin(A+B)=1+2sin2C2这三个条件中任选一个， 补充在下面的横线处， 然后解答问题。在ABC 中， 角A， B， C 的对边分别为a， b， c， 设ABC 的面积为S， 已知_(1)求角C 的值；(2)若b=4， 点D在边AB 上， CD为ACB 的平分线， CDB 的面积为2 33， 求a的值。注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分。275.在ba=cosB +13sinA， 2bsinA=atanB， a
18、-csinA+csin A+B=bsinB 这三个条件中任选一个， 补充在下面的横线上， 并加以解答已知 ABC 的内角A， B， C 所对的边分别是a， b， c，若_(1)求角B；(2)若a+c=4， 求 ABC 周长的最小值， 并求出此时 ABC 的面积注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分286.在sinAsinB -sinC=b+cb-a ； ca=cosC +13sinA； 2S =3CA CB 这三个条件中任选一个， 补充在下面的横线上， 并加以解答在ABC 中， 角A， B， C 的对边分别是a， b， c， S 为ABC 的面积， 若 _(填条件序号)(1)求角C
19、 的大小；29数学培优微专题 知三解三角形1. 已知ABC 中， tanA=14， tanB =35， AB =17.求： (1)角C 的大小；(2)ABC 中最小边的边长2.在ABC 中， a+b=11， 再从条件， 条件这两个条件中选择一个作为已知， 解答下列问题(1) 求a的值；(2) 求sinC 和ABC 的面积条件： c=7， cosA=-17；条件： cosA=18， cosB =916.303.在ac=3； csin A=3； c=3b， 这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中， 若问题中的三角形存在， 求c的值； 若问题中的三角形不存在， 说明理由问题： 是否存在ABC， 它
20、的内角A， B， C 的对边分别为a， b， c， 且sin A=3sin B， C=6， _？注： 如果选择多个条件分别解答， 按第一个解答计分4.在ABC 中， a， b， c分别为角A， B， C 的对边， 且ABC 同时满足下列四个条件中的三个： a2+c2=b2-2 33ac； 1+cos2A=2sin2A2； a=3； b=2.(1)满足ABC 有解的序号组合有哪些？(2)在(1)的组合中任选一组， 求ABC 的面积315.已知ABC 中，cbA；条件： cosB =2 55.5.已知在ABC 中， 角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c且满足b=acosC +csinA35求A
21、的大小；(2)若cosB =25,BC =5,BD =17BA ， 求CD的长6.在 AB = 2 5， ADB = 135， BAD = C 这三个条件中任选一个， 补充在下面的问题中， 使得问题成立， 并求BD的长和ABC 的面积.如图， 在ABC 中， D 为BC 边上一点， AD AC,AD =1,sinBAC =2 55， _， 求BD的长和ABC 的面积.3637数学培优微专题 多边多角问题1. 平面四边形ABCD中， 边AB =BC =5， CD=8， 对角线BD=7.(1)求内角C 的大小；(2)若A， B， C， D四点共圆， 求边AD的长2.如图， 在 ABC 中， 点 D
22、 在 BC 边上， ADC = 60， AB = 2 7， BD =4(1)求ABD的面积(2)若BAC =120， 求AC 的长3.已知 ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， cosC =35， D 是线段 BC 上的点，cosADC =210.(1)若b=5， a=7， 求c的大小；(2)若b=7， BD=10， 求ABC 的面积384.ABC 内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 满足 (2b -3c)cosA=3acosC.(1)求A的大小；(2) 如图， 若 AB = 4， AC =3， D 为 ABC 所在平面内一点，DB AB， BC
23、 =CD， 求BCD的面积5.在梯形 ABCD 中， 已知 AD BC ， AD = 1， BD = 2 10， CAD =4， cosACD =3 1010 ，(1)求CD的长； (2)求BCD的面积396.如图， 在四边形ABCD中， cosDAB =-14，ADAB =23， BD=4， AB BC(1)求sinABD的值;(2)若BCD=4， 求CD的长40数学培优微专题 解三角形中的最值问题1. 已知ABC 的内角A， B， C 所对的边分别为a， b， c， 向量m=(c+a， b)， n=(c-a， b+c)， 且a=3， mn.(1)求ABC 面积的最大值；(2)求b+c的取值
24、范围2.在锐角ABC 中， 角A， B， C 所对的边分别为a， b， c， 已知2bsinBsinA3a0.(1)求角B 的大小；(2)求cos Acos B cos C 的取值范围3.ABC 的内角A， B， C 的对边分别为a， b， c， 已知asinA+C2bsin A.(1)求B；(2)若ABC 为锐角三角形， 且c1， 求ABC 面积的取值范围414.已知ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,C =120.(1)若a=2b,求tan A的值;(2)若ACB 的平分线交AB 于点D,且CD=1,求ABC 的面积的最小值.5.如图,在四边形ABCD中,ADAB,CAB
25、=60,BCD=120,AC =2.(1)若ABC =15,求DC.(2)记ABC =,当为何值时,BCD的面积取得最小值?求出最小值.426.在 ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， ABC = 120， BD 是 ABC 的平分线， 交AC 于点D， 且BD=1， 求4a+c的最小值4344数学培优微专题 平行的证明1. 已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， M 是DD1的中点()求证： BD1平面AMC；2.如图， 在直角梯形ABCD 中， AB CD， AB AD， 且AB =AD=12CD=1.现以AD为一边向梯形外作正方形 ADEF， 然后沿边
26、AD 将正方形 ADEF 翻折， 使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂直， M 为 ED 的中点， 如图(1)求证： AM 平面BEC；3.如图， 在四棱锥 P - ABCD 中， PD 平面 ABCD， AB CD， BAD = 60， AB = AD =12CD=2， E 为棱PD上的一点， 且DE =2EP=2(1)证明： PB 平面AEC；4.如图， AE 平面ABCD， CF AE， ADBC， ADAB， AB =AD=1， AE =BC =2()求证： BF 平面ADE；5.如图， 已知多面体 EABCDF 的底面是ABCD 边长为2的正方形， EA底面ABCD， FDEA，且
27、FD=12EA=1(1) 记线段 BC 的中点为 K， 在平面 ABCD 内过点 K 作一条直线 KM ， 使得KM 平面ECF， 并给予证明6.如图， 已知四棱锥 P - ABCD 的底面 ABCD 是矩形， PA 底面 ABCD， E、 F 分别是 AB、 PD的中点(1)求证： AF 平面PCE(2) 过点 F 作四棱锥 P - ABCD 的一个截面， 使得该截面与 PB，CD 都平行， 请在四棱锥中作出该截面， 该截面是什么图形 说明理由。4647数学培优微专题 垂直的证明1. 如图， 在三棱锥 P ABC 中， PAAB， PABC， AB BC， PA=AB =BC =2， D 为
28、线段AC 的中点， E 为线段PC 上一点(1)求证： PABD；(2)求证： 平面BDE 平面PAC；(3)当PA平面BDE 时， 求三棱锥E BCD的体积2.如图， 在四棱锥 P - ABCD 中， 平面 PAC 平面 ABCD， PA = PC， AB CD， AB AD， 且CD=2AD=4AB =4(1)求证： BDPC；3.如图四面体ABCD中， ABC 是正三角形， AD=CD(1)证明： AC BD；4.如图， 在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB =AD=1， AA1=2， 点P 为DD1的中点(1)求证： 平面PAC 平面BDD1；5.如图， D为圆锥的顶点， O是
29、圆锥底面的圆心， ABC 是底面的内接正三角形， P 为DO上一点，APC =90(1)证明： 平面PAB 平面PAC；(2)设DO=2， 圆锥的侧面积为3， 求三棱锥P-ABC 的体积6.如图1， 四边形PBCD是等腰梯形， BC PD， PB =BC =CD=2， PD=4， A为PD的中点将ABP沿AB 折起， 如图2， 点M 是棱PD上的点()若M 为PD的中点， 证明： 平面PCD平面ABM；4950数学培优微专题 度量角度1. 如图， 在四棱锥P -ABCD中， 底面ABCD为菱形， 平面PAD平面ABCD， PA=PD， E 为棱AB 的中点(1)证明： AC PE(2)若PA=
30、AD， BAD=60， 求二面角E -PC -B 的余弦值2.如图， 四棱锥 P - ABCD 中， 已知 AB DC， AB = AD = 1， BD =2， CD = 2， PB = PC = PD=6(1)证明： 平面PAD平面PCD(2) 设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l， 求直线 l 与平面 PAB 所成角的正弦值3.如图， 在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中， AA1 平面 ABCD， 且 AB = AD = 2， AA1=3，BAD=120(1)求异面直线A1B 与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角B -A1D-A的正弦值524.在三棱锥A-BCD 中，
31、 已知CB =CD =5， BD =2， O为BD 的中点， AO平面BCD， AO=2， E 为AC 中点(1)求直线AB 与DE 所成角的余弦值；(2) 若点 F 在 BC 上， 满足 BF =14BC， 设二面角 F - DE - C 的大小为， 求sin的值535.如图 (1) 所示， 在等腰直角三角形 ABC 中， ABC = 90AB = BC = 4， D， E 分别为 AB， AC 的中点， 将ADE 沿DE 折起， 使A到达A1(如图2)， 且满足A1B =2， M 是A1C 的中点(1)求证： ME 平面A1BD；(2)求二面角M BE C 的正弦值546.如图， 四棱柱
32、ABCD - A1B1C1D1的底面 ABCD 为矩形， AD = 2AB， M 为 BC 中点， 平面A1D1DAABCD， AA1A1D且A1A=A1D(1)证明： B1A1D=90(2)若此四棱柱的体积为2求二面角A-A1B -M 的正弦值5556数学培优微传题 度量体积和距离1. 如图， 正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为2， E， F 分别为A1B， AC 的中点(1)证明： EF 平面A1C1D；(2)求三棱锥F -A1C1D的体积2.如图， 已知多面体 EABCDF 的底面是ABCD 边长为2的正方形， EA底面ABCD， FDEA，且FD=12EA=1(2)求点B 到平面
33、ECF 的距离3.已知如图， 在正三棱柱ABC -A1B1C1中， D为棱AC 的中点， AB =AA1=2()求证： 直线AB1平面BC1D；()求点B1到平面BDC1的距离4.如图， 在四面体ABCD中， BA=BC， BAD=BCD=90(2)若ABD=60， BA=2， 四面体ABCD的体积为2， 求二面角B -AC -D的余弦值5.如图， 在正三棱柱ABC -A1B1C1中， AA1=2， AB =1， N 是CC1的中点(1)求证： 平面ANB1平面AA1B1B;(2)求三棱锥B1-ANB 的高586.如图， 四棱锥 P - ABCD 中， 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，
34、 平面 PAC 平面 ABCD， 且 ACPB(2)若二面角A-PC -B 的余弦值为33， 求D到平面PBC 的距离5960数学培优微专题 探索点的位置及边长的大小1. 如图， 直角梯形ABCD 中， AD BC， AB BC， AB =BC =2， AD BC， 矩形ACEF 平面ABCD， CE =2(1)证明： 平面BCF 平面ADE；(2)若二面角A-DE -C 等于60， 求AD的长2.如图， 在四棱锥S -ABCD中， 底面ABCD为平行四边形， 侧面SBC 底面ABCD.已知ABC=45， AB =2， BC =2 2， SC =SB =3()在线段AB 上是否存在一点P， 使
35、SP SC？若存在， 请求出AP 的长； 若不存在， 请说明理由3.如图 1， 在边长为 2 的菱形 ABCD 中， BAD = 60， DE AB 于点 E， 将 ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置， 使A1DBE， 如图2(3)在线段BD上是否存在点P， 使平面A1EP 平面A1BD？若存在， 求BPBD 的值； 若不存在， 说明理由4.如图， AE 平面ABCD， CF AE， ADBC， ADAB， AB =AD=1， AE =BC =2()若二面角E -BD-F 的余弦值为13， 求线段CF 的长625.已知在六面体 PABCDE 中 ，PA 平面 ABCD ，ED 平面ABC
36、D， 且PA=2ED， 底面ABCD为菱形， 且ABC =60(1)求证： 平面PAC 平面PBD；(2) 若直线 PC 与平面 ABCD 所成角为 45， 试问： 在线段 PE 上是否存在点M， 使二面角P-AC -M 为60？若存在， 确定点M 的位置；若不存在， 请说明理由636.如图， 在四棱锥P-ABCD中， PD底面ABCD， AB CD， AB =2， CD=3，M 为PC 上一点， 且PM =2MC(1)求证： BM 平面PAD；(2) 若 PD = 3,BAD =3， 三棱锥 P - ADM 的体积为3， 求AD的长6465数学培优微专题 求标准方程1. 已知椭圆 C：x2a
37、2+y2b2= 1(a b 0) 的离心率为63， 两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为2()求椭圆C 的方程；2.已知椭圆C :x2a2+y2b2=1(ab0)的左、 右焦点分别为F1， F2， 点P 2, 2在椭圆C 上， 且满足PF1 PF2 =PF2 2(1)求椭圆C 的标准方程；3.已知椭圆C :x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12， 以原点O为圆心， 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6 =0相切(1)求椭圆C 的标准方程4.已知椭圆 C：x2a2+y2b2= 1(a b 0) 离心率为63. 四个顶点围成的四边形的内切圆半径为32()求椭圆C 的标准方程；
38、5.已知椭圆 C :x2a2+y2b2= 1(a b 0) 的离心率为22， 椭圆 C 和抛物线 y2= x 交于M， N 两点， 且直线MN 恰好通过椭圆C 的右焦点67(I)求椭圆C 的标准方程；6.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y=33x， 点(2 3,1)在双曲线上， 抛物线y2=2px(p0)的焦点F 与双曲线的右焦点重合()求双曲线和抛物线的标准方程；68数学培优微专题 建设限代化处理轨迹方程1. 在平面直角坐标系中， 若a=(x+3,y)， b=(x-3,y)， 且|a|+|b|=4()求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；2.已知在平面直角坐标
39、系中， 圆A:x2+y2+2 7x-57=0的圆心为A， 过点B( 7,0)任作直线l交圆A于点C、 D， 过点B 作与AD平行的直线交AC 于点E(1)求动点E 的轨迹方程；3.点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和它到直线x=4的距离的比是常数12()求点M 的轨迹C 的方程；4.已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为-14， 点P的轨迹为曲线C()求曲线C 的方程；5.已知圆 F1：x+12+ y2= r2与圆 F2：x-12+ y2= 4-r20rb0)的离心率为63， 以M(1,0)为圆心， 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2 -1=0相切()求椭圆C 的方
40、程；()已知点 N(3,2)， 过点 M 任作直线 l与椭圆 C 相交于 A,B 两点， 设直线 AN,BN的斜率分别为， 求证：为定值2.已知 F( 3,0) 是椭圆 C：x2a2+y2b2= 1(a b 0) 的右焦点， 且 A3,12在椭圆 C上()求椭圆C 的方程；( ) 设过 F 的直线与椭圆 C 交于点 M， N， 问： 是否存在 x 轴上的定点 P， 使 PF 平分MPN？若存在， 求出点P的坐标， 若不存在， 说明理由713.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)， 四点P1(1,1),P2(0,1),P3-1,32,P41,32中恰有三点在椭圆上(1)求C 的方程；(2
41、)设直线 l不经过 P2点且与 C 相交于 A、 B 两点， 若直线 P2A与P2B 直线的斜率的和为-1， 证明： l过定点724.已知椭圆C :x2a2+y2b2=1(a0,b0)的左、 右焦点分别为F1,F2，F1F2=2， 过点F1的直线与椭圆C 交于A,B 两点， 延长BF2交椭圆C 于点M， ABF2的周长为8(1)求C 的离心率及方程；(2)试问： 是否存在定点 P(x0,0)， 使得PM PB 为定值？若存在， 求 x0； 若不存在， 请说明理由5.已知点P 是圆F1： (x-1)2+y2(x-1)2+y2=8上任意一点， 点F2与点F1关于原点对称， 线段PF2的垂直平分线分
42、别与PF1， PF2交于M， N 两点()求点M 的轨迹C 的方程；()过点G 0,13的动直线l与点M 的轨迹C 交于A， B 两点， 在y轴上是否存在定点Q， 使以AB 为直径的圆恒过这个点 若存在， 求出点Q的坐标； 若不存在， 请说明理由736.已知点 P 2,1在椭圆 C :x2a2+y2b2= 1 ab0上， F1,F2分别为椭圆 C 的左右焦点， PF1F2的面积为6(1)求椭圆C 的方程;(2)过点Q 0,2的直线交椭圆C 于A， B 两点， 在y轴上是否存在定点M， 使得直线MA,MB 的斜率之积为常数？若存在， 求出定点的坐标； 若不存在， 请说明理由7475数学培优微专题
43、 圆锥曲线中的静态求值1. 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点分别为F1， F2， 点P 在双曲线上， 且PF1PF2， |PF1|=8， |PF2|=6(1)求双曲线的方程；(2) 设过双曲线左焦点 F1的直线与双曲线的两渐近线交于 A， B 两点， 且 F1A =2F1B ， 求此直线方程2.在平面直角坐标系xOy中， 已知抛物线C： y2=4x的焦点为F， 过F 的直线l与抛物线C 有两个不同交点A、 B(1)求线段AF 的中点M 的轨迹方程；(2)已知AOB 的面积是BOF 面积的3倍求直线l的方程763.已知抛物线C1： x2=4y的焦点F 也是椭圆C2：y2a
44、2+x2b2=1(ab0)的一个焦点， 椭圆C2的离心率为e=13，过点 F 的直线 l 与 C1相交于 A， B 两点， 与 C2相交于C， D两点， 且AC ,BD 同向()求C2的方程；()若|AC|=|BD|， 求直线l的斜率4.已知椭圆x2a2+y2b2= 1(a b 0) 的一个顶点为 A(0, - 3)， 右焦点为 F， 且 |OA| =|OF|， 其中O为原点()求椭圆的方程；( ) 已知点 C 满足 3OC = OF ， 点 B 在椭圆上 (B 异于椭圆的顶点 )， 直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点P， 且P为线段AB 的中点求直线AB 的方程775.已知椭圆C：x2a
45、2+y2b2=1(ab0)， 离心率为32， 左右焦点分别为F1， F2， 过F1的直线交椭圆C 于M、 N 两点， 且MF2N 的周长为8()求椭圆C 的方程；()若|MN|=85， 求MF2N 的面积6.在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)经过点(1,32)， 离心率为12()求椭圆C 的方程；( ) 过点 (1,0) 的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点若 OA OB =-2， 求直线 l 的方程787.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率e=32， 左、 右焦点分别为F1、 F2， A是椭圆在第一象限上的一个动点， 圆 C 与 F
46、1A 的延长线， F1F2的延长线以及线段 AF2都相切， M(2,0)为一个切点(1)求椭圆方程；(2) 设 N32,0， 过 F2且不垂直于坐标轴的动点直线 l 交椭圆于 P， Q 两点， 若以NP， NQ为邻边的平行四边形是菱形， 求直线l的方程7980数学培优微专题 圆锥曲线中的动态最值1. 在平面直角坐标系xOy中， 双曲线 E：x2a2-y2=1(a0)的左右焦点分别为F1、 F2，离心率为2 33， 且经过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A、 B 两点(1)求双曲线E 的标准方程；(2)求ABF1的面积的取值范围2.已知曲线C： y2=4x， 曲线M：x-12+y2=4 x1
47、， 直线l与曲线C 交于A， B 两点， O为坐标原点(1)若OA OB =-4， 求证： 直线l恒过定点；(2)若直线l与曲线M 相切， 求PA PB (点P坐标为(1,0)的取值范围813.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22， 且过点(2, 2)， A， B 在椭圆E上， 坐标原点为O， 设直线OA， OB 的斜率为kOA、 kOB， 且kOAkOB=-b2a2(1)求椭圆E 的方程；(2)求OA OB 的取值范围824.已知椭圆C :x2a2+y2b2=1(ab0)经过点P(2, 2)， 一个焦点F2的坐标为(2,0)(1)求椭圆C 的方程；(2) 设直线 l :
48、 y = kx + 1 与椭圆 C 交于 A,B 两点， O 为坐标原点， 求 OA OB 的取值范围5.已知F1和F2是椭圆M：x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点和右焦点， 直线x+y-3=0过点F2交M 于A、 B 两点， ABF1的周长为4 6()求M 的方程；()设C 为M 上的动点， 求ABC 的面积S的最大值836.已知圆 F1： (x + 1)2+ y2= 9， 圆 F2： (x - 1)2+ y2= 1， 动圆 P 与圆 F1内切， 与圆 F2外切O为坐标原点()求圆心P的轨迹C 的方程()直线l： y=kx-2与曲线C 交于A， B 两点， 求OAB 面积的最大值， 以
49、及取得最大值时直线l的方程84数学培优微专题 回归分析与独立性检验1. 2018 年 11 月 5 日至 10 日， 首届中国国际进口博览会在国家会展中心 ( 上海 ) 举行， 吸引了 58 个“一带一路” 沿线国家的超过 1000 多家企业参展， 成为共建 “一带一路” 的又一个重要支撑 . 某企业为了参加这次盛会， 提升行业竞争力， 加大了科技投入 . 该企业连续 6 年来的科技投入 x(百万元)与收益y(百万元)的数据统计如下：科技投入x24681012收益y5.66.512.027.580.0129.2并根据数据绘制散点图如图所示：根据散点图的特点， 甲认为样本点分布在指数曲线y=c2
50、bx的周围， 据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：yz6i=1xi-xyi-y6i=1xi-xzi-z6i=1yi-y26i=1xi-x243.54.5854.034.712730.470其中zi=log2yi， z=166i=1zi(1)(i)请根据表中数据， 建立y关于x的回归方程(保留一位小数)；(ii)根据所建立的回归方程， 若该企业想在下一年收益达到 2亿， 则科技投入的费用至少要多少？(其中log252.3)(2)乙认为样本点分布在二次曲线y=mx2+n的周围， 并计算得回归方程为y=0.92x2-12.0， 以及该回归模型的相关指数R2=0.94， 试比较甲乙两人所建立的模型