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1、中考数学几何综合压轴题初三难题训练中考数学几何综合压轴题初三难题训练1.（2015 金华中考）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于e O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则EF的值是（）GHA.62B.2C.3D.22.（2015 遵义中考）将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30o，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB 3，则四边形AB1ED的内切圆半径为（）A.3 12B.332C.3 13D.3333.（2015 遵义中考）如图，在圆心角为90o的扇形OAB中，半径OA 2cm，C为弧AB的中点，D，E分别是OA，OB的中点，则图中影阴部分的面积为cm2第1页
2、（共29 页）4.（2016 常德中考）如图，已知e O是VABC的外接圆，AD是e O的直径，且BD BC，延长AD到E，且有EBD CAB（1）求证：BE是e O的切线；（2）若BC 3，AC 5，求圆的直径AD及切线BE的长5.（2016岳阳中考）数学活动旋转变换（1）如图，在VABC中，ABC 130o，将VABC绕点C逆时针旋转50o得到VABC，连接BB，求ABB的大小；（2）如图，在VABC中，ABC 150o，AB 3，BC 5，将VABC绕点C逆时针旋转60o得到VABC，连接BB，以A为圆心，AB长为半径作圆（）猜想：直线BB与e A的位置关系，并证明你的结论；（）连接AB
3、，求线段AB的长度；（3）如图，在VABC中，ABC 90o180o，AB m，BC n，将VABC绕点C逆时针旋转2角度0o 2180o得到VABC，连接AB和BB，以A为圆心，AB长为半径作圆，问：角与角满足什么条件时，直线BB与e A相切，请说明理由，并求此条件下线段AB的长度（结果用角或角的三角函数及字母m，n所组成的式子表示）第2页（共29 页）6.（2016 成都中考）如图，在RtVABC中，ABC 90o，以CB为半径作e C，交AC于点D，交AC的延长线于点E，连接BD，BE（1）求证：VABDVAEB；（2）当AB4时，求tanE；BC3（3）在（2）的条件下，作BAC的平分
4、线，与BE交于点F若AF 2，求e C的半径第3页（共29 页）7.（2016 苏州中考）如图，在矩形ABCD中，AB 6cm，AD 8cm点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发， 沿DC向点C匀速运动， 速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0t 8）3（1）如图，连接DQ，当DQ平分BDC时，t的值为（2）如图，连接CM，若VCMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续连行探究，并解答下
5、列问题：证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；如图 3，在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切?说明理由第4页（共29 页）8.（2015扬州中考）如图，已知e O的直径AB 12cm，AC是e O的弦，过点C作e O的切线交BA的延长线于点P，连接BC（1）求证：PCA B；（2）已知P 40o，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当VABQ与VABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长9. （ 2015 大 庆 中 考 ） 如 图 ， 四 边 形ABCD内 接 于e O，APBBAD（1）证明：AB CD；（
6、2）证明：DPBD ADBC；（3）证明：BD2 AB2 ADBC第5页（共29 页）ADPBC，P为BD上 一 点 ，10.（2015武汉中考）如图，AB是e O的直径，ABT 45o，AT AB（1）求证：AT是e O的切线；（2）连接OT交e O于点C，连接AC，求tanTAC的值11.（2016 随州中考）如图，AB是e O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD OA交弦AB于点E，连接BD，且DE DB（1）判断BD与e O的位置关系，并说明理由；（2）若CD 15，BE 10，tanA 5，求e O的直径12第6页（共29 页）12.（2015德州中考）如图，e O的半径为1，A
7、，P，B，C是e O上的四个点，APC CPB 60o（1）判断VABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大?求出最大面积第7页（共29 页）13.（2016淮安中考）问题背景：)如图1，在四边形ADBC中，ACB ADB 90o，AD BD，探究线段AC,BC,CD之间的数量关系小吴同学探究此问题的思路是：将VBCD绕点D，逆时针旋转90o到VAED处，点B,C分别落在点A,E处（如图 2），易证点C,A,E在同一条直线上，并且VCDE是等腰直角三角形，所以CE 2CD，从而得出结论：AC BC 2C
8、D（1）简单应用：在图1中，若AC 2，BC 2 2，则CD （2）如图3，AB是e O的直径，点C、D在e上，AD BD，若AB 13，BC 12，求CD的长（3）拓展规律：如图4，ACB ADB 90o，AD BD，若AC m，BC nm n，求CD的长（用含m，n的代数式表示）（4）如图5，ACB 90o，AC BC，点P为AB的中点，若点E满足AE 1AC，3CE CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是第8页（共29 页）14.（2015宜昌中考）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作e O，交边DC于D，
9、G两点，AD分别与EF，GF交于I，H两点（1）求FDE的度数；（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；（3）当G为线段DC的中点时，（i）求证：FD FI；（ii）设AC 2m，BD 2n，求e O的面积与菱形ABCD的面积之比第9页（共29 页）15.（2015株洲中考）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C，D两点，CD 2，DAB 30o，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q（1）当点P运动到使Q，C两点重合时（如图 1），求AP的长；（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使VCQD的面积为（3）当使VCQD的面积为1?（直接写出答案）21，且Q位
10、于以CD为直径的的上半圆上，CQ QD时（如图 2），2求AP的长第10页（共29 页）答案答案第一部分第一部分1.C【解析】如图，连接AC、BD、OF，其中AC与EF交于点I设e O的半径为r，则OF r，Q AO是EAF的角平分线，OAF 60o2 30oQOAOF，OFA OAF 30o，COF 60o，FI rsin60oEF 3r，23r2 3r2Q AO 2OI，OI 111r，CI r r r，222GHCI1，BDCO211BD 2r r，22GH EF3r3GHr2.B【解析】作DAB1与AB1C1的角平分线交于点O，过O作OF AB1，则OAF 30o，AB1O 45o，第
11、11页（共29 页）1故B1F OF OA，2设B1F x，则AF 3 x，故3 x2 x22x，2解得x 33，负值舍去2332四边形AB1ED的内切圆半径为第二部分第二部分123.222【解析】连接OC，过C点作CF OA于F)Q半径OA 2cm，C为AB的中点，D、E分别是OA、OB的中点，OD OE 1cm，OC 2cm，AOC 45oCF 2S空白图形ACD S扇形OAC SVOCD4522112360212 cm2.2211QSVODEODOE cm2，22S阴影 S扇形OAB S空白图形ACD SVODE9022121 223602121 cm2.222第三部分第三部分4.（1）
12、如图，连接OB.第12页（共29 页）QBD BC，CAB BAD.QEBD CAB，BADEBD.Q AD是e O的直径，ABD 90o，OA BO.BAD ABO.EBD ABO.OBE EBD OBD ABD OBD ABD 90o.Q点B在e O上，BE是e O的切线（2）如图，设圆的半径为R，连接CD.Q AD为e O的直径，ACCD 90o.QBC BD，OB CD.OBPAC.QOAOD，OF 15AC .22Q四边形ACBD是圆内接四边形，BDE ACB.QDBE ACB，VDBEVCAB.DBDE.ACBC3DE.53第13页（共29 页）DE 3.5QOBE OFD 90o
13、，DF PBE.OFOD.OBOE5R.2RR 35QR 0，R 3.QBE是e O的切线，BE DE AE 333 11235555.（1）如图中，QVABC是由VABC旋转得到，ABC ABC 130o，CB CB，CBB CBB，QBCB 50o，CBB CBB 65o，ABB ABC BBC 65o（2）（）结论：直线BB，是e A的切线理由：如图中，QABC ABC 150o,CB CB，CBB CBB，QBCB 60o，CBB CBB 60o，ABB ABC BBC 90oAB BB，直线BB，是e A的切线（）Q在RtVABB中，QABB 90o，BB BC 5，AB AB 3，
14、AB AB2 BB234（3）如图中，当180o时，直线BB，是e A的切线理由：QABC ABC ，CB CB，第14页（共29 页）CBB CBB，QBCB 2，180o2，CBB CBB 2ABB ABC BBC90o180 90oo 90o.AB BB，直线BB，是e A的切线在VCBB中QCB CB n，BCB 2，BB 2nsin，在RtVABB中，AB BB2 AB2m2 4n2sin26.（1）QDE为e C的直径，DBE 90o又QABC 90o，DBE DBC 90o，CBE DBC 90o，ABD CBE又QCB CE，CBE E，ABDE又QBAD EAB，VABDVA
15、EB（2）由（1）知，VABDVAEB，QBDABBEAEAB4，BC3设AB 4x，则CE CB 3x在RtVABC中，AB 5x，AE AC CE 5x 3x 8x，在RtVDBE中，BDAB4x1BEAE8x2tanE BD1BE2111112ACBG ABBG即5xBG 4x3x，解得BG x22225第15页（共29 页）（3）解法一：在RtVABC中，Q AF是BAC的平分线，BFAB4x1FEAE8x2如图 1，过B作BG AE于G，FH AE于H，FH PBG，FHEF2，BGBE322128BG x x33551，21624x，AM AE EM x5522FH 又QtanE
16、EH 2FH 在RtVAHF中，10 24x 8x 2 2，解得AH HF AF即x 855222e C的半径是3x 3 108【解析】解法二：如图 2过点A作EB延长线的垂线，垂足为点GQ AF平分BAC，12又QCB CE，3 E第16页（共29 页）在VBAE中，有1 2 3 E 180o90o 90o，4 2 E 45o，VGAF为等腰直角三角形由（2）可知，AE 8x，tanE AG 58 5AE x，558 5x 2，51，2AF 2AG x 10，8e C的半径是3x 解法三：3 108如图 3，作BH AE于点H，NG AE于点G，FM AE于点M，设BN a，Q AF是BAC
17、的平分线，NG BN a，CG BC 35a，NC a，449a，49BH a，5AB 3a，AC AG 3a，tanNAC sinNAC 15a，4NG1，AG310，10第17页（共29 页）在RtVAFM中，FM AF sinNAC 210103 10，AM ，在RtVEFM中，EM FM2 10tanE5，AE 10在RtVDBE中，QBH 95a，EH 185a，DH 910a，DE 92a，DC 94a，AD 32a，又Q AE DE AE，392a 2a 10，a 106，DC 93 104a 87.（1）1【解析】由题意可知VBPQVBCD.设BP 4t，则PQ 3t，BQ 5
18、t.QDQ平分BDC，QC CD，QP BD.CQ PQ 3t.QCQ 85t.3t 85t，即t 1.（2）如图，过点M作ME BC于点E1055第18页（共29 页）在RtVABD中，AB 6cm，AD 8cm，BD 10cm由BPQ BCD，QBP DBC，得VPBQVCBDPBPQBQBCCDBDQPB 4t，PQ 3t，BQ 5tQMQ MC，QE CE 11QC 85t22QVMEQVDCB，EQBC，MQBD185t82，3t10t 4049（3）如图1，设QM所在直线交CD于点FQVQCFVBCD，CFCD，CQCBCF6，85t815t，4CF 6DF 15t4又DO 3t，
19、DO DF，即点O始终在QM所在直线的左侧第19页（共29 页）如图，设MQ与e O相切时，切点我G，连接OG，则VOGFVBCD，OGBC，OFBD0.88，15t 3t104t 43453时，正方形PQMN的边长为4，QF ，FG 353当t 解法一：连接MO并延长交PQ于点H，过点H作HK PM于点K则VMOGVMHQ，OGMG，HQMQ260.815，HQ4HQ 2413281314 213PH HK HK HQ点O不在PMQ的平分线上，当QM与e O相切时，PM与e O不相切【解析】解法二：连接OM，OP，OQ，设点O到MP的距离为h，QSVMPQ SVMOQ SVPOQ SVPOM
20、，第20页（共29 页）1134140.844 2 h 8221527 2 0.815h 当QM与e O相切时，PM与e O不相切8.（1）如图，连接OCQ AB是e O的直径，ACB 1 2 90o，又PC是e O的切线，PCO PCA 1 90o，2 PCA又OC OB2 B，PCA B（2）QP 40o，AOC 50oQ AB 12，AO 6当AOQ AOC 50o时，VABQ与VABC的面积相等，如图点Q所经过的弧长5065，1803当BOQ AOC 50o时，即AOQ 130o时，VABQ与VABC的面积相等，点Q所经过的弧长130613，1803当BOQ 50o时，即优弧ABQ所对
21、的圆心角为230o时，VABQ与VABC的面积相等，第21页（共29 页）点Q所经过的弧长23062318039.（1）Q ADPBC，ADB DBC，)AB DC，AB CD（2）QAPB BAD，BAD BCD 180o，APB APD 180o，BCD APD，QADB CBDVADPVDBC，ADDP，BDBCDPBD ADBC（3）如图，过点D作DE BC交BC于EQBD2 DE2 BE2，DE2 CD2CE2，BD2 CD2 BE2CE2 AB2BE CEBE CE AB2 ADBC.10.（1）Q AB AT，ATB B 45o.BAT 90o.AT是e O的切线（2）设e O半
22、径为r，延长TO交e O于D，连接AD第22页（共29 页）QCD是直径，CAD BAT 90o.TAC OAD D又ATC DTA，VTACVTDA.TATCTDAT.TA2TC TD，即4r2TCTC 2r.解得TC 5 1r.tanTAC tanDACADTCAT5 1 r2r5 12.11.（1）连接OBQOB OA，DE DB，A OBA，DEBABDQCD OA，A AEC A DEB 90o，OBA ABD 90o，OB BD，BD是e O的切线；（2）如图，过点D作DG BE于G第23页（共29 页）QDE DB，EG 1BE 5，2QACE DGE 90o，AEC GED，G
23、DE A，VACEVDGE，tanEDG tanAEG5，即DG 12DG12在RtVEDG中，DE DG2 EG213QCD 15，DE 13，CE 2QVACEVDGE，ACCE，DGGECE24，DG GE5AC e O的直径2OA 4AD 12.（1）等边三角形（2）PA PB PC证明：965如图，在PC上截取PD PA，连接ADQAPC 60o，VPAD是等边三角形PA AD，PAD 60oQBAC 60o，PAB DAC第24页（共29 页）Q AB AC，VPABVDACPB DCQPD DC PC，PA PB PC)（3）当点P为AB的中点时，四边形APBC面积最大理由如下：
24、如图，过点P作PE AB，垂足为E，过点C作CF AB，垂足为F，QSVPAB11ABPE，SVABCABCF221ABPE CF2S四边形APBC)Q当点P为AB的中点时，PE CF PC，PC为e O直径，四边形APBC面积最大Qe O的半径为1，其内接正三角形的边长AB 3S四边形APBC12 3 3213.（1）CD 3（2）连接AC、BD、AD，QAB是e O的直径，ADB ACB 90o，)QAD BD，AD BD，将VBCD绕点D，逆时针旋转90o到VAED处，如图3，EAD DBC，QDBC DAC 180o，EAD DAC 180o，E、A、C三点共线，QAB 13,BC 1
25、2，由勾股定理可求得：AC 5，QBC AE，CE AE AC 17，第25页（共29 页）QEDA CDB，EDAADC CDBADC，即EDC ADB 90o，QCD ED，VEDC是等腰直角三角形，CE 2CD，CD 17 2；2（3）以AB为直径作e O，连接OD并延长交e O于点D1，连接D1A，D1B，D1C，如图4由（2）的证明过程可知：AC BC 2D1C，D1C 2m n2，又QD1D是e O的直径，DCD1 90o，QAC m，BC n，由勾股定理可求得：AB2 m2 n2，D1D2 AB2 m2 n2，QD1C2CD2 D1D2，22m nm nCD m2 n222，Qm
26、 n，CD 2n m2（4）2PQ=35 1AC614.（1）QEF为e O的直径，FDE 90o（2）四边形FACD为平行四边形理由如下：Q ABCD为菱形，ABPCD，AC BD，AEB 90o又FDE 90o，AC PFD四边形FACD为平行四边形（3）（i）如图，连接GE第26页（共29 页）Q在RtVDEC中，G为CD的中点，EG DG，弧DG 弧EG，12又EF为e O的直径，FGE 90o，FG EGQG为DC中点，E为AC中点，GE为VDAC的中位线，EGPADFG AD，FHD FHI 90o1 3 2 4 90o，3 4，FD FI（ii）Q菱形ABCD，AE CE m，B
27、E DE nQ四边形FACD为平行四边形，FD AC 2m FIQFDPAC，3 8又3 47，7 8，EI EA m在RtVFDE中，FE2 FD2 DE2，223m2m n2，解得，n 5mSe O91 3m 2 m，S2m2n 2mn 2 5m2，菱形ABCD4222Se O:S菱形ABCD929 5m :2 5m244015.（1）Q AB是圆O的切线，OBA 90o第27页（共29 页）QRtVOBA中，CD 2，DAB 30o，OB 1，OB OC AC 1Q当点P，C运动到Q，C两点重合时，PC为圆O的切线，PCA 90o，QDAB 30o，AC 1，AP 233121，2（2）
28、有4个位置使VCQD的面积为【解析】由于CD的长度2，而SVCQD故CD上的高的长度为1，从而如下图，我们可得到答案2（3）过点Q作QN AD于点N，过点P作PM AD于点MQSVCQD1，211QN CD ，22QN 12QCD是圆O的直径，CQD 90o易证VQCNVDQNQNCN，DNQN第28页（共29 页）QN2 CN DN设CN x，则DN 2 xx2 x14，解得x23212，x 322QCQ QD，CN 232，CNQN 23，易证VPMCVQNC易得CMMPCNQN 23CM 23MP在RtVAMP中易得AM 3MP，Q AM CM AC 1，23MP 3MP 1，MP 3 14，AP 2MP 3 12第29页（共29 页）