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1、函数的基本性质及其应用一、利用函数的性质求函数的值域1、 一次函数y=kx+b(k0)的值域为R；2、 二次函数的值域：当a0时，y-/4a ，当a0时，y-/4a ；3、 反比例函数的值域：y0 ；4、 指数函数的值域为（0，+）；对数函数的值域为R；5、 正弦、余弦函数的值域为-1，1（即有界性）；正切余切函数的值域为R；6、 值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法例题：求下列函数的值域1、利用求反函数的定义域求值域（或者分离变为反比例函数） 先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x2，
2、由其反函数的定义域，可得原函数的值域是yyR|y2 2、利用反比例函数的值域不等于0（或者反函数法）因此，原函数的值域为1/2,+) 4、利用分离变量法和换元法（然后用反函数法）（或者换元后分离）设法2xt，其中t0， 则原函数可化为y=(t+1)/(t-1) t=(y+1)/(y-1) y1或y-1 5、利用零点讨论法 由题意可知函数有3个零点-3，1，2， 当x9 当-3x1 时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 5y9 当1x2 时，y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4 5y6 当x 2时，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x y6 综合前面四种情况可
3、得，原函数的值域是5,+) 6、利用函数的有界性二、 函数的单调性及应用1、 A为函数f(x)定义域内某一区间，2、 单调性的判定：作差f(x1)-f(x2)判定；根据函数图象判定；3、 复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x) 为减函数例1、设a0且a1，试求函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间解析：由题意可得原函数的定义域是（，）， 设u=4+3x-x2 ，其对称轴是 x=3/2 ，所以函数u=4+3x-x2 ，在区间（，3/2 上单调递增；在区间3/2 ，4）上单调递减 a时，y=logau 在
4、其定义域内为增函数， 由 xuy ，得函数u=4+3x-x2 的单调递增区间（，3/2 ， 即为函数y=loga(4+3x-x2) 的单调递增区间 a时，y=logau 在其定义域内为减函数，由 xuy ，得函数u=4+3x-x2 的单调递减区间3/2 ，4），即为函数y=loga(4+3x-x2)的单调递增区间例2、已知y=loga(2-ax) 在0，1上是x 的减函数，求a的取值范围。解析：由题意可知，a设ug(x)=2ax， 则g(x)在，上是减函数，且x=时，g(x)有最小值umin=2-a 又因为ug(x)2ax，所以， 只要 umin=2-a则可，得a又y=loga(2-ax) 在
5、0，1上是x 减函数，ug(x)在，上是减函数， 即xuy ，所以y=logau是增函数，故a综上所述，得a2例3、已知f(x)的定义域为（，），且在其上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，试解不等式f(x)+f(x-2)3 解析：此题的关键是求函数值所对应的自变量的值 由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ，3=2+1=f(4)+f(2)=f(42)=f(8) 又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成f(x2-2x)f(8) 所以原不等式的解集为x|2x4三、函数的奇偶性及应用1、 函数f(x)的定义域为D，xD ，f(-x)=f(x)
6、 f(x)是偶函数；f(-x)=-f(x)是奇函数 2、 奇偶性的判定：作和差f(-x) f(x)=0 判定；作商f(x)/f(-x)= 1,f(x)0 判定3、 奇、偶函数的必要条件是：函数的定义域关于原点对称；4、 函数的图象关于原点对称 奇函数； 函数的图象关y轴对称 偶函数5、 函数既为奇函数又为偶函数 f(x)=0,且定义域关于原点对称;6、 复合函数的奇偶性：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇例1.判断函数的奇偶性：解：当0时，0，于是当0时，0，于是综上可知， 是奇函数练习：1.证明，是奇函数.例2.为R上的偶函数，且当时，则当时，x(x+1) 若f(x)是奇函数呢
7、？例3、已知函数是偶函数，求实数的值 答案练习：已知函数f（x）ax2bx3ab是偶函数，且其定义域为a1，2a，则a= b= 0 例4、已知函数，若，求的值。 答案：四、函数的周期性及应用1、设函数y=f(x)的定义域为D，xD,存在非0常数T，有f(x+T)=f(x) f(x)为周期函数，T为f(x)的一个周期；2、 正弦、余弦函数的最小正周期为2，函数y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期 是T = 2/| ；3、 正切、余切函数的最小正周期为，函数y=Atan(x+)和y=Acot(x+)的周期是 T=/| ； 4、 周期的求法：定义域法；公式法；最小公倍数法；利用函数
8、的图象法； 5、 一般地，sinx 和cosx类函数加绝对值或平方后周期减半，tanx 和cotx类函数加绝对值或平方后周期不变（如：y=|cos2x| 的周期是/2 ，y=|cotx|的周期是例1、设f(x)是（-，+）上周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)=x,求f(7.5) 解析：由题意可知，f(2+x) = f(x) f(7.5) f(8-0.5) f(-0.5) f(0.5) .例2.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.解：设时，有 是以2 为周期的函数，.例3设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.解：当，即
9、，又是以2为周期的周期函数，于是当，即时，例4.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.解：由的周期为4，得，由得，故为偶函数.分段函数例1求函数的最大值. 【解析】当时, , 当时, , 当时, , 综上有. 例2在同一平面直角坐标系中, 函数和的图象关于直线对称, 现将的图象沿轴向左平移2个单位, 再沿轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数的表达式为（ ） 答案A.例3判断函数的奇偶性. 【解析】当时, , , 当时, , 当, , 因此, 对于任意都有, 所以为偶函数. 例4判断函数的单调性. 【解析】显然连续. 当时, 恒成立, 所以
10、是单调递增函数, 当时, 恒成立, 也是单调递增函数, 所以在上是单调递增函数; 或画图易知在上是单调递增函数. 例5写出函数的单调减区间. 【解析】, 画图易知单调减区间为. 例6设函数, 若, 则得取值范围是（ ）答案D. 例7设函数, 则使得的自变量的取值范围为（ ）A B. C. D. 【解析】当时, , 所以, 当时, , 所以, 综上所述, 或, 故选A项. 抽象函数-“”有关问题一、利用函数性质，解的有关问题1.判断函数的奇偶性例1 已知,对一切实数、都成立，且, 求证为偶函数。证明：令=0, 则已知等式变为在中令=0则2=2 0=1为偶函数。2.求参数的取值范围例2：奇函数在定
11、义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。解：由得，为函数，又在（-1，1）内递减，3.解不定式 例3：如果=对任意的有,比较的大小解：对任意有=2为抛物线=的对称轴又其开口向上(2)最小，(1)=(3)在2，)上，为增函数(3)(4),(2)(1)0时，0f(x)1。（1）判断f(x)的单调性；（2）设，若，试确定a的取值范围。解：（1）在中，令，得，因为，所以。在中，令因为当时， 所以当时而 所以又当x=0时，所以，综上可知，对于任意，均有。设，则所以所以在R上为减函数。（2）由于函数y=f(x)在R上为减函数，所以即有 又，根据函数的单调性，有由，所以直线与圆面无公共点。因此有，解
12、得。三、五类题型及解法（当练习使用）1、线性函数型抽象函数例1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）2，求f（x）在区间2，1上的值域。分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域为4，2。例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y）2 + f（xy），且当x0时，f（x
13、）2，f（3）5，求不等式的解。 分析：由题设条件可猜测：f（x）是yx2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，当，则， 即，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解为1 a 3。2、指数函数型抽象函数例3、设函数f（x）的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。分析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）1且f（x）0。解：（1）令y0代入，则，。若f（x）0，则对任意，有，这与
14、题设矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，则，又由（1）知f（x）0，f（2x）0，即f（x）0，故对任意x，f（x）0恒成立。例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：f（x）0，x N；f（2）4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在，又由f（2）4可得a2故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：（1）x1时，又x N时，f（x）0，结论正确。（2）假设时有，则xk1时，xk1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例5、设f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，
15、满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范围。分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）0，f（9）2。解：（1），f（1）0。（2），从而有f（x）f（x8）f（9），即，f（x）是（0，）上的增函数，故，解之得：8x9。例6、设函数yf（x）的反函数是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由。分析: 由题设条件可猜测yf（x）是对数函数的抽象函数，又yf（x）的反函数是yg（x），yg（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（ab）g（a）g（b）正确。解：设f（a）m，f（b）n，由于g（x）是
16、f（x）的反函数，g（m）a，g（n）b，从而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。例7、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；f（a）1（a0，a是定义域中的一个数）；当0x2a时，f（x）0。试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。分析: 由题设知f（x）是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。解：（1）
17、f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，在定义域中。，f（x）是奇函数。（2）设0x1x22a，则0x2x12a，在（0，2a）上f（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，进而知中的， 于是f（x1） f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函数。又，f（a）1，f（2a）0，设2ax4a，则0x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上f（x）0。设2ax1x24a，则0x2x12a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。 综上所述，f（x）在（0，4a）上是增函数。5、幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。 例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在0，）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在0，）上是增函数。解：（1）令y1，则f（x）f（x）f（1），f（1）1，f（x）f（x），f（x）为偶函数。（2）设，时，f（x1）f（x2），故f（x）在0，）上是增函数。（3）f（27）9，又，又，故。16