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1、图形的相似、位似【基础训练】1.如果4x=3y,那么下列结论正确的是()A.x3=y4B.x4=y3C.xy=43D.x=4,y=32.已知ABCABC,AB=8,AB=6,则BCBC=()A.2B.43C.3D.1693.2021西城区二模若相似三角形的相似比为14,则面积比为()A.116B.161C.14D.124.2021温州如图1,图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,位似比为23,点A,B的对应点分别为点A,B.若AB=6,则AB的长为()图1A.8B.9C.10D.155.如图2,在ABC中,D,E分别是AB和AC的中点,S四边形BCED=15,则SABC=()图2A.30B.
2、25C.22.5D.206.如图3,点D,E分别在ABC的AB,AC边上,增加下列条件中的一个:AED=B,ADE=C,AEAB=DEBC,ADAC=AEAB,AC2=ADAE,使ADE与ACB一定相似的有()图3A.B.C.D.7.2021东城区一模一个直角三角形木架的两条直角边的长分别是30 cm,40 cm.现要做一个与其相似的三角形木架,如果以60 cm长的木条为其中一边,那么另两边中长度最大的一边最多可达到()A.60 cmB.75 cmC.100 cmD.120 cm8.2021海淀区期末如图4,在ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的点,DEBC,AD=1,BD=AE=2,则E
3、C的长为.图49.2020东城区期末孙子算经是中国古代重要的数学著作,成书于约一千五百年前,其中有首歌谣:“今有竿不知其长,量得影长一丈五尺,立一标杆,长一尺五寸,影长五寸,问竿长几何?”意思就是:有一根竹竿不知道有多长,量出它在太阳下的影子长一丈五尺,同时立一根一尺五寸的小标杆(如图5所示),它的影长五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),则竹竿的长为.图510.如图6,在平面直角坐标系中,将AOB以点O为位似中心,23为位似比作位似变换,得到A1OB1.已知A(2,3),则点A1的坐标是.图611.2021丰台区期末将矩形纸片ABCD按如下步骤进行操作:图7(1)如图7,先将纸片对折,使
4、BC和AD重合,得到折痕EF;(2)如图,再将纸片分别沿EC,BD所在直线翻折,折痕EC和BD相交于点O.那么点O到边AB的距离与点O到边CD的距离的比值是.12.如图8,在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1).画出以点O为位似中心,与ABC的位似比为21的A2B2C2.图813.2021朝阳区期末阅读下面材料:小军遇到这样一个问题:如图9,在ABC中,AB=AC,P是ABC内一点,PAC=PCB=PBA.若 ACB=45,AP=1,求BP的长.图9小军的思路是:根据已知条件可以证明ACPCBP,进一步推理可得BP的长.请回答:AB=AC,AB
5、C=ACB.PCB=PBA,PCA=.PAC=PCB,ACPCBP.APPC=PCPB=ACCB.ACB=45,AB=AC,BAC=90.ACCB=.AP=1,PC=2.PB=.参考小军的思路,解决问题:如图,在ABC中,AB=AC,P是ABC内一点,PAC=PCB=PBA.若ACB=30,求APBP的值.14.如图10,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DFAE,垂足为F.(1)求证:ABEDFA;(2)若AB=6,BC=4,求DF的长.图10【能力提升】15.如图11,在RtABC中,ACB=90,AC=3,BC=4,CDAB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为.图
6、1116.如图12,在ABC中,C=90,AC=3,BC=4,P为BC边上的动点(与B,C不重合),PDAB,交AC于点D,连接AP,设CP=x,ADP的面积为S.(1)用含x的代数式表示AD的长;(2)求S与x的函数表达式,并求当S随x增大而减小时x的取值范围.图12【参考答案】1.A2.B3.A4.B5.D解析 根据题意,点D和点E分别是AB和AC的中点,所以DEBC且DE=12BC,故可以判断出ADEABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,可知SADESABC=14,则S四边形BCEDSABC=34,题中已知S四边形BCED=15,故可得SADE=5,SABC=20,因此本题选D
7、.6.A7.C8.49.四丈五尺解析 设竹竿的长度为x尺,竹竿的影长=一丈五尺=15尺,标杆长=一尺五寸=1.5尺,标杆的影长=五寸=0.5尺,x15=1.50.5,解得x=45,45尺=四丈五尺.故答案为四丈五尺.10.(43,2)解析 将AOB以点O为位似中心,23为位似比作位似变换,得到A1OB1,A(2,3),点A1的坐标是:(232,233),即A1(43,2).故答案为: (43,2).11.1212.解:如图所示,A2B2C2为所求.13.解:PBC222AB=AC,ABC=ACB.PCB=PBA,PCA=PBC.PAC=PCB,ACPCBP.APPC=PCPB=ACBC.ACB
8、=30,APPC=PCPB=ACBC=33.设AP=a,则PC=3a,PB=3a.APBP=13.14.解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,B=90,ADBC.AEB=DAF,DFAE,DFA=90.B=DFA,ABEDFA.(2)ABEDFA,ABDF=AEAD.BC=4,E是BC的中点,BE=12BC=124=2.在RtABE中,AE=AB2+BE2=62+22=210.又AD=BC=4,6DF=2104,DF=6105.15.5485解析 构造A字型方法一:已知ACB=90,AC=3,BC=4,由勾股定理,得AB=5.CDAB,12ABCD=12ACBC,CD=ACBCAB=125.如
9、图,过点E作EHAB于点H.则EHCD,BEHBCD,EHCD=BHBD=BEBC=12,EH=12CD=65.易得ABCACD,ACAD=ABAC,得AD=ACACAB=95,由ABCCBD,得BCBD=ABCB,BD=BCBCAB=165.DH=12BD=12165=85.由ADFAHE,得ADAH=DFHE,9585+95=DF65,解得DF=5485.其他构图方法:构造X型方法二:由方法一知:CD=125,AD=95,BD=165,过点E作EGAB交CD于点G,由平行线分线段成比例,得DG=12CD=65,EG=85,由EGAB,知ADFEGF,DFGF=ADEG,即DF65-DF=9
10、585,解得DF=5485.其他构图方法:构造反A字型方法三:如图,过点B作BQAE交AE的延长线于点Q.AE是ABC的中线,SABE=12SABC=121234=3.SABE=12AEBQ=1213BQ=3,BQ=613.AB=5,AQ=AB2-BQ2=1713,由ADFAQB,得DFQB=ADAQ,DF613=951713,解得DF=5485.16.解:(1)DPAB,DCPACB,CDAC=CPCB,CD3=x4,CD=34x,AD=3-34x.(2)S=12ADCP=12x(3-34x)=-38x2+32x=-38(x-2)2+32,当x2时,S随x增大而减小,又0x4,当S随x增大而减小时x的取值范围为2x4.