《2021年2021年压轴题命题区间6解析几何增分点3简化解析几何运算的5个技巧.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年2021年压轴题命题区间6解析几何增分点3简化解析几何运算的5个技巧.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -资料下载来源：江苏高中资料群：1035630125，5 号群： 1079294226，增分点简化解析几何运算的5 个技巧中学解析几何为将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来争论曲线，表达了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需纷杂的争论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步特殊为高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，运算才能为一个重要的方面为此，从以下几个方面探究减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程巧用定义， 揭示本质定义为导出其性质
2、的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，就可使解题运算量简化，使解题构筑在较高的水平上x 2典例 如图， F 1，F 2 为椭圆 C1：4 y2 1 与双曲线C2 的公共焦点， A，B 分别为 C1，C2 在其次.四象限的公共点如四边形AF 1BF 2 为矩形，就C2 的离心率为 ()A.2B.32C. 3 方法演示 2D. 6解析： 由已知，得F 1(3， 0)， F 2(3， 0)，设双曲线C2 的实半轴长为a， 由椭圆及双曲线的定义和已知，|AF 1| |AF 2| 4， 可得|AF 2| |AF 1| 2a，|AF 1|2 |AF
3、 2|2 12，解得 a2 2，故 a2.所以双曲线C2 的离心率e 答案： D362 2 .解题师说 此题奇妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF 1|， |AF 2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a 的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量应用体验 上海高中资料群1026782372，3 号群： 992351236第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -资料下载来源：江苏高中资料群：1035630125，5 号群： 1079294226，1抛物线 y2 4mx (m 0)的焦点为F
4、 ，点 P 为该抛物线上的动点，如点 A (m、 0)，就|PF |PA|的最小值为 解析： 设点 P 的坐标为 (xP， yP)，由抛物线的定义，知|PF | xP m ，又 |PA|2 (xP m)2P y2 (x P m)2 4mx P，就|PF | 2|PA|xP m 21211 (当且xP m4mx P4mx P1 xP m 24mx P21 2x Pm 2仅当 x|PF |2|PF |的最小值为2P m 时取等号 )，所以答案：22|PA|2 ，所以|PA|2 .设而不求， 整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，
5、经常可以用“代点法”求解x 2y2典例 已知椭圆E：a2 b2 1(a b 0)的右焦点为F (3，0)，过点 F 的直线交E 于 A，B 两点如AB 的中点坐标为(1， 1)，就 E 的标准方程为()x2222A. y 1B. x y 145x2C.27363622y 1D. x 181827y29 1方法演示 解析： 设 A(x1， y1)， B(x 2， y2)， 就 x 1 x 2 2， y1 y2 2，xy2211a2 b2 1，xy2222a2 b2 1，得x1 x2x 1 x2a2 y1 y2y1 y2 0，2b所以 k AB y1 y2b2 x1 x22b2 2.x1 x 2a
6、y1 y2a011b21又 k AB ，所以312又 9 c2 a2 b2， 解得 b2 9， a2 18，x 2a22.y2所以椭圆E 的方程为18 9 1.上海高中资料群1026782372，3 号群： 992351236第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -资料下载来源：江苏高中资料群：1035630125，5 号群： 1079294226，答案： D解题师说 此题设出A，B 两点的坐标，却不求出A， B 两点的坐标，奇妙地表达出直线AB 的斜率，通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何
7、量之间的关系，从而快速解决问题应用体验 1x2y22过点M (1、1)作斜率为的直线与椭圆C： 1(a b 0)相交于A， B 两点，2ab22如 M 为线段 AB 的中点，就椭圆C 的离心率等于 xy2211a2 b2 1，解析： 设 A(x1， y1)， B(x 2， y2)，就22x 2 y2 1，a2b2x 1 x 2x 1 x 2a2y1 y2y1 y2b20，y1 y2x1 x2y1 y2x1 x2.b21b2 x 1 x2a22 .y1 y12， x1 x 2 2， y1 y2 2， a2， a2 2b2 2又 b2 a2 c2， a2 2(a2 c2)， a2 2c2c2.即椭
8、圆 C 的离心率e22， a 2答案：22巧用 “ 根与系数的关系” ，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程.求坐标，用距离公式运算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系后者往往运算量小，解题过程简捷x 2典例 已知椭圆于 M ， N 两点 y2 1 的左顶点为A ，过 A 作两条相互垂直的弦AM ，AN 交椭圆4(1) 当直线 AM 的斜率为1 时，求点 M 的坐标；(2) 当直线 AM 的斜率变化时，直线MN 为否过 x 轴上的肯定点？如过定点，请给出证明，并求出该定点；如不过定点，请说明
9、理由上海高中资料群1026782372，3 号群： 992351236第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -资料下载来源：江苏高中资料群：1035630125，5 号群： 1079294226，方法演示 解： (1)直线 AM 的斜率为1 时，直线AM 的方程为y x 2，代入椭圆方程并化简得 5x2 16x 12 0.664解得 x 1 2， x 2 5，所以 M 5， 5 .(2) 设直线 AM 的斜率为k，直线 AM 的方程为y k( x2)，联立方程y k x 2 ，x24 y2 1，
10、化简得 (1 4k2)x 2 16k 2x 16k 2 4 0. 16k 2就 x A x M 14k 2，16k216k 22 8k 2xM x A 1 4k2 2 14k2 1 4k 2.2k 2 8同理，可得xN k2 4 .6由(1)知如存在定点，就此点必为P 证明如下：， 0 .5由于 kkyM2 8k214k2 25k，MP 62 8k 264 4k2x M 51 4k 2 52.同理可运算得kPN 5k44k所以直线MN 过 x 轴上的肯定点P 解题师说 6， 0 .52 8k2本例在第 (2) 问中可应用根与系数的关系求出x M1 4k2，这表达了整体思路这为解决解析几何问题经
11、常用的方法，简洁易懂，通过设而不求，大大降低了运算量应用体验 x 2y21323已知椭圆C： a2 b2 1(a b0)的离心率为别为 F 1， F 2.(1) 求椭圆 C 的方程；，且经过点P 1， 2 ，左.右焦点分(2) 过 F 1 的直线l 与椭圆C 相交于A， B 两点，如 AF 2B 的内切圆半径为327 ，求以F 2 为圆心且与直线l 相切的圆的方程上海高中资料群1026782372，3 号群： 992351236第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -资料下载来源：江苏高中资料群
12、：1035630125，5 号群： 1079294226，解： (1)由c 1，得a2a 2c，所以 a2 4c2， b2 3c2，将点 P 1， 32的坐标代入椭圆方程得c2 1，x2y2故所求椭圆方程为 1.43(2) 由(1)可知 F 1( 1、0)，设直线l 的方程为x ty 1，代入椭圆方程，整理得(4 3t2)y2 6ty 9 0，明显判别式大于0 恒成立，设 A (x 1， y1)， B (x2， y2)， AF 2B 的内切圆半径为r0，6t 932就有 y1 y2 4 3t2， y1y2 4 3t2， r 07，|所以S AF 2B S AF 1F 2 S BF 1F 2 1
13、 F21F 2| y1| y2| 1|F 1F 2| y1 y2 2 4y1y2 212t2 143t 2.|而 S AF 2B 1 AB |r110 |BF 2|r 0 |AF 2|r 0222 1r 0(|AB | |BF 2|AF 2|) 21r 0(|AF 1| |BF 1| |BF 2| |AF 2|) 22r1 0a41 823212277，12t2 1所以4 3t21222，解得 t 1，7由于所求圆与直线l 相切，所以半径r 2t2 12，所以所求圆的方程为(x 1)2 y2 2.借“ 曲线系 ” ，理清规律利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以敏捷运用曲线为解析几何中重
14、要的解题方法和技巧之一典例 已知双曲线x2y2a2 b2 1(a 0，b 0)的一条渐近线方程为y3x ，它的一个焦点在抛物线y2 24x 的准线上，就双曲线的方程为()22A. x y 1B.x y 12236108x 2y2927x 2y2C.10836 1D.279 1上海高中资料群1026782372，3 号群： 992351236第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -资料下载来源：江苏高中资料群：1035630125，5 号群： 1079294226，方法演示 解析： 由双曲线y2x
15、2y2a2 b2 1(a 0，b 0)的一条渐近线方程为y3x，可设双曲线的方程为 x2 3 ( 0)x 2y22由于双曲线a2 b2 1( a 0， b 0)的一个焦点在抛物线y 24x 的准线上，所以 F ( 6、0)为双曲线的左焦点，即 3 36， 9，x 2y2所以双曲线的方程为答案： B 1.927解题师说 此题利用了共渐近线系双曲线方程，可使问题立刻得到解决防止了复杂的判定.可能的分类争论.纷杂的解方程组，事半功倍应用体验 4圆心在直线x y 4 0 上，且经过两圆x 2 y2 6x 4 0 和 x 2 y2 6y 28 0 的交点的圆的方程为()A x2 y2x 7y 32 0
16、B x2 y2 x 7y 16 0 C x2 y24x 4y 9 0 D x2 y24x 4y 8 0解析： 选 A设经过两圆的交点的圆的方程为x2 y2 6x 4 (x2 y2 6y 28) 0，即 x 2 y2664 28x y0，1 1 1 其圆心坐标为3，3 ，1 1 又圆心在直线x y 4 0 上，所以3 3 4 0，1 1 解得 7，故所求圆的方程为x 2 y2 x 7y 32 0.巧引参数， 便利运算换元引参为一种重要的数学方法，特殊为解析几何中的最值问题.不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活明白题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍常见的参数可以挑选点的坐
17、标.直线的斜率.直线的倾斜角等在换元过程中，仍要留意代换的等价性，防止扩大或缩小原先变量的取值范畴或转变原题条件上海高中资料群1026782372，3 号群： 992351236第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -资料下载来源：江苏高中资料群：1035630125，5 号群： 1079294226，x 2y2典例 设椭圆 a2b2 1(a b 0)的左.右顶点分别为A ，B ，点 P 在椭圆上且异于A，B 两点， O 为坐标原点如|AP | |OA |，证明直线OP 的斜率 k 满意 |k
18、|3.方法演示 证明： 法一 ：依题意，直线OP 的方程为 y kx ，设点 P 的坐标为 (x 0， y0)y0 kx 0，xy00由条件，得22a2 b2 1，2a2b2消去 y0 并整理，得x 0 k 2a2 b2.0由|AP | |OA |， A( a、0)及 y0 kx 0， 得(x 0 a)2k2 x2 a2，0整理得 (1 k 2)x2 2ax0 0. 2a而 x 0 0，于为 x 0 1 k 2，)代入，整理得(1 k2 2 4k 2 ab2 4.又 a b 0，故 (1 k 2)2 4k2 4，即 k 2 1 4，因此 k 2 3，所以 |k|3.法二 ：依题意，直线OP 的
19、方程为y kx，可设点P 的坐标为 ( x0， kx0)由点 P 在椭圆上，得2x0a2k 2x 20 1.b20x 22 2由于 a b 0， kx 0 0，所以k x 01，0 a即(1 k2)x 22.a2a2 0由|AP | |OA |及 A ( a、0)，得 (x 0 a)2 k2x2 a2，整理得 (1 k 2)x2 2ax 0，于为 x 2a，0代入，得 (1 k2) 04a202 2 a2，1 k21 k解得 k 2 3，所以 |k|3.法三 ：设 P(acos ， bsin )(0 2，)ab就线段 OP 的中点 Q 的坐标为cos ， sin .22|AP| |OA|. A
20、Q OP. k AQ k 1.又 A ( a、0)，所以 kbsin ，AQ 2a acos 即 bsin akAQ cos 2ak AQ.上海高中资料群1026782372，3 号群： 992351236第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -资料下载来源：江苏高中资料群：1035630125，5 号群： 1079294226，AQAQ从而可得 |2akAQ|b2 a2k2 a1 k2 ，解得 |k AQ |3|k|13.3 ，故|k AQ |解题师说 求解此题利用椭圆的参数方程，可快速建立各
21、点之间的联系，降低运算量应用体验 x2y215(2021 长春质检 )椭圆 a2 b2 1(a b 0)的左.右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为 2，点 P 为椭圆上一动点，F 1PF 2 面积的最大值为3.(1) 求椭圆的方程；(2) 设椭圆的左顶点为A 1，过右焦点F2 的直线 l 与椭圆相交于A， B 两点，连接A1A，A1B 并延长分别交直线x 4 于 R， Q 两点，问 为否为定值？如为，求出此定值；RF 2QF 2如不为，请说明理由，不妨设解： (1)已知椭圆的离心率为12c t， a 2t ，就 b3t，其中 t 0，当 F 1PF 2 面积取最大值时，点P 为短轴端点，1因
22、此t2 3t3，解得 t 1， 2x2y2就椭圆的方程为4 3 1.(2) 由(1)可知 F 2(1、0)，A 1( 2、0)设直线 AB 的方程为x my 1，A(x 1，y1 )，B(x 2，y2)，xmy 1，联立x2y2可得 (3m2 4)y2 6my 90，4 3 1， 6m就 y1 y2 4 3m2， 9 y1y2 43m 2，直线 AA 1 的方程为yy1 x1 2(x 2)，直线 BA 1 的方程为yy2x2 2(x 2)，6y16y2F 2 Q就 R 4， x 1 2 ， Q 4， x 2 2 ，F2R 3，6y1 x 1 2， 3，6y2x2 2 ，上海高中资料群10267
23、82372，3 号群： 992351236第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -资料下载来源：江苏高中资料群：1035630125，5 号群： 1079294226，就 6y16y26y16y236y1y2F 2R F 2Q 9 92 9，x 1 2x 2 2my1 3 my2 3m y1y2 3m y1 y2 9将两式代入上式，整理得 0，即 F 2RF 2QF 2R F 2Q为定值 0.1设 O 为坐标原点，P 为以 F 为焦点的抛物线y2 2px(p 0)上任意一点，M 为线段PF 上的
24、点，且 |PM | 2|MF |，就直线OM 的斜率的最大值为()3A. 32B.23C. 2D 1解析： 选 C如下列图，0设 P(x 0， y0)( y0 0)，就 y2 2px0，y20即 x 0 2p.设 M (x ， y )，由 PM 2MF ，x xp 2 x ，得02y y0 2 0 y ，化简可得x p x03，y0 y 3 .直线 OM 的斜率为 k y0y3y02p2p2(当且仅当 y02p 时取等号)x2y2p x 0320p 2p2p2y0 y022p2212设双曲线a b 1 的一条渐近线为y 2x，且一个焦点与抛物线yx 2 的焦点相4同，就此双曲线的方程为()5A
25、. x 42 5y2 1B 5y2 5x42 1上海高中资料群1026782372，3 号群： 992351236第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -资料下载来源：江苏高中资料群：1035630125，5 号群： 1079294226，C 5x 2 5y2 1D.5y2 5x 2 144解析： 选 D由于 x 2 4y 的焦点为 (0、1)，所以双曲线的焦点在y 轴上由于双曲线的一条渐近线为y 2x， 所以设双曲线的方程为y2 4x 2 ( 0)，y2x2即 1，就 4 1， ，454所以双
26、曲线的方程为5y2 5x 2 1.4x 2y23已知双曲线a2 b2 1(a 0， b 0)的左.右焦点分别为F 1( c，0)，F 2(c、0)，P 为双曲线上任一点，且 3122最小值的取值范畴为 c ，2 ，就该双曲线的离心率的取值范畴为 ()PF 1 PF 24cA (1，2B 2， 2C (0，解析： 选2B设P(x 0， y0)，D 2 ， )就 PF 1 PF 2 ( c x 0， y0) c( x0， y0)y2 x22 y22 10 c2 y20 c0 ab20，上式当 y0 0 时取得最小值a2 c2，依据已知 3c2 a2 c2 1c2，4211c2c所以c2 a24c2
27、，即 2 2a2 4，即2a 2，所以所求离心率的取值范畴为2， 2 AF4过抛物线y2 2px(p 0)的焦点 F ，斜率为 4的直线交抛物线于A，B 两点，如 3 FB( 1)，就 的值为 ()A 5B 445C. 3D.2解析： 选 B依据题意设A( x1， y1)， B (x 2， y2)，由 AF FB ，得p x 21， y1 x2p， y2 ，2y1故 y1 y2，即 y2 .上海高中资料群1026782372，3 号群： 992351236第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - -
28、-资料下载来源：江苏高中资料群：1035630125，5 号群： 1079294226，设直线 AB 的方程为y 43p x 2 ，2联立直线与抛物线方程，消去x，得 y2 3py p2 0.故 y1 y2 3p， y1y2 p2，2y1 y2 2就y1y2 y1y22 9yy ，214即 19 2.4又 1，解得 4. 5设直线 l 与抛物线y2 4x 相交于 A ，B 两点， 与圆 (x 5) 2 y2 r 2(r0) 相切于点M ，且 M 为线段 AB 的中点如这样的直线l 恰有 4 条，就 r 的取值范畴为() A (1、3)B (1、4)C (2、3)D (2、4)y2y2y2 y2
29、y1 y2解析： 选 D设 A1， y2y12， C(5、0)为圆心，当y41 ， B4 ， 2 ， M821 y2时， kAB 4y1 y4 y1 y2， kCM y2 y2y1 y2，由 k22r2AB k CM 1. y1 y2 24，所以 M 3，2，又21240|CM |2 4 y1 y2 2 101，所以 (2r2 20)2 y2y2，所以y2， y2为方程t2 24t (2r 222y1y21 212 20)20 的两个不同的正根，由 0 得 2 r 4.所以 r 的取值范畴为(2、4)6中心为原点，一个焦点为F (0、52)的椭圆，截直线y 3x 2 所得弦中点的横坐标1为2，
30、就该椭圆方程为()2x 22y2x 2y2A. 75 25 1B.75 25 12C.x 25y 1D.2752x2 25 2y275 1解析： 选 C由已知得 c 52，x2y2设椭圆的方程为x2a2 50a21，y2联立a250a2 1，y 3x 2，消去 y 得(10a2 450)x 2 12( a2 50)x 4( a250) a2(a2 50) 0，设直线y 3x 2 与椭圆的交点坐标分别为(x 1， y1)， (x 2， y2)，12 a2 50由根与系数关系得x 1 x 210a2，450上海高中资料群1026782372，3 号群： 992351236第 11 页，共 16 页
31、 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -资料下载来源：江苏高中资料群：1035630125，5 号群： 1079294226，由题意知x1 x2 1，即12 a2 502 1，解得 a2 75，10ay2x 2 450所以该椭圆方程为7525 1.x 27已知双曲线C： 2 y2 1，点 M 的坐标为 (0、1)设 P 为双曲线C 上的点， Q 为点 P关于原点的对称点记 MP MQ ，就 的取值范畴为 解析： 设 P(x0， y0)，就 Q( x 0， y0)， (x ，y223 2MP MQ00 1) (x 0，
32、y0 1) x0 y0 1x 0 2.2由于 |x 0|2，所以 1，所以 的取值范畴为( ， 1 答案： (， 18已知 AB 为圆 x2 y2 1 的一条直径， 点 P 为直线 x y 2 0 上任意一点， 就 PA PB的最小值为 解析： 由题意，设A(cos ， sin )， P(x，x 2)，就 B ( cos ， sin )， PA (cos x， sin x 2)，PB ( cos x， sin x 2)， PA PB (cos x )( cos x) (sin x 2) (sin x 2) x2 (x 2)2 cos2sin 2 2x 2 4x 3 2(x 1)2 1， 当且仅
33、当x 1，即 P( 1， 1)时， PA PB答案： 1取最小值1.9设抛物线x 2pt2， y 2pt(t 为参数， p 0)的焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点A 作 l的垂线，垂足为B.设 C72p， 0 ， AF 与 BC 相交于点E .如|CF | 2|AF |，且 ACE 的面积为3 2，就 p 的值为 x 2pt2，解析： 由y 2pt(p 0)消去 t 可得抛物线方程为y2 2px (p0)， Fp， 0 ， |AB | |AF | 212|CF |32p，可得 A (p，2p)上海高中资料群1026782372，3 号群： 992351236第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -资料下载来源：江苏高中资料群：1035630125，5 号群： 1079294226，易知 AEB FEC ，|FE |AE |AB |12|FC | ，故 SACE 1S ACF 1 3p2p12p2 32，223 3 p2 6. p 0， p6.答案：6 1